●趙向陽 (陶朱初中 浙江諸暨 311800)

“錯(cuò)誤”是指師生在認(rèn)知過程中的偏差或失誤.在常規(guī)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生出錯(cuò)是常見的現(xiàn)象，許多教師對(duì)此頭疼不已.事實(shí)上，學(xué)生出錯(cuò)是正?，F(xiàn)象，新課標(biāo)在情感與態(tài)度的目標(biāo)中明確提出：學(xué)生要能在他人的指導(dǎo)下，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的錯(cuò)誤并及時(shí)改正.在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，“正確，有可能是一種模仿;錯(cuò)誤，卻大凡是一種經(jīng)歷”.學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力水平在正確與錯(cuò)誤的交錯(cuò)下提升與發(fā)展，錯(cuò)誤與正確是每個(gè)學(xué)生成長過程中必經(jīng)的階梯.因此，教師應(yīng)當(dāng)正視錯(cuò)誤，善用錯(cuò)誤資源，借力于“錯(cuò)誤”提高課堂教學(xué)的有效性，化“腐朽”為“神奇”.

1 預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突

課堂上的錯(cuò)誤，有些是教師能夠預(yù)料到的.教師通過認(rèn)真鉆研教材，研究學(xué)情，憑借教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤的規(guī)律，預(yù)設(shè)學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知過程中可能發(fā)生的錯(cuò)誤.教學(xué)不僅僅是單向地組織學(xué)生學(xué)習(xí)正確的知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生在正確與錯(cuò)誤之間不斷碰撞、思索、討論，從而展現(xiàn)多姿多彩、充滿挑戰(zhàn)的課堂.

1.1 預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，引入新知

弗賴登塔兒認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是基于學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)化過程.一線教師普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是學(xué)生已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)與相關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)背景.實(shí)際上，數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)也包括一些未能完全掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造也是可以以不正確的認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)的.教師通過預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，引發(fā)認(rèn)知沖突，從而導(dǎo)入新知.這樣，學(xué)生更有學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)更容易留下深刻印象.

案例1 八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“直角三角形全等的判定”引入.

課始，投影展示一道幾何證明題過程如下：

例1 在△ACB和△A'C'B'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'，求 證：△ACB ≌△A'C'B'.

證明在△ACB和△A'C'B'中，因?yàn)?/p>

問題 請(qǐng)學(xué)生談?wù)剬?duì)這一道例題及證明過程的看法.

一部分學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)證明過程中全等判定方法應(yīng)用出錯(cuò)，錯(cuò)在SSA不是普通三角形的全等判定方法，并及時(shí)回顧全等三角形的判定方法.進(jìn)一步提問：SSA判定普通三角形全等為什么不行?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)命題為真命題，引出直角三角形全等的判定方法，并探究這一命題的證明方法.

1.2 預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，辨析新知

對(duì)新知的認(rèn)識(shí)，要從正、反面去理解.在新概念或新性質(zhì)學(xué)習(xí)之后，利用預(yù)設(shè)的錯(cuò)誤現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生在辨析中更加完整、全面地認(rèn)知新知識(shí)，是學(xué)習(xí)新知識(shí)常用的方法.這種預(yù)設(shè)的錯(cuò)誤有時(shí)來自教師提供的材料，但缺少親和力，教師應(yīng)盡可能從學(xué)生問題解決過程中擷取看似隨意產(chǎn)生、實(shí)際上是預(yù)設(shè)的一些錯(cuò)誤以供辨析.因?yàn)檫@些錯(cuò)誤就發(fā)生在學(xué)生身邊，所以更有真實(shí)感與沖擊力.

案例2 七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“數(shù)軸概念”辨析.

師生共同合作將溫度計(jì)抽象成數(shù)軸并定義數(shù)軸，讓每個(gè)學(xué)生動(dòng)手畫一條數(shù)軸，并與同桌交換自己所畫的圖形，交流所畫的數(shù)軸是否完整，如果不完整或不正確，記錄錯(cuò)誤并加以完善.達(dá)成共識(shí)后，請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)作圖過程中的一些錯(cuò)誤(如圖1)，師生共同歸納畫數(shù)軸的注意點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)軸的三要素缺一不可.

