李曉華，王寶基

(河南理工大學(xué)物理化學(xué)學(xué)院，河南焦作454000)

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)是目前高層建筑和高聳結(jié)構(gòu)振動控制中應(yīng)用最早的結(jié)構(gòu)被動控制裝置之一.目前，許多被動控制器成功地裝置在世界各地的高聳建筑物和塔上.如美國紐約的Citicorp中心，波士頓的John Hancock塔，澳大利亞悉尼Centerpoint塔等.TMD系統(tǒng)是由彈簧、阻尼器和質(zhì)量塊組成的振動系統(tǒng)，如圖1所示.

圖1 TMD－結(jié)構(gòu)力學(xué)模型

它對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動控制的機(jī)理是:結(jié)構(gòu)在外部激勵力作用下產(chǎn)生振動時，帶動TMD系統(tǒng)一起振動，TMD系統(tǒng)相對運(yùn)動產(chǎn)生的慣性力反作用到結(jié)構(gòu)上調(diào)諧這個慣性力，使其對結(jié)構(gòu)的振動產(chǎn)生抑制作用，達(dá)到減小結(jié)構(gòu)振動反應(yīng)的目的.TMD結(jié)構(gòu)的應(yīng)用思想最早來源于1909年Frahm研制的動力吸振器.在TMD不受約束的情況下運(yùn)動，使得主結(jié)構(gòu)的幅值頻率得到突出的抑制［1－5］.但是，在實(shí)際工程中，當(dāng)建筑物的距離或空間不能滿足TMD的自由運(yùn)動，TMD和墻或建筑物之間將產(chǎn)生碰撞.文獻(xiàn)［6］研究了塑性碰撞TMD的參數(shù)優(yōu)化，結(jié)果表明，在合理參數(shù)下能達(dá)到好的減振效果.閆安志等人［7］研究低速沖擊下TMD沖擊參數(shù)的敏感性.當(dāng)TMD的自由運(yùn)動空間有限時，雖通過參數(shù)優(yōu)化也能達(dá)到較好的減振效果，但碰撞會產(chǎn)生噪聲并減少主體結(jié)構(gòu)的壽命.

通過改變系統(tǒng)的阻尼方式，在保證主體結(jié)構(gòu)的減振效果的同時，減小TMD和主結(jié)構(gòu)相對運(yùn)動的位移，從而使TMD能夠自由運(yùn)動.避免碰撞引起的不必要的危害，為未來的高聳結(jié)構(gòu)的減振提供有價值的理論參考.

1 模型和運(yùn)動方程

為了便于分析有磁耦合的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的動力學(xué)特性，建立了3個自由度的力學(xué)模型，如圖2所示.模型通過磁耦合把電學(xué)部分和機(jī)械部分構(gòu)成一個整體.因此，這2部分的耦合是通過永久磁鐵引起的安培力來確保的，永久磁鐵在機(jī)械部分產(chǎn)生一個安培力，同時在電學(xué)部分產(chǎn)生一個感應(yīng)電動勢.電學(xué)部分由電阻R、電感L和電容C組成;機(jī)械部分由質(zhì)量m1，與受余弦P(t)=P0cos(Ωt+φ)激勵的振蕩器相連，質(zhì)量m2放在質(zhì)量m1上，質(zhì)量m2通過一個剛度系數(shù)為k1的彈簧與質(zhì)量m1相連.電學(xué)部分的作用是:當(dāng)主體結(jié)構(gòu)受到簡諧激勵P0cos(Ωτ)時，主體結(jié)構(gòu)和TMD之間發(fā)生相對運(yùn)動，帶動線圈在磁場中切割磁力線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，使機(jī)械部分增加一個安培力來阻礙二者之間的相對運(yùn)動，從而減小和抑制機(jī)械振動的振幅.用基爾霍夫定律和牛頓定律，考慮安培力和感應(yīng)電壓的貢獻(xiàn)，系統(tǒng)的微分方程為

式中:x1，x2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的位移;q為電容器極板上的瞬時電荷電量;變量上的“·”表示對時間求導(dǎo);m1，m2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量;k1，k2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的剛度;l為磁場→─Bm中線圈的有效長度;L，R，C分別為線圈的電感、電阻和電容器的電容;P0cos(Ωτ)為系統(tǒng)受到的諧激勵.

圖2 有磁耦合的TMD結(jié)構(gòu)力學(xué)模型

為了便于分析動力學(xué)特性和對參數(shù)進(jìn)行研究，這里采用無量綱化，設(shè)無量綱變量為

式中Q0為電容器的參考電荷電量.

將上面的無量綱變量代入式(1)，化簡為

無量綱變量為:

式(2)中:變量上的“·”表示對時間的求導(dǎo);y1，y2分別為主體的位移和TMD的位移;y3為電容器的瞬時電荷;ζ，γ分別為主結(jié)構(gòu)和電系統(tǒng)的阻尼比;λ1，α分別為耦合參數(shù)和正系數(shù);β為非線性系數(shù);f1，f2，ω分別為TMD、振蕩電路和外激勵的固有頻率與主結(jié)構(gòu)的固有頻率的比值;F0為外激勵的無量綱幅值;t為無量綱時間.

