趙 軍，陳小偉，金豐年，徐 迎

（1.解放軍理工大學(xué)工程兵工程學(xué)院，江蘇 南京 210007；2.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900）

剛性彈侵徹分析模型中忽略了彈體頭部的質(zhì)量磨蝕作用，在一定速度范圍內(nèi)能夠取得較好的效果，然而鉆地彈的發(fā)展方向是通過提高彈體的強度和速度來對付更加深埋及堅硬的靶體。在這些條件下，考慮彈體頭部的質(zhì)量磨蝕就顯得更重要，忽略彈頭質(zhì)量磨蝕的分析理論已經(jīng)不能合理解釋高速侵徹實驗現(xiàn)象，更多學(xué)者通過研究彈體的質(zhì)量磨蝕來解釋彈體侵徹能力降低的現(xiàn)象［1－15］。

對于高速侵徹彈體，彈體結(jié)構(gòu)的剛／強度和穩(wěn)定性問題成為關(guān)注的重點。皮愛國等［16］指出大長細比動能彈在侵徹過程中可能存在2類穩(wěn)定性問題，其中之一就是彈體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，即撞擊初期和侵徹過程中彈體結(jié)構(gòu)可能面臨動態(tài)屈曲、彎曲和剪切破壞，與初始侵徹速度和彈靶材料有關(guān)。皮愛國等［16］、陳小偉［17］分別使用不同方法通過研究彈體的抗拉／壓和抗彎能力來確定侵徹彈體的極限壁厚，給出了極限彈殼厚度與撞擊初速度的關(guān)系。然而上述分析是基于剛性彈侵徹理論的，對于高速侵徹彈體，還必須考慮彈體質(zhì)量磨蝕的影響。

在軸對稱質(zhì)量磨蝕條件下，趙軍等［11，13］通過建立殘余彈頭形狀因子與初始撞擊速度關(guān)系的工程模型，給出了考慮彈頭部質(zhì)量磨蝕的侵徹阻力和侵徹深度計算方法，分析證明彈體質(zhì)量損失將導(dǎo)致其侵徹深度存在上限。進一步，趙軍等［14］給出了正侵徹彈體在非對稱質(zhì)量磨蝕條件下垂直于彈體侵徹方向的橫向荷載的計算方法，以及由此導(dǎo)致彈體在壓彎聯(lián)合作用下屈服的分析方法。相關(guān)工作表明，彈體的危險截面在承受較大的軸向荷載時，對由非對稱質(zhì)量磨蝕導(dǎo)致的橫向荷載極敏感。

在前述工作的基礎(chǔ)上，本文中擬通過考慮空心彈體壁厚，給出高速侵徹彈體在正侵徹和斜侵徹2種條件下彈體屈服和壁厚設(shè)計的力學(xué)分析，得到在給定的彈體幾何條件下保持彈體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性所能達到的極限初始撞擊速度，分析彈／靶條件對極限初始撞擊速度的影響。最后通過理論與實驗結(jié)果的對比來驗證理論模型的可用性。

1 彈體受力狀態(tài)分析

1.1 軸向阻力

彈體頭部的質(zhì)量磨蝕對于彈體的侵徹阻力變化具有不可忽略的影響，磨蝕是導(dǎo)致彈頭鈍粗的一個重要原因。彈頭形狀因子N＊在侵徹過程中逐漸增大，即彈頭形狀在整個侵徹過程中是依賴于時間的函數(shù)。根據(jù)實驗結(jié)果，趙軍等［11，13］假設(shè)在侵徹過程中彈頭形狀因子N＊與初始彈頭形狀因子之間保持瞬時速度v的平方線性關(guān)系，用以描述彈頭形狀因子的變化，即

