221116 江蘇省鄭集高級(jí)中學(xué)城區(qū)校區(qū) 陳 敏

矛盾沖突是事物發(fā)展的根本動(dòng)力，這是最基本的哲學(xué)原理.沒(méi)有推進(jìn)器——空氣的作用力與反作用力的矛盾沖突，火箭就無(wú)法升空;沒(méi)有矛盾沖突，一出好戲劇情就無(wú)法展開(kāi).精心構(gòu)思與展開(kāi)的矛盾沖突可產(chǎn)生扣人心弦、動(dòng)人心魄、感人肺腑、催人淚下的戲劇效果，一節(jié)好的數(shù)學(xué)課就是一出精彩的戲.數(shù)學(xué)課也需要矛盾沖突，這是對(duì)人腦的一種良性刺激，這種刺激可激活學(xué)生思維，“逼著”學(xué)生去建構(gòu)數(shù)學(xué)理論，矛盾沖突也可以?xún)?yōu)化學(xué)生理性思維品質(zhì)，開(kāi)闊視野，拓寬思路，升華認(rèn)知.矛盾沖突是學(xué)生思維發(fā)展的推進(jìn)器.巧妙利用矛盾沖突實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程可表示成如下的框圖：

1 矛盾沖突“逼著”學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)理論

在舊的數(shù)學(xué)理論范圍內(nèi)對(duì)一些問(wèn)題無(wú)法自圓其說(shuō)，產(chǎn)生了矛盾沖突，就必須突破舊理論的瓶頸，跳出來(lái)看看外面的世界，建構(gòu)新的數(shù)學(xué)理論，這是科學(xué)的世界觀(guān)與發(fā)展觀(guān).數(shù)學(xué)的發(fā)展史多次證明了這個(gè)問(wèn)題.擔(dān)負(fù)著樹(shù)立學(xué)生科學(xué)世界觀(guān)的數(shù)學(xué)教育必須在實(shí)踐中不失時(shí)機(jī)地利用鮮活生動(dòng)的教學(xué)實(shí)例，由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)悟、去鑒賞.如《數(shù)系的擴(kuò)充》，見(jiàn)過(guò)不少有關(guān)文章，也聽(tīng)過(guò)不少有關(guān)課例，但發(fā)現(xiàn)教學(xué)的“高度”不夠，沒(méi)能從哲學(xué)的高度揭示虛數(shù)誕生的曲折、漫長(zhǎng)、甚至存在激烈斗爭(zhēng)的矛盾沖突的過(guò)程.其實(shí)并不須費(fèi)多少口舌，就可言簡(jiǎn)意賅地加以闡述，投入與產(chǎn)生的積極而深遠(yuǎn)影響相比，可算是“一本萬(wàn)利”.現(xiàn)擷取此節(jié)課開(kāi)頭的一個(gè)教學(xué)片斷：

教師：在正整數(shù)范圍內(nèi)，你會(huì)計(jì)算3-5嗎?在整數(shù)范圍內(nèi)，你會(huì)計(jì)算3÷5嗎?在有理數(shù)范圍內(nèi)，你會(huì)求方程x2=2的根嗎?現(xiàn)實(shí)生活、科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，產(chǎn)生了一個(gè)個(gè)矛盾沖突，而正是這些矛盾沖突成了數(shù)學(xué)理論發(fā)展的推動(dòng)力.古希臘的著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯雖然對(duì)人類(lèi)的進(jìn)步事業(yè)作出了巨大貢獻(xiàn)，但在他的性格中又具有偏執(zhí)、狹隘的一面，他認(rèn)為不存在整數(shù)與分?jǐn)?shù)以外的任何數(shù).可他的學(xué)生修伯修斯卻在自己的研究中發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)當(dāng)時(shí)還未被發(fā)現(xiàn)與認(rèn)可的新數(shù)，于是徹底顛覆了他的老師的論斷.不幸的是，發(fā)現(xiàn)、堅(jiān)持和捍衛(wèi)真理的修伯修斯被他的老師扔進(jìn)了大海.但真理是扔不掉的，后來(lái)經(jīng)過(guò)擴(kuò)充，有理數(shù)集終于擴(kuò)充發(fā)展到實(shí)數(shù)集.同樣，在很長(zhǎng)的歷史時(shí)期內(nèi)，人們的認(rèn)識(shí)都局限在實(shí)數(shù)的圈子里，認(rèn)為方程x2=-1無(wú)解.可十六世紀(jì)中葉意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思考后突發(fā)奇想：如果在實(shí)數(shù)的圈子外創(chuàng)造一個(gè)新數(shù)，令該數(shù)的平方等于-1，矛盾不就解決了嘛!后來(lái)經(jīng)過(guò)幾代數(shù)學(xué)家的努力，歷經(jīng)300年的磨難與艱辛，終于構(gòu)建了完善的復(fù)數(shù)理論，且在電學(xué)、熱力學(xué)、彈性理論和天體力學(xué)等方面得到了廣泛的應(yīng)用.

