褚東升,王紅都,張 玲

(中國海洋大學工程學院,山東青島266100)

帶乘性噪聲系統(tǒng)的最優(yōu)方差約束魯棒狀態(tài)估計算法

褚東升,王紅都,張 玲

(中國海洋大學工程學院,山東青島266100)

帶乘性噪聲系統(tǒng)由于其廣泛的適用性,一直成為研究的熱點。針對帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計算法進行研究,利用線性矩陣不等式的方法,討論狀態(tài)方程中含有范數(shù)有界不確定性參數(shù)的帶乘性噪聲系統(tǒng)的方差約束魯棒狀態(tài)估計器存在的條件,并針對此類帶乘性噪聲系統(tǒng)推導出1套方差約束魯棒狀態(tài)估計算法以及最優(yōu)方差約束魯棒狀態(tài)估計算法。仿真結果驗證算法的有效性。

線性矩陣不等式;乘性噪聲;方差約束;魯棒狀態(tài)估計;范數(shù)有界不確定性參數(shù)

基于最小方差準則的卡爾曼濾波方法廣泛應用于控制、信號處理等許多領域[1-4],但是卡爾曼濾波方法需要知道精確的系統(tǒng)模型及統(tǒng)計特性。在工程應用時,由于模型不準確、模型退化及線性化等眾多問題,致使實際系統(tǒng)模型參數(shù)呈現(xiàn)不確定性、隨機性[3],難以用精確的數(shù)學模型來描述實際工程系統(tǒng)。大量的研究結果表明,由于模型存在誤差,即使這種誤差非常小,也可能使濾波效果非常差[3]。為了解決上述難題,魯棒估計理論方法已經(jīng)引起極大的關注并成為研究熱點[4-6]。實際運行的工程系統(tǒng)往往存在乘性噪聲的干擾,帶乘性噪聲隨機系統(tǒng)的控制及濾波問題研究引起了人們的極大關注,它已經(jīng)被應用在圖像處理、目標識別、地震信號處理、水聲信號處理等許多領域[6-8]。

近幾年發(fā)展起來的方差約束魯棒估計方法能夠有效地解決含有不確定性參數(shù)的系統(tǒng)狀態(tài)估計問題,目前該領域已經(jīng)取得了一定的成果[3-5]。文獻[9]討論了一類同時包含隨機不確定性參數(shù)和范數(shù)有界不確定性參數(shù)隨機時變系統(tǒng)的魯棒濾波算法,并得出2個便于在計算機實現(xiàn)的Ricatti方程。文獻[10]對于含有隨機不確定性參數(shù)的線性時不變離散系統(tǒng)進行研究,基于線性矩陣不等式推導出狀態(tài)估計器存在的充分條件以及1套狀態(tài)估計算法。文獻[11]運用線性矩陣不等式的方法對有限信噪比模型的狀態(tài)估計算法進行研究,推導此類系統(tǒng)狀態(tài)估計器存在的充分條件以及基于線性矩陣不等式的狀態(tài)估計器。文獻[12]分別研究了一類線性不確定性連續(xù)和離散系統(tǒng)的魯棒保成本濾波器,用線性矩陣不等式的形式給出魯棒保本濾波器存在的檢驗條件,由線性矩陣不等式的解可求得濾波器各參數(shù)的值。以上文獻針對只含有加性噪聲的系統(tǒng)模型進行了討論,對于既含有加性噪聲又含有乘性噪聲的情形算法將不能適用。文獻[4]研究了一類狀態(tài)方程中含有范數(shù)有界的不確定參數(shù),觀測方程有丟失觀測數(shù)據(jù)的一類特殊的帶乘性噪聲系統(tǒng),推導出了一對基于類似Ricatti方程不等式的方差約束濾波算法,但該算法結構復雜且不易用計算機實現(xiàn)。

目前,針對帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計算法的研究還遠不完善。本文針對狀態(tài)方程含有范數(shù)有界的不確定性參數(shù)、觀測方程含有乘性噪聲的系統(tǒng)進行研究,其中乘性噪聲要求為已知一、二階矩的白噪聲,對噪聲的分布沒有限制,因此本文的系統(tǒng)模型具有更加寬泛的應用范圍。本文推導出的基于線性矩陣不等式的方差約束狀態(tài)估計算法及最優(yōu)方差約束狀態(tài)估計算法簡練,更易于計算機實現(xiàn),具有一定的理論意義及實際應用價值。

1 問題描述

本文主要研究以下時不變模型:

其中x(k)∈Rn為狀態(tài)向量,y(k)∈Rm為觀測向量。w(k)、v(k)分別為系統(tǒng)動態(tài)噪聲和觀測噪聲,m(k)為乘性噪聲,并滿足以下假設條件:

假設1 E{w(k)}=0,E{w(k)wT(j)}=Wδkj,

假設2 E{v(k)}=0,E{v(k)vT(j)}=Vδkj,

假設3 E{m(k)}=￣m,E{[m(k)-￣m][m(j)-￣m]T}= ˇm2δkj,

假設4 {m(k)}、{w(k)}、{v(k)}、及{x(0)}相互獨立。

ΔA是系統(tǒng)的參數(shù)不確定性因素構成的可描述集,它具有如下的結構

M、N是具有合適維數(shù)的常系數(shù)矩陣,F為范數(shù)有界的不確定量。

在設計估計器之前,本文需要假設系統(tǒng)(1)(2)是二次穩(wěn)定的[13]。

2 方差約束魯棒估計器的定義

假設系統(tǒng)(1)(2)的方差約束魯棒狀態(tài)估計器具有如下結構

其中FFT≤I,則系統(tǒng)(1)(2)的穩(wěn)態(tài)估計方差P存在,且。

定義1 如果增廣系統(tǒng)(9)滿足式(14),則稱估計器(4)為方差約束魯棒估計器。

3 方差約束魯棒估計器的設計

定義1給出了帶乘性噪聲系統(tǒng)(1)(2)的魯棒狀態(tài)估計器存在的充分條件,但(14)式中含有不確定量因而難以驗證。為了使其便于驗證求解,本文基于線性矩陣不等式討論了魯棒狀態(tài)估計器存在的條件。在設計帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計器之前需要引入以下3個引理。

引理2[15]給定對稱矩陣Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x),S(x)=ST(x),則下列3個條件是等價的:

引理3[15]給定矩陣Y是對稱矩陣,M和F具有相應維數(shù)的矩陣,滿足

針對帶乘性噪聲系統(tǒng)(1)(2),以定理1的形式給出其增廣系統(tǒng)(9)滿足(14)式的充要條件。

定理1 存在魯棒方差約束估計器Gf=[G K]使(14)式成立的1個充要條件是:存在ε>0和正定對稱矩陣ˉP>0使得下列不等式成立:

兩式成立。

將M⊥f的表達式代入(33)式得(25)式成立。將(32)式代入(34)式得(26)式成立。

若上述條件成立,估計器Gf=[G K]為方差約束魯棒估計器,由引理1可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)估計方差P< ˉP22。證畢。

定理1給出了帶乘性噪聲系統(tǒng)(1)(2)的魯棒狀態(tài)估計器存在的充分條件,但是由于定理1所示的矩陣不等式并不是嚴格的線性矩陣不等式,難以求解。因此本文基于引理4給出便于利用計算機求解的定理2。定理2 存在1個魯棒方差約束估計器Gf=[G K]使得(14)式成立的1個充分條件是:存在ε>0,μ1<0, μ2<0和正定對稱矩陣X使得下列不等式成立:

若上述條件成立,則系統(tǒng)(1)(2)的穩(wěn)態(tài)估計方差P< (X-1)22。

證明

由引理4知,(25)式成立等價于存在μ1∈R使得

令(38)式兩邊同乘以diag(X,X,X,ˉQ-1,I,I,I),可得(35)式。

由引理4知,(26)式等價于存在μ2∈R使得

若μ2<0,由引理2知(41)式成立等價于(36)式成立。

由引理1可得,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)估計方差P<(X-1)22。證畢。

為使針對系統(tǒng)(1)(2)的魯棒估計器能夠滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)估計方差小于某一特定值的設計要求,本文給出定理3。

定理3 系統(tǒng)(1)(2)的魯棒方差約束估計器存在,且系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)估計方差滿足P0,μ1<0,μ2<0,使其滿足(35)、(36)式以及

其中H=[0 In×n]。

將所求得的ˉP=X-1、ε代入(31)式,則魯棒估計器Gf=[G K]可以通過(31)式由Matlab的basiclmi函數(shù)求出。

證明 由引理2可知,(42)式等價為(X-1)22

定理3給出了如何在給定誤差Pe水平下來設計魯棒濾波器。在魯棒濾波器存在的條件下,通過某種給定的準則來進一步優(yōu)化Pe非常有意義。由定理3知,Pe、P正定,且P

如果有解ε>0,μ1<0,μ2<0,X>0,Pe>0,將所求得的ˉP=X-1、ε代入(31)式,由Matlab的basiclmi函數(shù)求出的魯棒估計器Gf=[G K]為最優(yōu)方差約束魯棒估計器。

4 數(shù)值仿真

仿真1 為了驗證本文提出的算法的有效性,針對系統(tǒng)(1)、(2)采取文獻[4]中的例子進行了仿真,參數(shù)如下

可見ˉP22遠小于文獻[4]中獲得的魯棒估計器增益‖G‖=0.5435,‖K‖= 0.3130,也小于文獻[4]中的估計器增益‖G‖= 1.1669,‖K‖=0.8073。由此可以看出,本算法與文獻[4]相比,在相同的條件下得到的約束方差ˉP22更小,估計器增益也較小,估計器性能得到了很大的提高。分別用本文及文獻[4]中得出的數(shù)據(jù)進行仿真,仿真實例運行100次取平均后,得出的系統(tǒng)各狀態(tài)分量的平均估計方差分別如圖1、2中的…線和—線所示。從圖1可以發(fā)現(xiàn)運用本文提出的算法求得的平均狀態(tài)估計方差更小,也更平滑,從而驗證了該算法的有效性。

仿真2 針對仿真1中的模型,用定理4可求得

可以分析得出ˉP22<ˉP′22,且‖G‖>‖G′‖= -0.5167,‖K‖>‖K′‖=0.2714,這說明本文提出的最優(yōu)方差約束魯棒估計器具有更好性能。利用仿真1中的數(shù)據(jù),仿真實例運行100次取平均后,得出的系統(tǒng)各狀態(tài)分量的平均估計方差分別如圖1、2中的＊線所示。

圖1 狀態(tài)分量x1的平均估計方差Fig.1 Average estimation variance of the first state component

圖2 狀態(tài)分量x2的平均估計方差Fig.2 Average estimation variance of the second state component

5 結語

本文給出了帶乘性噪聲系統(tǒng)的方差約束魯棒估計器的定義,基于矩陣不等式理論給出了帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒估計器存在條件以及1個用線性矩陣不等式來表示且便于實現(xiàn)、便于驗證的充分條件,并推導出1套帶乘性噪聲系統(tǒng)方差約束魯棒狀態(tài)估計算法以及1套最優(yōu)方差約束魯棒狀態(tài)估計算法。仿真結果驗證了算法的有效性。該算法能夠解決線性時不變帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計問題,且容易在計算機中實現(xiàn),便于工程實際應用。針對線性時變帶乘性噪聲系統(tǒng)、非線性帶乘性噪聲系統(tǒng)等魯棒狀態(tài)估計問題有待于進一步的研究。

[1] Anderson B,Moore J B.Optimal filtering[M].NJ:Pretence-Hall,1979.

[2] Wang Fan,Balakrishnan V.Robust Kalman filters for linear timevarying systems with stochastic parametric uncertainties[J]. IEEE Trans on Signal Processing,2002,50(4):803-813.

[3] Lewis F L,Xie L,Popa D.Optimal and robust estimation:with an introduction to stochastic control theory[M].NY:CRC Press,2008.

[4] Wang Zidong,Dniel W C Ho,Liu Xiaobui.Variance-constrained filtering for uncertain stochastic systems with missing measurements[J].IEEE Trans on Automatic Control,2003,48(7): 1254-1258.

[5] Wang F,Balakrishnan V.Robust estimators for systems with deterministic and stochastic uncertainties[C].Proceedings of 38th conference on decision and control,phoenix,1999,12:1946-1951.

[6] 褚東升.帶乘性噪聲系統(tǒng)的估計理論與應用[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學,1993.

[7] Primbs J A.Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multiplicative noise[C].New York:2007 American Control Conference,2007:4470-4475.

[8] 褚東升,趙愛美.帶乘性噪聲系統(tǒng)的多尺度最優(yōu)濾波融合算法[J].中國海洋大學學報:自然科學版,2006,36(3):493-496.

[9] Yang Fuwen,Wang Zidong,Hung Y S.Robust Kalman filter for discrete time-varying uncertain systems with multiplicative noise[J]. IEEE Trans on Automatic Control,2002,47(7):1179-1183.

[10] Li Weiwei,Todorov E,Skelton R E.Estimation and control of systems with multiplicative noise via linear matrix inequalities [C].Portland:2005 American control conference,2005,6: 1181-1816.

[11] Li Weiwei,Skelton R E,T odorov E.State estimation with finite signal-to-noise models via linear matrix inequalities[J].Journal of Dynamic Systems,Measurement and Control,2007,129(3):136-143.

[12] 劉詩娜,費樹岷,馮純伯.線性不確定系統(tǒng)魯棒濾波器設計[J].自動化學報,2002,28(1):50-55.

[13] Peterson I R,Savkin A V.Robust kalman filtering for signals and systems with large uncertainties[M].NY:Birkhauser Boston,1999.

[14] Boyd S,Ghaoui L E,Feron E,et al.Linear matrix inequalities in system and control theory of studies in applied mathematics[M]. Philadelphia:SIAM,1994.

[15] 俞立.魯棒控制-基于線性矩陣不等式處理方法[M].北京:清華大學出版社,2002.

[15] Pascal Gahinet,Alan J Laub.LMI control toolbox for use with MATLAB[M].MA:MathWorks,Inc.,1995.

Abstract: The system with multiplicative noise,due to its extensive applicability,has become the research focus.Using the method of linear matrix inequality,this paper discusses the existence condition of the variance constrained robust state estimator for a class of system with multiplicative noise which has deterministic norm-bounded uncertainties.A robust state estimation algorithm with the provided constrained variance and an optimal variance-constrained robust state estimation algorithm for this kind of system are presented in the terms of linear matrix inequalities.Simulation results are given to show the effectiveness of the algorithm.

Key words: linear matrix inequality;multiplicative noise;variance-constrained;robust state estimation; norm-bounded uncertainties

責任編輯 陳呈超

Optimal Variance-Constrained Robust State Estimation Algorithm for Systems with Multiplicative Noise

CHU Dong-Sheng,WANG Hong-Du,ZHAN G Ling
(College of Engineering,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

TP31

A

1672-5174(2011)04-121-06

國家自然科學基金項目(60704023)資助

2010-06-21;

2010-07-30

褚東升(1956-),男,教授。E-mail:chuds@263.net