式中：k為經(jīng)驗常數(shù)，單位為10－6（s／m）2。在彈體初始撞擊速度為v0時，彈頭形狀因子為；侵徹終止時，殘余彈頭形狀因子為。

對于質(zhì)量為m、彈徑為d的彈體正侵徹密度和靜阻力項分別為ρt和R的靶體，由于混凝土靶體材料的不均勻性，在高速侵徹過程中可能發(fā)生非對稱質(zhì)量磨蝕。趙軍等［14］根據(jù)這種正侵徹但非對稱質(zhì)量磨蝕的實驗現(xiàn)象，假設(shè)一種磨蝕后的彈頭部非對稱形態(tài)，即彈頭部變化為具有不同曲徑比的2個半側(cè)，并結(jié)合空腔膨脹理論給出了正侵徹彈體所受軸向阻力為

對于侵徹著角為β的斜侵徹情況，也會發(fā)生非對稱或?qū)ΨQ質(zhì)量磨蝕，彈體所受軸向阻力仍可采用式（2）、（3）計算，只是其初速度變化為v0cosβ。

1.2 橫向作用力

趙軍等［14］給出了彈體正侵徹但非對稱質(zhì)量磨蝕時受到垂直于侵徹速度方向的橫向作用力

當(dāng)彈體斜侵徹靶體時也由于非對稱質(zhì)量磨蝕產(chǎn)生垂直于侵徹速度方向的橫向力作用，可按式（4）、（5）計算；另外，由于斜侵徹導(dǎo)致受力不均衡，也會產(chǎn)生橫向力的作用，對于斜侵徹著角為β的情況，參照陳小偉［17］給出的平均側(cè)向作用力，彈體在高速斜侵徹過程中因受力不均衡導(dǎo)致的橫向作用力為

1.3 壓彎聯(lián)合作用

彈體在高速正／斜侵徹靶體過程中不可避免地要承受橫向力的作用。皮愛國等［16］基于剛塑性自由梁在橫向沖擊載荷下的動力學(xué)響應(yīng)研究方法，得到了梁內(nèi)任一截面在橫向荷載下剪力和彎矩分布規(guī)律，并給出了在軸力N和彎矩M 共同作用下梁截面的屈服分析方法

式中：Ny和My分別為截面單純受壓和單純受彎的屈服極限。對于圓筒形彈體截面來說，有式中：d1為彈體內(nèi)徑。對于不同的受力狀態(tài)，將彈體所受軸向阻力和橫向作用力代入式（7）即可得到彈體在不同工況下的屈服分析方法。

2 彈體正侵徹

彈體在正侵徹靶體時，由于靶體材料的不均勻性，在彈體頭部會發(fā)生對稱質(zhì)量磨蝕和非對稱質(zhì)量磨蝕，并導(dǎo)致彈體在侵徹過程中產(chǎn)生不同的受力形態(tài)。下面分別針對這2種情形進行彈體的力學(xué)分析。

2.1 對稱質(zhì)量磨蝕

圖1 承受最大壓力截面示意圖［16］Fig.1 Cross section with the maximum compressive stress［16］

深鉆地彈的殼體基本上都屬于旋轉(zhuǎn)對稱體，皮愛國等［16］、陳小偉［17］指出對于等厚壁設(shè)計的彈體，如圖1所示，垂直侵徹時的危險截面位于承受最大壓應(yīng)力的弧柱交接面。

在彈材和彈體設(shè)計一定的情況下，殼體壁厚關(guān)系到整個彈體承受軸向過載的能力。在彈體侵徹混凝土靶的過程中，彈體的前端主要承受壓縮變形，而后端有可能由于拉應(yīng)力的作用而發(fā)生拉伸斷裂，陳小偉［17］指出考慮到由于彈體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性而導(dǎo)致的應(yīng)力波在彈體中傳播、反射的彌散以及金屬材料的包辛格效應(yīng)，彈體材料抗壓縮和抗拉伸強度分析可近似采用相同的計算方法。陳小偉［17］通過對彈體受力的研究，給出了彈體在侵徹混凝土靶的過程中抗拉／壓的極限壁厚要求。本節(jié)中進一步給出考慮質(zhì)量磨蝕對相應(yīng)分析的修正。