這段充滿(mǎn)情趣的演講就是上面框圖的具體化，當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知升華后，達(dá)成的就決不是簡(jiǎn)單的知識(shí)目標(biāo)與技能目標(biāo)，隨著學(xué)生心靈的震撼、感情的激蕩、智慧的啟迪、思維的拓展、聯(lián)想的豐富，達(dá)成的將是立體的多元化的數(shù)學(xué)教育目標(biāo).

2 矛盾沖突優(yōu)化學(xué)生的理性思維品質(zhì)

“對(duì)”與“錯(cuò)”是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見(jiàn)的一對(duì)矛盾沖突，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中教師都須用不少精力和時(shí)間與學(xué)生的各種錯(cuò)誤作不懈的“斗爭(zhēng)”，在不少教師看來(lái)，這是件非常麻煩和懊惱的事情.教師何不改變心態(tài)，將學(xué)生的錯(cuò)誤當(dāng)作一種教學(xué)資源，抓住契機(jī)，巧妙地利用“對(duì)”與“錯(cuò)”的矛盾沖突，進(jìn)行深入的討論、爭(zhēng)論、辨析、尋根、糾正，那么這種辨誤糾錯(cuò)的教學(xué)活動(dòng)就成了優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的良機(jī).試舉兩例.

例1 若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且對(duì)于定義域中的任意x的值，都有|f(x)|=|f(-x)|，則函數(shù)f(x)

A.是奇函數(shù)

B.是奇函數(shù)或是偶函數(shù)

C.是偶函數(shù)

D.可能是非奇又非偶函數(shù)

圖1

但它確實(shí)是既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).這種智慧的爆發(fā)力獲得了包括教師與選(B)在內(nèi)的全班學(xué)生熱烈而經(jīng)久的掌聲.

一道選擇題的解答引起的矛盾沖突，取得了“一石激起千層浪”的效果，這種“和而不同”的積極探索、鉆研、爭(zhēng)辯的學(xué)術(shù)氣氛不正是數(shù)學(xué)教學(xué)所大力提倡與努力追求的嗎?這里的矛盾沖突就優(yōu)化了學(xué)生的理性思維品質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng).

對(duì)沒(méi)有疫（菌）苗可免疫的疾病，應(yīng)根據(jù)不同季節(jié)及疾病發(fā)生流行特點(diǎn)，制定防疫用藥程序，在飼料和飲水中適時(shí)加入有效預(yù)防抗病、抗應(yīng)激的藥物，防止疾病發(fā)生。豬場(chǎng)每年定期驅(qū)除體內(nèi)外寄生蟲(chóng)，并開(kāi)展滅鼠、滅蠅、滅蚊，以提高豬的生長(zhǎng)速度和飼養(yǎng)效益。同時(shí)，要隨時(shí)掌握疫情動(dòng)態(tài)和豬群健康狀況，做到預(yù)防為先。對(duì)無(wú)治療價(jià)值的病豬、僵豬、弱小豬應(yīng)及時(shí)淘汰。

3 矛盾沖突拓展學(xué)生思路，升華認(rèn)知

“繁”與“簡(jiǎn)”也是在解題教學(xué)中經(jīng)常發(fā)生沖突的一對(duì)矛盾.不少題目用不同的解法，會(huì)產(chǎn)生大相徑庭的效果，有人“山窮水復(fù)疑無(wú)路”時(shí)，卻有人“柳暗花明”到了“又一村”，令人瞠目結(jié)舌的同時(shí)，又拍案叫絕、啟迪無(wú)窮.所以對(duì)于同一道題目，我們倡導(dǎo)學(xué)生廣開(kāi)思路，再將各種不同的思路進(jìn)行對(duì)比分析，拓展思路，開(kāi)闊視野，升華認(rèn)知.

