王銳利

(河南濟源職業(yè)技術(shù)學院，河南濟源454650)

一階常微分方程組初值問題解的實例研究

王銳利

(河南濟源職業(yè)技術(shù)學院，河南濟源454650)

文章對一階常微分方程組初值問題解的唯一性進行了探討，并給出了相應的實例加以比較研究，以加深對一階常微分方程組存在唯一性定理的理解和應用.

一階常微分方程組;初值問題;解的唯一性

常微分方程初值問題解的研究在實際工程中經(jīng)常遇到，研究常微分方程初值問題的解其本身也具有很大的研究價值.［1－6］

1 預備知識

定理1［7］若方程

1)連續(xù);

2)關(guān)于Y滿足利普希茨條件，即存在N＞0，使對于R上任意兩點(x，Y1)，(x，Y2)有‖F(xiàn)(x，Y1)-F(x，Y2)‖≤N‖Y1-Y2‖，則上述方程在區(qū)間上存在唯一解:Y=Y(x)，Y(x0)=Y0.這里

貝爾曼引理［7］設(shè)y(x)為區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，a≤x0≤b，若存在δ≥0，k≥0使得y(x)滿足

不等式

則y(x)滿足不等式y(tǒng)(x)≤δek(x-x0)，x∈［a，b］.

2 主要結(jié)果及證明

利普希茨條件下的幾種證明:

方法一 設(shè)r(x)=‖Y1(x)-Y2(x)‖，所要證明的是r(x)≡0，x∈［x0-h0，x0+h0］.假設(shè)結(jié)論不成立，則有x1:x0-h0≤x1≤x0+h0，使得r(x1)＞0，因為Y1(x)，Y2(x)都是(1)的解，故x1≠x0;不妨設(shè)x1＞x0，以S表示x0≤x≤x1上所有使r(x)=0的x值集合.因為x0∈S，故S≠?.設(shè)其上確界為α，由r(x)的連續(xù)性知必有r(α)=0，又由于α是S的上確界，而r(x1)＞0，故r(x)＞0，x∈(α，x1)，在(α，x1)上Y1(x)-Y2(x)不變號，故必可對r(x)求導，所以有

從x∈(α，x1)到x1積分上式便有

方法三 不妨設(shè)問題的解Y1(x)與Y2(x)在區(qū)間［x0，x0+h0］上不恒等，則

解 設(shè)方程的解在區(qū)間［α1，β1］上存在，x0∈［α1，β1］?(α，β).則其中，因為

從而右端函數(shù)滿足利普希茨條件，再由解的延展定理知方程的解在(α，β)存在.

假設(shè)結(jié)論不成立，則有x1:x0-h0≤x1≤x0+h0，使得r(x1)＞0，因為y1(x)，y2(x)都是方程的解，故x1≠x0;不妨設(shè)x1＞x0，以S表示x0≤x≤x1上所有使r(x)=0的x值集合.因為x0∈S，故S≠?.設(shè)其上確界為α，由r(x)的連續(xù)性知必有r(α)=0，又由于α是S的上確界，而r(x1)＞0，故r(x)＞0，x∈(α，x1)，在(α，x1)上y1(x)-y2(x)不變號，故必可對r(x)求導:

從x∈(α，x1)到x1積分該式便有

又不妨設(shè)存在x2∈［β1，β］使得y1(x2)≠y2(x2)，則由上面所證知在［α1，x2］在上解唯一，故矛盾.從而可知方程的解在(α，β)唯一.

方法三 不妨設(shè)方程的解y1(x)與y2(x)在區(qū)間［α1，β1］上的解不恒等.由方法二知

故e-(M1+M2)(x-x0)v(x)在［x0，β1］上單調(diào)遞減，所以對任意的x∈［x0，x0+h0］有

從而在［x0，β1］上v(x)≡0，即φ(x)≡φ(x).又不妨設(shè)存在x2∈［β1，β］使得y1(x2)≠y2(x2)，則由上面所證知在［α1，x2］上解唯一，故矛盾.從而可知方程的解在(α，β)唯一.

綜上所述，方法一的證法借助于積分的有窮和無窮推出矛盾，技巧性較強;方法二的證法利用貝爾曼引理，使證明過程簡潔;方法三的證法利用了單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，也明了.

但也有例子表明即使右端函數(shù)f(x，y)不滿足利普希茨條件，初值問題的解仍唯一，本文給出相關(guān)的定理.

定理2 若函數(shù)f(x，y)在R上連續(xù)，且關(guān)于變量y單調(diào)不增，即對任意的(x，y1)∈R，(x，y2)∈R，其中y1＜y2，有f(x，y1)-f(x，y2)≥0.則初值問題的解在［x0，+∞)上唯一.

奧斯古德條件 對任意(x，y1)，(x，y2)∈R，有，其中，G(s)

在0≤s≤s0(s0＞0)上連續(xù)，G(s)＞0，且

由此可知，若f(x，y)滿足奧斯古德條件，則(1)式的解唯一，這就是所熟知的

證明 由方法一可得

即有

從x∈(α，x1)到x1積分上式便有

又y(0)=0，所以y=-x3≤0，但y≥0，所以y=-x3不是方程的解.

解 顯然x≡0為方程的一個解，而x≡1不是方程的解.

由方法二的證明知，其關(guān)鍵之處是(2)式的左端積分為無窮，于是可從此處著手尋找保證(1)式解唯一的條件.

對于任意的x2＜x1，x1，x2∈［0，+∞)

不妨令x1＞2，有

即這里的G(x)取為G(x)=2x2，且G(x)在［0，x0］，(x0＞0)上連續(xù)非負.滿足奧斯古德定理，故解唯一.

［1］王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程(第3版)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］汪斌.n階線性微分方程解的存在與唯一性［J］.華中師范大學學報，2007，24－25.

［3］William E.Boyce，Richard CDiPrima.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems［J］.8 edition April 20，2004，55－56.

［4］Po－Fang Hsieh.Basic Theory of Ordinary Differential Equations［M］.Springer，1999.65－68.

［5］Refaat.El Attar.Ordinary Differential Equations［M］.2006，87－91.

［6］Vladimir I.Arnold.Ordinary Differential Equations［M］.Springer－Verlag，1992.38－42.

［7］東北師范大學數(shù)學系.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，1982.

［責任編輯 舒尚奇］

Abstract:The paper proves the uniqueness of solution on system of firstorder ordinary differential equations initial value problem under Lipchitz condition by three kinds of ways，and they are compared through an example.Furthermore，two examples are presented to ensure the uniquenesswhich can deduce new conditions，so thatwe can deepen our understanding of existence and uniqueness theorem.

Key words:uniqueness of solution;Lipchitz condition;initial value problem

Case Studies of Initial Value Problem of First-order Ordinary Differential Equation

WANG Rui-li
(Jiyuan Vocational and Technical College，Jiyuan 454650，China)

O175.1

A

1009—5128(2011)02—0029—04

2010—10—22

王銳利(1970—)，男，河南溫縣人，濟源職業(yè)技術(shù)學院副教授.研究方向:常微分方程、非線性控制理論及其應用等.