趙 凱，何 楨，何曙光，趙永滿

（天津大學 管理與經(jīng)濟學部，天津 300072）

0 引言

多元質(zhì)量控制的概念最早是由Hotelling于1947年提出的。多元質(zhì)量控制與一元質(zhì)量控制類似，一般都要求質(zhì)量特性服從正態(tài)分布，多元質(zhì)量控制是基于多元正態(tài)分布建立檢驗統(tǒng)計量進行質(zhì)量控制的。多元統(tǒng)計過程控制(MSPC)是多元質(zhì)量控制常用的方法，它通過監(jiān)控生產(chǎn)過程中多個相關變量，以探測過程可能發(fā)生的異常，達到提高產(chǎn)品質(zhì)量的目的。當前MSPC技術應用中存在的主要問題是，隨著過程變量維數(shù)的增加，監(jiān)控系統(tǒng)的復雜性急劇增加，而變量間的多重共線性又給過程的異常診斷帶來了困難。由于多元過程質(zhì)量特性之間存在相關性，上述多元質(zhì)量控制方法難以確定過程變異的來源，即當控制圖報警時，如何判定變異是哪一個或哪幾個質(zhì)量特性的變動引起的。為了克服存在的這些問題，R.S.Guh[1](2007),Niaki et al.[2](2005)，Hou et al.[3](2003),Yu( 2008;2009)[4;5],Venkat(2003)[6]等學者對該問題應用不同的方法進行了研究。本文將根據(jù)某企業(yè)汽車曲軸實際生產(chǎn)情況，應用基于支持向量機(SVM)的多元質(zhì)量控制與診斷方法，結(jié)合企業(yè)現(xiàn)有MARPOSS綜合測量機的測量數(shù)據(jù)，對產(chǎn)品的數(shù)據(jù)進行分析、處理、監(jiān)測與診斷。

1 T2控制圖

設某多元過程有p個關鍵質(zhì)量特性，表示為X=(X1,X2,…，Xp)，設每個樣本的樣本容量為n，共有m樣本。進一步假設X服從多元正態(tài)分布，即X～Np(μ0,∑0)，其中μ0和∑0分別為總體均值和方差-協(xié)方差矩陣。則Xij=(Xij1,Xij2,，…，Xijp)是p維向量，代表在第i個樣本中第j個觀測值的p維質(zhì)量特性，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。Xij的第l成分Xijl表示第l個質(zhì)量特性，其中l(wèi)=1,2,…,p。假設Xij是相互獨立且服從在過程受控狀態(tài)下均值μ和協(xié)方差矩陣∑已知的多元正態(tài)分布。一般在實際生產(chǎn)過程中，總體均值μ和方差協(xié)方差矩陣∑是未知的，需要從過程受控時采集的初始樣本中分析得到，用估計的樣本均值向量和樣本-協(xié)方差矩陣S代替μ和∑。樣本均值向量為樣本方差-協(xié)方差矩陣為：

則T2統(tǒng)計量定義為：

為第i個樣本的均值向量，(?)T為轉(zhuǎn)置操作。控制限為：

與一元控制圖不同，多元控制圖不但需要設計合理的統(tǒng)計量和控制限，而且在控制圖報警后需要進一步識別導致控制圖報警的變量/變量組合，即多元過程控制圖的異常識別或診斷。

2 支持向量機原理

SVM是一種機器學習算法，其理論基礎是Vapnik等提出的統(tǒng)計學習理論[8]。SVM是將原訓練數(shù)據(jù)映射到較高的維，在該新的維上，搜索線性最佳分離超平面。對于二分類問題，設訓練樣本集D為(X1,y1)，(X2,y2)，…，(Xi,yi)，其中i=1,2,…,l，l為訓練樣本數(shù)，Xi∈Rd為輸入向量，yi∈{ }

+1,-1為輸出分類標志。對于線性可分問題，可以用n維空間中的超平面WXT+b=0將訓練樣本集分開，其中W'=(w1,w2,…,wd)為d維向量且‖ ‖W=1，該平面稱為分類超平面。顯然對于訓練樣本集D，該分類超平面并不唯一，即存在一組與該超平面平行的超平面，均可以將訓練樣本集正確分開，把距離最大的兩個超平面之間的距離稱為分類間隔，則有：

此時最大邊緣等于2‖W‖ ，是分類間隔最大等價于使‖W‖2最小。滿足條件(1)并使‖W‖22最小的超平面稱為最優(yōu)分類超平面，相距最遠的兩個超平面上的點就稱為支持向量。將該問題轉(zhuǎn)化為其對偶問題，并采用Lagrange優(yōu)化方法，得到的優(yōu)化問題如(2)所示。

不同的核函數(shù)形式對應不同的算法，多項式核函數(shù)、高斯徑向基核函數(shù)、B樣條核函數(shù)等是最常用的核函數(shù)，其中高斯徑向基核函數(shù)由于具有較強的非線性分類能力而得到廣泛應用，其形式為：

