職世君，孫 冰，張建偉

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

0 引言

固體火箭發(fā)動機(jī)的壽命預(yù)估一直是設(shè)計和使用部門特別關(guān)注的問題，固體發(fā)動機(jī)裝藥結(jié)構(gòu)壽命是影響發(fā)動機(jī)壽命的重要因素，國內(nèi)外對此展開了大量試驗和理論研究。其中，利用加速老化試驗法或長期貯存試驗法確定推進(jìn)劑的相關(guān)力學(xué)性能參數(shù)，再結(jié)合裝藥的結(jié)構(gòu)完整性分析，對固體發(fā)動機(jī)裝藥結(jié)構(gòu)壽命進(jìn)行預(yù)估的方法［1－2］應(yīng)用較廣泛。由于在發(fā)動機(jī)的貯存過程中，固體推進(jìn)劑發(fā)生了化學(xué)老化和物理老化，使得固體推進(jìn)劑的力學(xué)性能發(fā)生了較大變化［3－5］。因此，在對發(fā)動機(jī)裝藥進(jìn)行結(jié)構(gòu)完整性分析時，固體推進(jìn)劑老化參數(shù)的選取顯得十分重要。因為發(fā)動機(jī)裝藥的有限元計算結(jié)果主要受推進(jìn)劑的松弛模量和泊松比的影響。其中，泊松比的微小變化會對藥柱內(nèi)部危險部位的應(yīng)力、應(yīng)變產(chǎn)生較大影響［6－7］。所以，在考慮推進(jìn)劑老化松弛模量變化的同時，不能忽略泊松比的影響，這樣才更符合實際情況。

本文根據(jù)Wash理論及彈性力學(xué)公式，推導(dǎo)了固體推進(jìn)劑初始泊松比與空穴率的關(guān)系，利用推進(jìn)劑空穴率的貯存試驗結(jié)果［8］，近似得到了初始泊松比的變化規(guī)律。根據(jù)加速老化法得到推進(jìn)劑瞬時模量及最大延伸率的貯存變化規(guī)律，結(jié)合有限元計算方法，預(yù)估了常溫貯存下發(fā)動機(jī)裝藥結(jié)構(gòu)壽命。

1 推進(jìn)劑泊松比與空穴率的關(guān)系

假設(shè)固體推進(jìn)劑為各向同性材料，小孔隙在推進(jìn)劑內(nèi)均勻分布，從細(xì)觀尺度上認(rèn)為，推進(jìn)劑由若干個含1個小孔隙的立方體組成，取其中1個立方體為代表性體積單元進(jìn)行分析，單元的空穴率與推進(jìn)劑相等，如圖1所示。

圖1 固體推進(jìn)劑代表性體積單元Fig.1 Representative volume element of solid propellant

固體推進(jìn)劑為時域相關(guān)性材料，在受載時，其松弛模量為隨時間變化的函數(shù)。當(dāng)t=0時，即推進(jìn)劑受載的瞬間，可將推進(jìn)劑作為彈性體求解。由于推進(jìn)劑空穴率較小，所以不考慮孔隙間的相互影響和小孔隙內(nèi)部壓強(qiáng)，為求解小孔附近的徑向位移，可把問題簡化為壁厚很大的空心球(a?b)。當(dāng)代表性體積單元受壓力載荷時，則孔隙附近瞬時徑向位移為

式中 λ和μ為拉梅常數(shù)。

式中 E0為瞬時模量;ν0為瞬時泊松比。

由 a?b，可得

令r=a，可得孔隙半徑的變化Δa為

孔隙體積的變化ΔV'為

將式(4)代入式(5)，可得

則

式中 Em、νm分別為推進(jìn)劑基質(zhì)的瞬時模量和瞬時泊松比。

根據(jù) Wash 公式［9］:

式中 βeff為推進(jìn)劑的等效壓縮系數(shù);βm為推進(jìn)劑基質(zhì)的壓縮系數(shù)。

式中 K為體積模量;E為彈性模量;ν為泊松比。

則式(8)可轉(zhuǎn)化為

即

在對發(fā)動機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)仿真時，固體推進(jìn)劑采用的是線性積分本構(gòu)方程。固體推進(jìn)劑粘彈泊松比是隨時間變化的函數(shù)，從初始值隨時間逐漸增長，最后達(dá)到接近0.5的平衡值［7］。假設(shè)固體推進(jìn)劑的瞬時體積模量主要受空穴率的影響，即認(rèn)為推進(jìn)劑基質(zhì)參數(shù)Km0和νm0為常數(shù)，根據(jù)固體推進(jìn)劑的瞬時泊松比公式:

將式(12)代入式(13)，可得泊松比與空穴率的關(guān)系式:

為近似反映固體推進(jìn)劑泊松比隨老化時間的變化規(guī)律，空穴率采用文獻(xiàn)［8］中老化試驗數(shù)值，由于推進(jìn)劑為近似不可壓縮材料，未老化時泊松比較大，因此近似取此時的泊松比為固體推進(jìn)劑基質(zhì)泊松比，即νm0=0.499。固體推進(jìn)劑泊松比隨老化年限的變化規(guī)律如圖2所示。從圖2中可看出，隨固體推進(jìn)劑老化年限的增加，泊松比逐漸下降，且下降速率逐漸增加。這與固體推進(jìn)劑在貯存過程中空穴率不斷增加，且增長速率逐漸增大是對應(yīng)的。

2 加速老化試驗數(shù)據(jù)處理

根據(jù)航天工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)QJ 2328A—2005，用于數(shù)據(jù)處理的3個老化數(shù)學(xué)模型分別為

式中 P為固體推進(jìn)劑某一老化時刻的性能參數(shù);P0為初始性能參數(shù);K為與溫度相關(guān)的性能變化速率;t為老化時間。

圖2 固體推進(jìn)劑泊松比隨老化時間的變化曲線Fig.2 Variation of Poisson＇s ratio vs aging time

在固體發(fā)動機(jī)的貯存過程中，藥柱的老化主要是由于粘結(jié)劑的氧化交聯(lián)及降解斷鏈影響，從整體來看，由于粘結(jié)劑的氧化交聯(lián)作用在推進(jìn)劑貯存過程中占主導(dǎo)地位，因此固體推進(jìn)劑隨貯存時間逐漸變硬，導(dǎo)致了固體推進(jìn)劑最大延伸率的下降及松弛模量的增加。

2.1 最大延伸率

根據(jù)最大延伸率的試驗數(shù)據(jù)分布，采用式(17)對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)合Arrhenius公式:

可得

對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可得

式中 A為表觀頻率因子;Ea為表觀活化能;R為玻爾茲曼常數(shù)。

2.2 松弛模量

在有限元計算時，推進(jìn)劑松弛模量是以Prony級數(shù)給出:

式中 E0為推進(jìn)劑的瞬時模量;E∞為平衡模量;α1=

由于Prony級數(shù)的表征參數(shù)較多，擬合Prony級數(shù)往往需大量的松弛試驗，若擬合不同貯存時間的推進(jìn)劑Prony級數(shù)，則試驗成本很高。假設(shè)推進(jìn)劑隨時間的松弛特征參數(shù)，即式(21)中的αi及τi基本不變，以E0的變化來反映固體推進(jìn)劑老化時Prony級數(shù)的變化規(guī)律。E0的老化數(shù)學(xué)模型選用式(16)，結(jié)合Arrhenius公式，可得

對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可得

結(jié)合未貯存時推進(jìn)劑的Prony級數(shù):

則可知，在貯存溫度為25°C時，不同貯存年限的推進(jìn)劑Prony級數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 不同貯存時間推進(jìn)劑Prony級數(shù)曲線Fig.3 Prony series of propellant with different storage time

3 有限元計算及結(jié)果分析

3.1 有限元計算模型

某發(fā)動機(jī)主要由金屬殼體、絕熱層和推進(jìn)劑組成。藥柱為六角星形，根據(jù)對稱性取發(fā)動機(jī)1/12建模，采用六面體單元對發(fā)動機(jī)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其中，發(fā)動機(jī)藥柱網(wǎng)格模型如圖4所示。

在計算中，主要考慮了發(fā)動機(jī)所經(jīng)歷的3個載荷工況:固化降溫、彈射和點火發(fā)射。其中，固化降溫時，藥柱經(jīng)歷40 h，從零應(yīng)力溫度60°C降到20°C。然后，在25°C環(huán)境下貯存并發(fā)射，該發(fā)動機(jī)采用保溫彈射方式進(jìn)行發(fā)射。彈射時，發(fā)動機(jī)尾部發(fā)射筒與尾罩之間瞬間產(chǎn)生高壓氣體，使發(fā)動機(jī)產(chǎn)生約10 gn的加速度載荷。點火時，發(fā)動機(jī)受內(nèi)壓載荷作用，壓力峰值為6 MPa，由于發(fā)動機(jī)推力作用，發(fā)動機(jī)同時受約5 gn的軸向加速度載荷。