根據(jù)式（3）所給出的彈體侵徹過程中軸向阻力的變化形式，對于給定的初始撞擊速度v0，軸向阻力Fa是關(guān)于v2的二次函數(shù)，經(jīng)求導(dǎo)，可得

上式極值點存在的必要條件是v＜v0，即當(dāng)時，式（9）才具有實際意義。也可知一般在高速侵徹條件下，該極值點才存在。當(dāng)滿足此成立條件時，將式（9）代入式（3）可得彈頭所受軸向阻力最大值為

在給出彈體所受軸向阻力最大值后，即可根據(jù)彈體的承載能力給出彈體極限初始撞擊速度的要求。如果已知彈體壁厚ht、彈材抗壓強度極限σcr、圖1中彈體x－x截面之上的質(zhì)量mx，彈體正侵徹靶體時，在對稱的質(zhì)量磨蝕條件下，可簡化為一維軸向問題進行分析，通過對x－x截面以下自由體的運動方程分析，再根據(jù)彈體所受軸向阻力最大值可知，在x－x截面承受的載荷為

假設(shè)彈體質(zhì)量沿彈長l均布，則距頭部x處的x－x截面上彈體承受的最大載荷可近似為

根據(jù)強度條件，不計材料強度的應(yīng)變率強化效應(yīng)，并考慮一定的安全系數(shù)，可知當(dāng)殼體達到承載能力極限狀態(tài)時，有

式中：ηst為強度儲備系數(shù)。

將式（12）代入式（13）整理后即可得到彈體極限初始撞擊速度的要求

式中：h＊t為彈體量綱一壁厚。特別地，對于實心彈來說，則

式（14）反映了在對稱質(zhì)量磨蝕條件下，靶體材料參數(shù)、彈材強度、彈殼壁厚和彈頭形狀因子對彈體初始撞擊速度極限值的影響。工程設(shè)計中，彈材選用高強度鋼，假設(shè)彈體材料σcr＝1500MPa，ηst＝1，初始彈頭曲徑比ψ＝3，長徑比λ1＝10的彈體侵徹半無限混凝土靶，混凝土密度ρt＝2 300kg／m3，對于無側(cè)限抗壓強度分別為30、40、50和100MPa的混凝土靶，k值分別為 0.161、0.214、0.268 和0.535［11］。由于彈體危險截面位于承受最大壓應(yīng)力的弧柱交接面，對于彈頭曲徑比ψ＝3的彈體，取x／l＝0.166。圖2給出了彈體極限初始撞擊速度與彈體壁厚的理論關(guān)系。由圖2可知，隨著彈速和混凝土強度增加，彈殼厚度顯著增加；對于高速侵徹混凝土靶的彈體，其彈殼厚度ht／d一般應(yīng)大于0.10。

圖2 彈體極限初始撞擊速度與彈殼厚度的關(guān)系Fig.2 Relation between the initial impact velocity limit and the cartridge thickness of projectile

2.2 非對稱質(zhì)量磨蝕

彈體在侵徹混凝土靶的過程中往往發(fā)生非對稱的質(zhì)量磨蝕，這種情形下，彈體在承受軸向作用力的同時還要承受垂直于彈體侵徹速度方向的橫向作用力，高速侵徹彈體在這樣復(fù)雜的受力環(huán)境下極容易發(fā)生彎曲屈服。根據(jù)陳小偉［17］給出的彈體所受軸向阻力和彎矩分布規(guī)律，將式（2）、（4）代入式（7）可得

當(dāng)彈體所受軸向阻力達到最大值時，非對稱質(zhì)量磨蝕差異達到最大［13］。將式（8）和式（9）代入式（16）整理后可得，在一定彈體幾何形狀下，以初始速度v0侵徹給定靶體，沿彈長方向屈服函數(shù)與非對稱質(zhì)量磨蝕之間的關(guān)系

這樣，將式（17）代入式（18）可得在一定的彈體幾何和非對稱質(zhì)量磨蝕條件下彈體最危險截面屈服函數(shù)值，從而可根據(jù)屈服條件對彈體是否彎曲進行判斷。

工程設(shè)計中，若指定彈頭部允許發(fā)生一定的非對稱質(zhì)量磨蝕差異為設(shè)計標(biāo)準，則可以根據(jù)屈服條件得出在給定的彈體幾何條件下，彈體最危險截面滿足屈服條件時的彈體極限初始撞擊速度，即

從式（19）可以看出，彈體極限初始撞擊速度v0，max與彈體長徑比λ1，彈體量綱一壁厚，彈體最危險截面xm，1／l，初始彈頭形狀因子，彈體材料強度σcr，非對稱質(zhì)量磨蝕后的量綱一彈頭形狀參數(shù)，表征靶體靜阻力項的R，靶體密度ρt及經(jīng)驗常數(shù)k有關(guān)。對于混凝土靶體來說，靶體靜阻力項R為與混凝土靶無側(cè)限抗壓強度fc′有關(guān)的量［18－20］，量綱一彈頭形狀參數(shù)為與磨蝕后彈頭兩側(cè)曲徑比ψ1和ψ2有關(guān)的量，而彈體最危險截面可完全由式（17）確定。一般而言，對于深層侵徹彈體，其彈形（即彈體長徑比λ1和曲徑比ψ）、彈材強度σcr和混凝土密度ρt比較固定，可選擇性較小。因此，下面僅對非對稱質(zhì)量磨蝕程度（ψ1－ψ2）和混凝土靶無側(cè)限抗壓強度fc′對彈體極限初始撞擊速度的影響加以討論。

圖3和圖4分別給出在不同的非對稱質(zhì)量磨蝕和混凝土靶強度下彈體極限初始撞擊速度v0，max隨彈殼厚度ht／d的變化。彈靶材料沿用2.1節(jié)分析中所采用的假設(shè)。在圖3中，假設(shè)正侵徹非對稱質(zhì)量磨蝕ψ1－ψ2分別為0.3、0.4和0.5，其中混凝土靶強度為40MPa。圖4則假設(shè)非對稱質(zhì)量磨蝕ψ1－ψ2＝0.4，而混凝土靶強度分別為30、40和50MPa。由分析可見，在非對稱質(zhì)量磨蝕條件下，混凝土靶無側(cè)限抗壓強度的變化和彈體頭部非對稱質(zhì)量磨蝕的變化對彈體極限初始撞擊速度都有顯著影響。另一方面，彈體的質(zhì)量磨蝕也顯著依賴于混凝土靶體強度、骨料硬度的變化，非對稱侵蝕還與骨料特征尺寸和分布相關(guān)［8－12］。因此，很多防護工程的設(shè)計都是在提高結(jié)構(gòu)抗力的基礎(chǔ)上增加誘偏結(jié)構(gòu)。

圖3 不同非對稱質(zhì)量磨蝕下，彈體極限初始撞擊速度隨彈殼厚度的變化Fig.3 Relation between the initial impact velocity limit and the cartridge thickness of projectile in the cases of different asymmetrical mass erosion

圖4 不同混凝土強度下，彈體極限初始撞擊速度隨彈殼厚度的變化Fig.4 Relation between the initial impact velocity limit and the cartridge thickness of projectile in the cases of different unconfined compressive strengths

3 彈體斜侵徹

在實際情況中彈體著靶時不可避免地要面臨非正侵徹情況（斜侵徹／攻角侵徹），本文中僅討論斜侵徹（著角β）情形，這時彈體將發(fā)生非對稱質(zhì)量磨蝕形態(tài)。

在斜侵徹并發(fā)生非對稱質(zhì)量磨蝕條件下，彈體受力條件較復(fù)雜，除了需要承受軸向阻力和斜侵徹引起的橫向作用力，還要承受由于非對稱質(zhì)量磨蝕而導(dǎo)致的橫向力作用，這樣彈體所受的橫向作用力就由2部分組成，分析中取最不利的受力狀態(tài)，即2部分橫向作用力作用方向相同。在彈體受彎屈服分析中，將式（2）、式（4）和式（6）代入式（7）可得

假設(shè)當(dāng)彈體所受軸向阻力達到最大值時，非對稱質(zhì)量磨蝕差異達到最大。將式（8）、（9）代入式（20）可得以初始速度v0斜侵徹給定靶體，沿彈長方向屈服函數(shù)與非對稱質(zhì)量磨蝕及斜侵徹角度之間的關(guān)系

圖5 不同著角下，彈體極限初始撞擊速度隨彈殼厚度的變化Fig.5 Relation between the initial impact velocity limit and the cartridge thickness of projectile in the cases of different initial oblique angles

由式（19）、（23）可知，較之于正侵徹非對稱質(zhì)量磨蝕時彈體極限初始撞擊速度所受相關(guān)因素外，斜侵徹且發(fā)生非對稱質(zhì)量磨蝕時，著角β對彈體極限初始撞擊速度也有重要影響。類似于前面的分析，下面討論彈體侵徹著角β、混凝土靶無側(cè)限抗壓強度f′c和非對稱質(zhì)量磨蝕程度（ψ1－ψ2）對彈體極限初始撞擊速度的影響。

圖5給出了彈體以不同著角斜侵徹強度為40MPa的混凝土靶時的極限初始撞擊速度。殼體厚度ht／d＝0.18的彈體以3°、5°和7°斜侵徹混凝土靶且發(fā)生ψ1－ψ2＝0.2的非對稱質(zhì)量磨蝕時，極限初始撞擊速度分別為1.00、0.89和0.76km／s。圖6給出彈體以5°著角侵徹不同強度的混凝土靶時的極限初始撞擊速度，其中殼厚ht／d＝0.18，混凝土靶強度分別為30、40和50MPa。在發(fā)生ψ1－ψ2＝0.2的非對稱質(zhì)量磨蝕時，極限初始撞擊速度分別為1.05、0.89和0.73km／s。圖7給出殼厚ht／d＝0.18的彈體以5°著角侵徹40MPa混凝土靶發(fā)生不同非對稱質(zhì)量磨蝕時的極限初始撞擊速度，對應(yīng)于ψ1－ψ2＝0.1，0.2和0.3，極限初始撞擊速度分別為1.00、0.89和0.76km／s。由此可見，彈體斜侵徹著角β、混凝土靶無側(cè)限抗壓強度f′c和非對稱質(zhì)量磨蝕ψ1－ψ2對彈體極限初始撞擊速度的影響相當(dāng)，高速侵徹應(yīng)盡量避免較大著角的斜侵徹。

4 實驗數(shù)據(jù)分析

高速侵徹彈體極容易發(fā)生動態(tài)彎曲屈服，M.J.Forrestal等［4］和D.J.Frew等［20］開展了彈體高速正侵徹混凝土靶和巖石靶實驗研究，在實驗中均觀察到了彈體發(fā)生嚴重彎曲和偏航出靶現(xiàn)象，并且完整地記錄了彈體發(fā)生破壞時的初始速度及破壞狀態(tài)。針對這些實驗數(shù)據(jù)，利用本文中所給出的正侵徹彈體在對稱和非對稱質(zhì)量磨蝕條件下的屈服分析方法進行分析，分析結(jié)果如圖8～9所示。

圖6 不同混凝土強度下彈體極限初始撞擊速度隨彈殼厚度的變化Fig.6 Relation between the initial impact velocity limit and the cartridge thickness of projectile in the cases of different unconfined compressive strengths

圖7 不同非對稱質(zhì)量磨蝕下彈體極限初始撞擊速度隨彈殼厚度的變化Fig.7 Relation between the initial impact velocity limit and the cartridge thickness of projectile in the cases of different asymmetrical mass abrasion

