呂淑婷

(北方民族大學信息與計算科學學院，銀川750021)

積分奇點問題淺析

呂淑婷

(北方民族大學信息與計算科學學院，銀川750021)

文章討論了積分計算出現(xiàn)奇點時，通過巧妙的添加新的輔助線(面)，挖去奇點構(gòu)造新的復連通區(qū)域的求積分方法，本質(zhì)上是對相應的公式做了推廣，從而使對各類積分公式的運用有更深層次的掌握，加強了對各類積分聯(lián)系的理解.

積分;連續(xù);奇點

在求積分時，只要函數(shù)在積分區(qū)間或區(qū)域滿足連續(xù)或偏導數(shù)連續(xù)，就可以利用相應的積分公式直接求積分，但是如果有奇點時，相應的公式就不能直接利用(很多初學者對此問題理解不夠深透，直接利用從而導致積分錯誤).此時根據(jù)一元函數(shù)與多元函數(shù)積分的關(guān)聯(lián)，巧妙而簡潔的給出了處理積分區(qū)間或區(qū)域內(nèi)有奇點時的積分問題的方法.文獻［1］討論積分區(qū)域邊界上含奇點的Green公式應用，文獻［2］討論運用高斯公式應注意的一個偏導數(shù)連續(xù)與否的問題，本文討論一元函數(shù)與多元函數(shù)積分區(qū)間(區(qū)域)內(nèi)部出現(xiàn)奇點時，采取挖去奇點的處理方法，使新的區(qū)間(區(qū)域)內(nèi)函數(shù)可積，是對文獻［1］的總結(jié)和推廣.以下從三個方面加以討論:

1 牛頓—萊布尼茨積分公式運用時的奇點問題

定理1 如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上的一個原函數(shù)，則F(a).

表明:一個連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上的定積分等于它的任意原函數(shù)在區(qū)間［a，b］上的增量.公式中要求f(x)必須連續(xù)，如果不滿足條件呢?如積分:，知x=0為瑕(奇)點，如果忽略了x=0為被積函數(shù)的奇點，就會得到如下錯誤的結(jié)果:那么怎樣處理此積分呢，方法是挖去奇點，具體如下:

特別是，若被積函數(shù)在積分區(qū)間有多個奇點時，采用的方法是逐個挖去，即在［a，b］內(nèi)構(gòu)造若干個互不包含互不相交小區(qū)間，在［a，b］內(nèi)挖去小區(qū)間的區(qū)間上，仿上題運用牛頓-萊布尼茨公式公式可求得相應積分.

2 格林公式運用時的奇點問題

定理2 設區(qū)域D是由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x，y)及Q(x，y)在D上具有一階連續(xù)偏導，則有:，其中L是D的取正向的邊界曲線.

若函數(shù)P(x，y)及Q(x，y)在D上不滿足具有一階連續(xù)偏導的條件，即若P(x，y)及Q(x，y)在D上有奇點時，如:計算曲線積分為一條無重點分段光滑不過原點的連續(xù)閉曲線，L的方向為逆時針方向，L圍成的區(qū)域D含原點.

其中l(wèi)的方向取逆時針方向，于是

特別是，若被積函數(shù)在積分區(qū)域有多個奇點時，采用的方法是逐個挖去，即在D內(nèi)構(gòu)造若干個互不包含互不相交小圓，在D內(nèi)挖去小圓域的區(qū)域，仿上題運用格林公式可求得相應積分.

3 高斯公式運用時的奇點問題

定理3 設區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面∑所圍成，函數(shù)P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導，則有

這里∑是Ω的整個邊界曲面的外側(cè).

同樣，定理要求P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導，若條件不滿足，即P(x，y， z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在Ω中有奇點時，如:求曲面積分，其中∑為曲面的上側(cè).若不注意(0，0，0)是奇點，直接利用高斯公式，導致錯誤結(jié)果(許多高等數(shù)學習題解書籍上就是犯了這樣的錯誤).正確的處理方法也是將奇點挖去，設，其中

取下側(cè)，a為足夠小的常數(shù)，使上半球面∑3與積分曲面∑不相交

特別是，若被積函數(shù)在積分區(qū)域有多個奇點時，采用的方法是逐個挖去，即在Ω內(nèi)構(gòu)造若干個互不包含互不相交小球，在Ω內(nèi)挖去小球域的區(qū)域，仿上題運用高斯公式可求得相應積分.

綜上可以看出，當出現(xiàn)奇點時，有效的處理方法是添加新的輔助線(面)，挖去奇點將原區(qū)域變?yōu)閺瓦B通區(qū)域從而運用相應的公式.

［1］唐玉華.積分區(qū)域邊界上含奇點的Green公式應用［J］.重慶工商大學學報，2008，25(5):464－466.

［2］李菊.運用高斯公式應注意的一個問題［J］.高等數(shù)學研究，2000，(3):13－14.

［3］同濟大學應用數(shù)學教研室.高等數(shù)學［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［4］鄧東皋，尹曉玲.數(shù)學分析簡明教程［M］.北京:高等教育出版社，2002.44－59，292－358.

［5］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(下)［M］.北京:高等教育出版社，2001.272－292.

［責任編輯 舒尚奇］

Abstract:This paper discusses the integral calculation when the singularity point occurs.This integrationmethod is based on adding a new Auxiliary line(surface)and digging singularity point to construct a new complex connected region.In essence，this method is the promotion for corresponding formula.Hence，we further grasp the use of various types of integral formulas and strengthen the understanding of the relation of various integrations.

Key words:integration;continuous;singularity point

Analysis of Integration of the Singular Point

LV Shu-ting
(School of Information and Computation Science，North University for Nationalities，Yinchuan 750021，China)

O13

A

1009—5128(2011)02—0026—03

2010—10—26

北方民族大學科學研究項目(2009Y031)

呂淑婷(1976—)，女，陜西寶雞人，北方民族大學講師，碩士.研究方向:隨機微分方程數(shù)值解.