仝耀華，薛亞魁，李錄蘋

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051）

具有兩個(gè)時(shí)滯的SEIRS脈沖接種模型的周期解

仝耀華1，2，薛亞魁2，李錄蘋1

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051）

討論了具有兩個(gè)時(shí)滯的傳染病脈沖接種模型，考慮了周期解的存在性和全局吸引性。

時(shí)滯；脈沖；周期解；全局吸引性

1 模型的建立

本文將考慮具有兩個(gè)時(shí)滯的SEIRS脈沖接種模型［1-4］

總?cè)丝贜（t）=S（t）+E（t）+I（t）+R（t），

由系統(tǒng)（1）知

當(dāng)t≠kT時(shí)，由系統(tǒng)（2）可以得到

μK-（μ+d）N（t）≤N（t）≤μK-μN(yùn)（t）。

而N（kT+）=N（kT），

由常微分方程的比較定理可得

簡(jiǎn)化模型（1）得到

系統(tǒng)（3）的初始條件是

考慮實(shí)際生物意義僅在

2 周期解的全局吸引性

在這一部分中，首先討論系統(tǒng)的周期解的存在性。此時(shí)系統(tǒng)（3）不存在染病者，即I（t）=0，t≥0。在這個(gè)條件下，易感者，恢復(fù)者，總?cè)丝趹?yīng)滿足

得到下面關(guān)于系統(tǒng)（5）的極限系統(tǒng)

和

由文獻(xiàn)［5］可知系統(tǒng)（7）的周期解為

定理2.1如果R*＜1，則系統(tǒng)（3）的周期解（Se（t），0，K-Se（t），K）是全局吸引的。其中

證明當(dāng)R*＜1時(shí)，取一個(gè)充分小的ε0＞0，使得

由系統(tǒng)（3）的第一個(gè)方程，可得

S（t）≤（μ+γ）（K-S（t）。

考慮下面的比較系統(tǒng)

由文獻(xiàn)［5］可知系統(tǒng)（10）的周期解

酸性解堵液加入膠塞中，在50～90℃條件下，1～4 h完全破膠，破膠液黏度低于5 m Pa·s，有利于從井筒排出。

xe（t）=K+（x*-K）e-（μ+γ）（t-kT），kT＜t≤（k+1）T。

是全局穩(wěn)定的。其中

令（S（t），I（t），R（t），N（t）是系統(tǒng)（3）滿足初始條件（4）和S（0+）=S0＞0的解，x（t）是系統(tǒng)（10）滿足初始條件S（0+）=S0的解。

由文獻(xiàn)［6］，［7］可知存在k1＞0，使得

S（t）＜x（t）＜xe（t），kT＜t≤（k+1）T，k＞k1。

也就是

由系統(tǒng)（3）的第二個(gè)方程，可以得到

令（S（t），I（t），R（t），N（t）是系統(tǒng)（3）滿足初始條件（4）和I（ζ）=φ（ζ）＞0（ζ∈［-ω，0］的解，y（t）是系統(tǒng)（12）滿足初始條件y（ζ）=φ（ζ）＞0（ζ∈［-ω，0］的解。

由文獻(xiàn)［6］，［7］，有

結(jié)合實(shí)際可知

因此對(duì)于充分小的ε1＞0，存在k2＞k1（k2T＞k1T+ω），使得對(duì)所有的t＞k2T，有I（t）＜ε1。

由系統(tǒng)（3）的第4個(gè)方程，可以得到

N（t）＞μ（K-N（t）-dε1，t＞k2T。

當(dāng)t＞k2T時(shí)考慮下面比較方程

由（13）和（16）可得存在k4＞k3，使得

所以由系統(tǒng)（1）的第二個(gè)方程，可以得到

易知存在一個(gè)整數(shù)k5＞k4，使得

因此當(dāng)t＞k5T時(shí)，由（17），（18）和系統(tǒng)（3）的第一個(gè)方程，可得

當(dāng)t＞k5T且k＞k5時(shí)考慮下面比較系統(tǒng)

由文獻(xiàn)［8］，得到（19）的周期解

是全局穩(wěn)定的。其中

由文獻(xiàn)［6］，［7］可知存在k6＞k5，使得

因?yàn)棣?充分小，由（11）和（20）可得

kT＜t≤（k+1）T是全局吸引的。也就是

又因?yàn)镋（t）是正值且ε1充分小由（18）可知

令

推論2.1（Ⅰ）如果Kβe-μω≤（1+αΚ）（μ+d），無(wú)病周期解（Se（t），0，K-Se（t），0）是全局吸引的。

（Ⅱ）如果Kβe-μω＞（1+αΚ）（μ+d），假如θ＞θ*或者T＜T*，無(wú)病周期解（Se（t），0，K-Se（t），0）是全局吸引的。

定理2.1描述了當(dāng)R*＜1時(shí)，系統(tǒng)（3）的全局吸引性。

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〔編輯 高?！?/p>

Periodic Solution to SEIRS Pulse Inoculation Model with two Delays

TONG Yao-hua1，2，XUE Ya-kui2，LI Lu-ping1
（1.School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009；2.School of Science，North China University，Taiyuan Shanxi，030051）

This paper discussed the infectious disease model with two delays，considering the pulse inoculation periodic solutions of the existence and global exponential attract sexual

delay；pulse；periodic solution；global attract sexual

O175

A

1674-0874（2011）02-0011-03

2010-10-11

仝耀華（1979-），女，山西大同人，碩士，助教，研究方向：生物數(shù)學(xué)。