圖2

例2 如圖2，圓x2+y2=4上有定點(diǎn)A(2，0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B，C，滿(mǎn)足∠BAC=60°.求△ABC的垂心H的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn).

這本是一道解析幾何題，教者預(yù)想的“規(guī)定動(dòng)作”是用參數(shù)法求解，但在處理的過(guò)程中，思維活躍的學(xué)生卻提出了多種“自選動(dòng)作”，與教者的“規(guī)定動(dòng)作”進(jìn)行“叫板”，形成的矛盾沖突激發(fā)出學(xué)生的巨大興趣，并“摩擦撞擊”出許多耀眼的智慧火花.

思路1 已知得∠BHC=120°，則

則點(diǎn)H的軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓(在直線(xiàn)x=2左側(cè)的部分)，其方程是(x-2)2+y2=4(0≤x＜2).

思路2 設(shè)|HD|=m，|HE|=n，則|CH|=2m，|BH|=2n，在△DEH中，由余弦定理得DE2=m2+n2+mn，

又BC2=12，所以

因?yàn)锳，D，H，E四點(diǎn)共圓，且AH為直徑，由正弦定理得|DE|=|AH|sin60°，則|AH|=2，下略.

思路3 由已知得|AC|=2|AE|，|AB|=2|AD|，所以△ABC外接圓的直徑為△ADE外接圓直徑的2倍，而A，D，H，E四點(diǎn)共圓，且AH為直徑，則|AH|=2，下略.

思路4 若直線(xiàn)BC的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y=kx+b，代入圓O的方程化得

由點(diǎn)O到直線(xiàn)BC的距離為1，求得b2=k2+1. ①

設(shè)H(x，y)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，圓O與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F(-2，0)，平行四邊形BFCH的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為P，那么由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x1+x2=x-2，y1+y2=y.

由韋達(dá)定理，并結(jié)合①式得

又當(dāng)直線(xiàn)BC的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)也適合上述方程，下略.

思路 5 設(shè) B(2cosθ，2sinθ)，則 C(2cos(θ+120°)，2sin(θ+120°)).

同思路地，作平行四邊形BFCH，設(shè)H(x，y)，

②式平方+③式平方，即可化得(x-2)2+y2=4，下略.

思路6 連OP，則|OP|=1，所以點(diǎn)P的軌跡為單位圓，其方程是x2+y2=1.

代入④式即可化得(x-2)2+y2=4，下略.

各種思路的“交鋒”獲得的是極大豐收，幾種解法幾乎囊括了求動(dòng)點(diǎn)軌跡的全部方法，涉及了解析幾何、平面幾何、代數(shù)方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量等有關(guān)知識(shí)和技能，矛盾沖突功不可沒(méi)!在沖突中，學(xué)生給出的思路三更令人叫絕，真是別人還在“兩岸猿聲啼不住”，他卻“輕舟已過(guò)萬(wàn)重山”，師生視野的開(kāi)闊、思維的發(fā)散、思維的拓展又一次證明了“認(rèn)知升華”與“目標(biāo)達(dá)成”的巨大價(jià)值.

矛盾沖突是學(xué)生思維發(fā)展的推進(jìn)器.我們或精心構(gòu)思或敏銳捕捉數(shù)學(xué)教學(xué)中的矛盾沖突，在建構(gòu)數(shù)學(xué)理論，優(yōu)化學(xué)生理性思維品質(zhì)，開(kāi)闊視野，拓寬思路等方面提升學(xué)生認(rèn)知水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng).