史曉明，蔡春娟(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平136000)

對(duì)稱熵?fù)p失下一類指數(shù)分布族的Bayes估計(jì)

史曉明，蔡春娟
(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平136000)

文中研究了在對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下，一類指數(shù)分布族參數(shù)的Bayes估計(jì)及其可容許性，并討論了一類形式cT+d的可容許性.

對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù);Bayes估計(jì);可容許性

1 引言

意義下考慮參數(shù)θ的估計(jì)，其中δ是θ的判決空間中的一個(gè)估計(jì)，由數(shù)學(xué)分析知識(shí)知道這個(gè)損失函數(shù)L(θ，δ)關(guān)于δ是嚴(yán)格凸函數(shù)，并且在δ=θ處取得唯一的最小值.

2 可靠度θ的Bayes估計(jì)

我們討論參數(shù)θ的Bayes估計(jì)，對(duì)任意先驗(yàn)分布，θ的Bayes估計(jì)

定理1在損失函數(shù)(1)下，對(duì)于任何先驗(yàn)分布，θ的Bayes估計(jì)為

這里的x=(x1，x2，…，xn)，若δB(s)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)有限，則它還是唯一的Bayes估計(jì).

上式的左端表示關(guān)于θ和的聯(lián)合分布取期望，欲使R(θ，δ)達(dá)到最小，只須后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，由于E(+－2)=·E(θ|x)+δ·E(θ－1|x)－

下面以定理的形式給出的θ的精確Bayes估計(jì).

定理2θ的先驗(yàn)分布Γ(α，λ)取在損失函數(shù)(1)下，其分布參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

引理1在給定的Bayes決策問(wèn)題中，假如對(duì)給定的先驗(yàn)分布π(θ)，θ的Bayes估計(jì)是唯一的，則它是容許估計(jì)［3］.

由于對(duì)稱損失函數(shù)(1)是嚴(yán)格凸函數(shù)，其Bayes估計(jì)必是唯一的，由引理1可知，Bayes估計(jì)δB(x)亦是可容許估計(jì).

3 估計(jì)量cT+d的容許性

可以看出，在適當(dāng)?shù)哪尜が敺植枷闰?yàn)分布下，參數(shù)θ的估計(jì)量都有形式cT+d，而形如cT+d的這類估計(jì)的可容許性與c和d的取值有關(guān).下面對(duì)c和d的不同取值情況分別進(jìn)行討論.

定理3當(dāng)0cc*，d＞0估計(jì)量cT+d是可容許的.

證明在對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下，我們證明了θ有唯一的Bayes解:

當(dāng)c=0，d＞0時(shí)，估計(jì)量為常值d，若此時(shí)估計(jì)量不可容許，必存在某一個(gè)估計(jì)量δ1(X)優(yōu)于d，即0R(θ，δ1(X))R(θ，d)，對(duì)某些θ不等號(hào)嚴(yán)格成立.

當(dāng)θ=d時(shí)，有0R(θ，δ1(x))R(θ，d)=0，即R(θ，δ1(X))=0，由損失函數(shù)的非負(fù)性可知L(d，δ1(X))=0，故δ1(X)=da.e，所以，當(dāng)c=0，d＞0時(shí)，估計(jì)量cT+d是可容許.

［1］韋博成.參數(shù)統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］茆詩(shī)松，王靜龍，濮小龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［3］茆詩(shī)松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)［M］.北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

［4］李文東，張強(qiáng)，張建軍.一類指數(shù)分布族的漸進(jìn)最優(yōu)和可容許的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)［J］.孝感學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，26(3).

(責(zé)任編輯:王宏志)

Abstract:In the paper，we study the Bayesian estimation of the parameters on a class of Exponential Distribution Family under Symmetric Entropy Loss Function.We prove that the Bayesian estimation is admissible，and discuss the admissibility of a class of cT+d form.

Key words:symmetric entropy loss function;Bayesian estimation;admissibility

Bayes Estimation on a Class of Exponential Distribution Fam ily under Symmetric Entropy Loss Function

SHIXiao－ming，CAIChun－juan
(School of Mathematics，Jilin Normal University，Siping，Jilin 136000，China)

O212.8

A

1008－7974(2011)04－0015－02

2011－01－06

史曉明(1987－)，女，吉林長(zhǎng)春人，吉林師范大學(xué)在讀碩士研究生.