其中，h2是核函數(shù)參數(shù)。

3 基于SVM的MSPC診斷模型

根據(jù)文獻[7]基于SVM的MSPC診斷過程主要包括三個部分：MSPC過程，采用多元控制圖，對制造過程中的多元質(zhì)量特性進行監(jiān)控；診斷模型訓練，采用多元過程中的異常數(shù)據(jù)作為訓練數(shù)據(jù)集，包括異常質(zhì)量數(shù)據(jù)和對應的異常類別，其中異常類別根據(jù)導致報警的異常變量/變量組合進行編碼；MSPC診斷，在所構建的診斷模型基礎上，如果MSPC報警，則對過程進行診斷，以確定導致過程異常的變量/變量組合。

針對汽車曲軸生產(chǎn)過程實際問題，考慮加工過程的三個變量，即p=3，筆者構建診斷模型的過程為：

(1)明確過程輸出特性及過程輸出特性的具體要求，抽取生產(chǎn)過程曲軸的樣本，利用多元過程控制圖判明過程是否處于統(tǒng)計受控狀態(tài)；通過構造伽馬圖，從圖形的特征接受本文研究的曲軸生產(chǎn)過程的多元正態(tài)性；

(2)明確過程處于受控狀態(tài)以及過程具有多元正態(tài)分布，計算多元過程能力指數(shù)，描述過程的能力；

(3)通過生產(chǎn)線MARPOSS綜合測量機中獲取的數(shù)據(jù)，計算樣本均值向量Xˉ和樣本方差-協(xié)方差矩陣S，用Xˉ和S估計總體的均值μ和協(xié)方差矩陣Σ；

(5)用構建的T2控制圖收集用于構建SVM模型訓練和測試樣本，根據(jù)生產(chǎn)的實際情況，對于每一種給定的均值偏移模式，產(chǎn)生50個超出T2控制限的曲軸生產(chǎn)數(shù)據(jù)，同時產(chǎn)生各不同模式的50個不超出T2控制限的曲軸生產(chǎn)數(shù)據(jù)；

(6)構建SVM模型。多元過程監(jiān)控與診斷中，神經(jīng)網(wǎng)絡等方法在解決診斷問題時，是應用ANN相關模型擬合過程質(zhì)量特性和變量偏移類別的分類模型，而隨著問題維度的增加，分類的難度顯著增加[7]。而SVM的理論基礎是Vapnik等提出的統(tǒng)計學習理論，統(tǒng)計學習理論采用結(jié)構風險最小化原則，提高了模型的泛化能力，且得到的是全局最優(yōu)解，可有效避免神經(jīng)網(wǎng)絡中的過學習問題，尤其適合于小樣本學習問題。隨著維度的增加，則異常組合數(shù)呈指數(shù)增長，如果用單一診斷模型，模型的輸出維度太高，從而給模型的構建帶來了很大的難度[7]。

本文建立的模型如圖1所示，用上面產(chǎn)生的汽車曲軸加工過程中的數(shù)據(jù)，對模型進行訓練。在MSPC診斷過程中，作者研究的變量p=3，每一個變量分為正常和異常兩種情況，共有8種組合，其中包含受控狀態(tài)1種和過程發(fā)生偏移的7種。在模型中，過程的每一變量分別應用一個SVM分類模型對各個變量是否存在均值偏移進行診斷，每個SVM分類器的輸出為0或1，其中1代表該變量未發(fā)生均值偏移，0代表該變量均值發(fā)生偏移。在模型中，將所有3個變量均作為模型的輸入。由于在對每一個變量的偏移進行診斷時，同時考慮了其他變量對該變量的影響，因此并不會忽略變量之間的相關性，而模型個數(shù)僅與過程質(zhì)量特性個數(shù)相等；

圖1 MSPC均值偏移診斷模型

(7)SVM模型的參數(shù)優(yōu)化。SVM模型訓練過程中，筆者選擇高斯徑向基函數(shù)作為SVM的核函數(shù)。通過仿真方法對模型的性能進行分析，確定在SVM模型中式(3)和式(4)中的懲罰參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)h2取值；

(8)具體應用。采用T2控制圖進行監(jiān)控，監(jiān)控多元加工過程是否有報警；若出現(xiàn)報警點，則利用建立的SVM模型對報警信號進行診斷，判斷均值偏移變量的組合模式，并解釋其實際意義，從而實現(xiàn)多元過程均值偏移模式的診斷。

4 實例

筆者通過對某企業(yè)汽車曲軸生產(chǎn)的數(shù)據(jù)分析來加以說明SVM模型的應用。通常曲軸由多個主軸頸和多個連桿軸頸組成，用于描述曲軸質(zhì)量的參數(shù)較多，包括主軸頸與連桿軸頸的軸徑、圓度、圓柱度以及跳動度、沖程等。其中軸頸的直徑與曲軸的沖程對整個曲軸性能有著關鍵性的作用，其中需要對曲軸的這三個質(zhì)量特性進行控制，以滿足產(chǎn)品的性能要求。本文選用某型號曲軸終檢數(shù)據(jù)進行了實例研究，數(shù)據(jù)包括曲軸主軸頸直徑X1、曲軸連桿軸徑X2及該主軸頸與連桿軸徑構成的曲軸的沖程X3?？紤]到生產(chǎn)線的小時生產(chǎn)量、生產(chǎn)線的調(diào)整周期及穩(wěn)定受控狀態(tài)等，確定數(shù)據(jù)抽樣方案。產(chǎn)生過程受控狀態(tài)下的樣本50個，過程均值發(fā)生偏移的樣本350個，按比例作為模型訓練和測試過程中的訓練樣本和測試樣本。

通過MARPOSS綜合測量機中大量的樣本數(shù)據(jù)，計算過程受控時的樣本均值向量Xˉ和樣本方差-協(xié)方差矩陣S為：

這里假定生產(chǎn)過程中曲軸加工過程的樣本方差-協(xié)方差矩陣S保持不變。

SVM模型訓練過程中，選擇的高斯徑向基函數(shù)作為SVM的核函數(shù)。經(jīng)過仿真優(yōu)化得到在SVM模型中重要的參數(shù)，懲罰參數(shù)C=1200和核函數(shù)參數(shù)h2=2.9。

表1 SVM模型分類結(jié)果

應用所選擇的參數(shù)，運用建立的SVM模型采集的數(shù)據(jù)進行處理，結(jié)果見表1。在所有7種變異模式中，其中有一個變量均值發(fā)生偏移時，分類的正確率最大為78%以上，三個變量均發(fā)生偏移時，分類的正確率為70%，該方法的總變異識別正確率為76%。將該結(jié)果與實際生產(chǎn)過程中的MARPOSS綜合測量機相結(jié)合，能更好地解決生產(chǎn)現(xiàn)場中遇到的實際問題，為企業(yè)產(chǎn)品加工過程起到一定的指導和參考作用。

5 結(jié)論

目前，生產(chǎn)加工過程中需要同時控制多個變量，以使質(zhì)量達到顧客的要求，由于多元過程質(zhì)量特性之間存在相關性，從而給多元過程質(zhì)量診斷帶來的困難。本文根據(jù)對某企業(yè)汽車曲軸加工過程的調(diào)研，選取對其產(chǎn)品影響重要的幾個質(zhì)量特性，應用基于支持向量機的方法模型對產(chǎn)品質(zhì)量特性的均值偏移情況進行了初步的應用研究，均值偏移只取了正常和便宜兩種情況。通過實例表明，應用了基于SVM的多元質(zhì)量控制與診斷方法，可以較好地識別多元加工過程中的均值偏移問題，在一定程度上解決了多重線性相關給異常診斷帶來的困難，是對現(xiàn)有曲軸生產(chǎn)線MARPOSS綜合測量機的一個補充應用研究。

[1]Guh,R.S.On-line Identification and Quantification of Mean Shifts in Bivariate Processes Using a Neural Network-based Approach[J].Quality and Reliability Engineering International,2007,（23）.

[2]Niaki,S.T.A,Abbasi,B.Fault Diagnosis in Multivariate Control Charts Using Artificial Neural Networks[J].Quality and Reliability Engineering International,2005,(21).

[3]Hou,T.H.,Liu,W.L.LIN,L.Intelligent Remote Monitoring and Diagnosis of Manufacturing Processes Using An Integrated Approach of Neural Networks And Rough Sets[J].Journal of Intelligent Manufacturing,2003,(14).

[4]Yu,J.B.,Xi,L.F.,Zhou,X.Intelligent Monitoring And Diagnosis of Manufacturing Processes Using An Integrated Approach of KBANN And GA[J].Computer in Industry,2008，(59).

[5]Yu,J.B.,Xi,L.F.A Neural Network Ensemble-Based Model For On-Line Monitoring And Diagnosis of Out-Of-Control Signals in Multivariate Manufacturing Processes[J].Experts Systems with Applications,2009，36(1).

[6]Venkat Venkatasubramanian,R.R.Surya N Kavuri,Kewen Yin.A Review of Process Fault Detection And Diagnosis Part III:Process History Based Methods[J].Computers And Chemical Engineering,2003，(27).

[7]Vapnik V.N.The Nature of Statistical Learning Theory[M].New York:Springer,l 995.

[8]Cristianini,N.,J.Shawe-Taylor.支持向量機導論[M].李國正，王猛，曾華軍譯.北京：電子工業(yè)出版社，2007.