圖8 彈體正侵徹不同強度混凝土靶的初始撞擊速度極限值及彈體變形情況［4］Fig.8 Initial impact velocity limit of projectile penetrating normally into different concrete targets and the corresponding experimental results［4］

圖9 彈體正侵徹同一強度巖石靶的初始撞擊速度極限值及彈體變形情況［20］Fig.9 Initial impact velocity limit of projectile penetrating normally into limestone targets and the corresponding experimental results［20］

對于文獻［4］中實心彈體高速正侵徹密度為2 300kg／m3，強度為51.0和62.8MPa混凝土靶的2種工況，彈體長徑比為10，彈頭曲徑比為3.0，彈徑分別為30.5和20.3mm，彈體質(zhì)量分別為1.60和0.48kg，彈體初始撞擊速度最大值分別為1 358和1 224m／s，從圖8中可以看出，本文中理論分析能夠解釋彈體產(chǎn)生偏航和斷裂的原因，實驗中的彈體有可能發(fā)生了一定程度的非對稱質(zhì)量磨蝕而導(dǎo)致彈體嚴重彎曲和偏航出靶，而剛性彈模型則不能有效地描述這些實驗現(xiàn)象。

D.J.Frew等［20］共進行了3組曲徑比為3.0的尖卵形彈體高速正侵徹強度為60MPa的巖石靶的實驗，彈體長徑比均為10，彈體的彈徑和質(zhì)量分別為：7.1mm，0.020kg；12.7mm，0.117kg；25.4mm，0.931kg。對應(yīng)于上述3種工況，靶體靜阻力R依次為913、787和693MPa。根據(jù)文獻［20］中描述的彈體在侵徹巖石靶后發(fā)生質(zhì)量磨蝕情況，通過計算經(jīng)驗常數(shù)取平均值k＝0.09。對于直徑為25.4mm的彈體侵徹工況，由于靶體大小和質(zhì)量限制，彈體初始撞擊速度最大值僅為1 177m／s，侵徹后的彈體保持完整；而對于直徑為12.7和7.1mm的彈體侵徹工況，彈體初始撞擊速度最大值分別為約1 600和1 900m／s。從圖9中可以看出，本文中的理論分析與實驗結(jié)果吻合較好，較低速度時彈體保持完好，而較高速度時彈體發(fā)生嚴重偏航和彎曲現(xiàn)象。

根據(jù)D.J.Frew等［20］的分析，靶體靜阻力項R同時與靶體強度和彈靶邊界條件相關(guān)。雖然3種工況均為侵徹同一抗壓強度巖石靶，但靶體靜阻力項R仍隨彈體直徑發(fā)生變化。這正是區(qū)別圖9的曲線上凸，而圖8的曲線下凹的原因。

5 結(jié) 論

發(fā)生于彈體頭部的質(zhì)量磨蝕是導(dǎo)致高速侵徹彈體受力變化、產(chǎn)生偏航甚至彎曲斷裂的重要原因之一。本文的研究進一步明確了適用于考慮質(zhì)量磨蝕的高速侵徹彈體抗壓／拉和抗彎曲的力學(xué)分析方法。針對高速侵徹彈體，基于理想剛塑性模型，從考慮彈體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的要求出發(fā)，分別給出了彈體在正／斜侵徹半無限靶時，彈體頭部發(fā)生對稱和非對稱質(zhì)量磨蝕條件下彈體危險截面屈服條件，得到了在給定的壁厚條件下彈體極限初始撞擊速度的計算方法，可對彈體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進行校核。彈體極限初始撞擊速度的影響因素等相關(guān)的力學(xué)分析可用于針對不同攻防目的對彈／靶采取相應(yīng)措施。需注意的是，本文所進行的屈服分析并非導(dǎo)致彈體彎曲破壞、侵徹能力下降的唯一誘因，還有可能是彈體在高速侵徹時發(fā)生側(cè)向失穩(wěn)導(dǎo)致。

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