圖4 某固體發(fā)動機(jī)藥柱三維有限元模型Fig.4 Three dimension finite element model of a SRM grain

3.2 計算結(jié)果分析

分別對未貯存至貯存15 a間不同貯存年限的發(fā)動機(jī)進(jìn)行三維粘彈性有限元計算。在固化降溫過程，采用發(fā)動機(jī)出廠的材料參數(shù);在彈射過程及發(fā)動機(jī)點火過程，采用相應(yīng)貯存年限的材料老化參數(shù)。

圖5是有限元模擬發(fā)動機(jī)貯存0、5、10、15 a后在點火發(fā)射工況下發(fā)動機(jī)的等效應(yīng)變分布。由圖5可見，在發(fā)動機(jī)貯存過程中，藥柱的老化對發(fā)動機(jī)等效應(yīng)變的分布規(guī)律影響不大，裝藥的危險點位于發(fā)動機(jī)前封頭附近，即圖中A點處。統(tǒng)計算例中不同貯存年限發(fā)動機(jī)危險點的最大Von-Mises等效應(yīng)變。由于推進(jìn)劑的泊松比接近 0.5，可認(rèn)為 εVon與 εm近似相等［1］，將裝藥最大等效應(yīng)變隨貯存時間的變化曲線與最大延伸率的變化曲線進(jìn)行對比，如圖6所示。另外，為對比考慮泊松比變化與未考慮泊松比變化的計算結(jié)果，將發(fā)動機(jī)藥柱老化過程中泊松比設(shè)為定值，對發(fā)動機(jī)進(jìn)行了有限元計算。

圖5 不同貯存年限發(fā)動機(jī)等效應(yīng)變Fig.5 Von-Mises strain of SRM with different storage time

圖6 常溫貯存下發(fā)動機(jī)裝藥壽命預(yù)估Fig.6 Storage life prediction for SRM in normal temperature

從圖6可看出，考慮推進(jìn)劑老化泊松比變化時，裝藥危險點的最大等效應(yīng)變隨貯存時間的增加而增加，未貯存時為11.68%，貯存15 a后變?yōu)?4.92%。未考慮泊松比變化時，裝藥危險點的最大等效應(yīng)變隨貯存時間的增加而減小，貯存15 a后變?yōu)?.59%?？梢?，固體推進(jìn)劑泊松比在貯存過程中雖然只發(fā)生了微小變化，但對計算結(jié)果影響較大，考慮與未考慮泊松比變化時的計算結(jié)果有明顯差異。

由于制造技術(shù)、貯存環(huán)境載荷及推進(jìn)劑細(xì)微顆粒分布的隨機(jī)性，推進(jìn)劑的最大延伸率、松弛模量等特征參數(shù)有一定的不確定性，且隨貯存年限的增加，離散性越來越大［10］。因此，在預(yù)估裝藥結(jié)構(gòu)壽命時，需取一定的安全系數(shù)，本文取安全系數(shù)為1.3，結(jié)合圖6可知，發(fā)動機(jī)裝藥結(jié)構(gòu)壽命為14.2 a。

4 結(jié)論

(1)分析推導(dǎo)了固體推進(jìn)劑小孔隙空穴率與初始泊松比的關(guān)系，得到了固體推進(jìn)劑泊松比隨貯存時間的變化規(guī)律，即固體推進(jìn)劑初始泊松比隨貯存時間的增長而逐漸減小。在發(fā)動機(jī)的結(jié)構(gòu)完整性分析中，考慮了泊松比隨推進(jìn)劑老化的變化，更符合實際情況。

(2)根據(jù)加速老化試驗數(shù)據(jù)及航天工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，得到了推進(jìn)劑最大延伸率和瞬時模量隨貯存時間的變化規(guī)律。由于固體推進(jìn)劑粘結(jié)劑的氧化交聯(lián)作用，使得推進(jìn)劑在貯存過程中，其最大延伸率逐漸下降，松弛模量逐漸增大。

(3)在推進(jìn)劑瞬時模量和瞬時泊松比的綜合作用下，裝藥危險點的最大等效應(yīng)變隨貯存年限的增加而增大，而未考慮泊松比的最大等效應(yīng)變呈逐年下降趨勢。考慮與未考慮泊松比變化的計算結(jié)果存在明顯差異。取安全系數(shù)為1.3時，該發(fā)動機(jī)裝藥的貯存壽命為 14.2 a。

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