2 數(shù)值計算

2.1 參數(shù)優(yōu)化

由于系統(tǒng)中的參數(shù)比較多，為了研究某一參數(shù)的影響，需先固定其它參數(shù)不變.設(shè)參數(shù)ζ=0.02，μ=0.02，γ =1，f1=1，f2=1，E0=0.5 不變，研究耦合參數(shù)λ1和耦合參數(shù)比α對系統(tǒng)減振效果的影響.對不同的耦合參數(shù)λ1和耦合參數(shù)比α進(jìn)行數(shù)值計算，結(jié)果見表1.表1中Am，Bm分別表示主結(jié)構(gòu)和TMD的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的最大值.

表1 主結(jié)構(gòu)和TMD的最大幅值表

從表1中很容易看出，當(dāng)α=2.0和λ1=0.75時，TMD的所需的運(yùn)動空間較小，但主結(jié)構(gòu)減振效果就比較差;而當(dāng)α=0.5和λ1=0.75時，不但主結(jié)構(gòu)有很好的減振效果，而且TMD的所需的運(yùn)動空間也相對較小.故現(xiàn)取耦合參數(shù)比α=0.5，耦合參數(shù)λ1=0.75，其它無量綱參數(shù) ζ=0.02，μ =0.02，f1=1，f2=1，E0=0.5，γ 分別取 0.5，1.0，1.5，2.0 來研究主結(jié)構(gòu)和TMD的頻響曲線，結(jié)果如圖3和圖4所示.由圖3和圖4可知，要想保證主結(jié)構(gòu)有好的減振效果，同時又使TMD的自由運(yùn)動空間相對較小，γ=1.5是比較合適的參數(shù).

綜上所述，磁耦合TMD的耦合參數(shù)α=0.5，λ1=0.75，γ =1.5 為系統(tǒng)的相對較優(yōu)參數(shù).

2.2 有磁耦合的TMD和TMD的減振效果的比較

下面對磁耦合的TMD和普通TMD的減振效果的比較.雖與參考文獻(xiàn)［8］中的無量綱標(biāo)準(zhǔn)不同，但各個參數(shù)的表達(dá)式除F0以外均相同，并且最佳參數(shù)的選取與F0無關(guān)，因此，這里仍可采用參考文獻(xiàn)［8］中的最佳頻率比和阻尼比的設(shè)計，參數(shù)之間的關(guān)系見式(3).

圖3 不同γ下磁耦合TMD主結(jié)構(gòu)的頻響曲線

圖4 不同γ下磁耦合TMD的TMD頻響曲線

下面討論在主結(jié)構(gòu)、質(zhì)量比和外激勵相同的條件下，使TMD采用最佳頻率比和阻尼比，其無量綱參數(shù) ζ=0.02，μ =0.02，f1=0.98，E0=0.5，ζ1=0.005.有磁耦合的TMD采用文中研究的相對較優(yōu)的耦合參數(shù)，其無量綱參數(shù)為 ζ=0.02，μ =0.02，λ1=0.75，α =0.5，γ =1.5，f1=1，f2=1，E0=0.5，來比較二者對主結(jié)構(gòu)的減振效果，以及TMD相對于主結(jié)構(gòu)的自由運(yùn)動空間.有磁耦合TMD和普通TMD二者穩(wěn)態(tài)時主結(jié)構(gòu)和TMD的幅頻特性曲線分別如圖5和圖6所示.

圖5 磁耦合TMD和普通TMD的主結(jié)構(gòu)的頻響曲線

由圖5和圖6可以看出，雖然普通TMD在外激勵頻率 ω∈［0.94，1.03］時，處于反共振階段，使得普通TMD優(yōu)于磁耦合TMD，但此時有磁耦合的TMD的減振效果也比較好.從主結(jié)構(gòu)的減振方面看，穩(wěn)態(tài)時，磁耦合TMD的位移最大幅值為8，而普通TMD位移最大幅值為22.從TMD相對于主結(jié)構(gòu)的運(yùn)動空間來看，隨著外激勵頻率的變化，TMD穩(wěn)態(tài)時位移的最大幅值達(dá)到了180，而磁耦合TMD穩(wěn)態(tài)時位移的最大幅值只有40.由此可見，在減振過程中，從主結(jié)構(gòu)的減震效果和TMD所需的運(yùn)動空間來看，磁耦合TMD遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于普通TMD，可在很大程度上避免碰撞的發(fā)生，使人們的生活更舒適，并提高主結(jié)構(gòu)的壽命和魯棒性.

圖6 磁耦合TMD和普通TMD的TMD的頻響曲線

3 結(jié)語

建立了磁耦合TMD的力學(xué)模型，通過數(shù)值模擬對磁耦合TMD參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，并將參數(shù)優(yōu)化條件與普通TMD的減振效果進(jìn)行了對比發(fā)現(xiàn)，在簡諧激勵下磁耦合TMD不但使主結(jié)構(gòu)的減振效果得到了很好的提高，同時TMD的自由運(yùn)動空間也獲得大大節(jié)省，從而解決了TMD自由運(yùn)動空間受限的問題.

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