圖1

1.3 預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，鞏固新知

在數(shù)學(xué)應(yīng)用過程中，不同層次的問題，反映不同層次的應(yīng)用水平，也反映學(xué)生新知掌握的不同程度.教材中的例題通常是針對(duì)大眾化的學(xué)生設(shè)計(jì)，面對(duì)真實(shí)有鮮活個(gè)性的學(xué)生，課堂教學(xué)往往會(huì)做適當(dāng)?shù)淖兓?，一方面進(jìn)行開放訓(xùn)練或是探究數(shù)學(xué)應(yīng)用，另一方面通過更高要求的變式問題發(fā)現(xiàn)學(xué)生中存在的問題.教師結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生的認(rèn)知水平，可以在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一些變式問題，挖掘出學(xué)生認(rèn)知的局限性，進(jìn)而更好地完善新知應(yīng)用能力.

案例3 九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“圓的軸對(duì)稱性”的例題變式.

例2 已知(如圖2)，用直尺和圓規(guī)作這條弧的中點(diǎn).

變式用直尺和圓規(guī)求作的四等分點(diǎn).

圖2

圖3

圖4

2 捕捉錯(cuò)誤，疏通學(xué)生認(rèn)知盲點(diǎn)

許多學(xué)生課內(nèi)外錯(cuò)誤的產(chǎn)生具有隨機(jī)性，這些錯(cuò)誤有些是可利用的認(rèn)知錯(cuò)誤，有些則是無價(jià)值的.對(duì)于極具教學(xué)價(jià)值的錯(cuò)誤，教師要及時(shí)捕捉并遴選，加以合理利用，為高效的課堂增添色彩.

2.1 捕捉錯(cuò)誤，開拓思路

正確的方法，可能就在錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)隔壁.發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤后，或溯源而上或背道而行，可能得到正確的思路.因此，在教學(xué)過程中，可以捕捉與解題相關(guān)的錯(cuò)誤信息，或逆推或反向或發(fā)散分析，也是開拓思路的好方法.

案例4 中考模擬題講評(píng)：直角三角形面積平分.

例3 用12根相同的火柴棒首尾順次相接，搭成一個(gè)三角形(如圖5).若要平分這個(gè)三角形的面積，則至少還需要同樣的火柴棒 ( )

A.1根 B.2根 C.3根 D.4根

一次初三模擬考中有一道題來源于小學(xué)的數(shù)學(xué)智慧題，以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.大部分學(xué)生選擇C，理由是斜邊上的中線可以將面積平分，但中線長為2.5根火柴，故選C.而個(gè)別選擇正確答案B的學(xué)生反饋，也是根據(jù)2.5根猜答案不可能那么簡單，故猜B.在試卷講評(píng)課時(shí)，發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生不知道自己的答案是否正確，一部分學(xué)生知道自己的答案錯(cuò)誤但不明白錯(cuò)誤發(fā)生在哪里.學(xué)生的思維局限在分割后的圖形仍然為三角形，故有2.5根的結(jié)論，點(diǎn)破后，學(xué)生的思維就打開了，通過嘗試發(fā)現(xiàn)了2種分割方法(如圖6).

圖5

圖6

2.2 捕捉錯(cuò)誤，探索創(chuàng)新

正確的思維是解決問題的成功途徑，那么錯(cuò)誤的思維是否是解決問題時(shí)的失敗途徑呢?回答是否定的，一個(gè)錯(cuò)誤的方法，也是基于相關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象而產(chǎn)生的，只不過這個(gè)方法尚未完善，它可能是另一種問題解決的方法.錯(cuò)誤也是成功的必經(jīng)之路，甚至是創(chuàng)新的起點(diǎn).

案例5 形如ax2=bx(a≠0)一元二次方程的特殊解法.

例4 解方程3x2=x.

一位學(xué)生在解此方程時(shí)，2邊同除以x得3x=1，從而 x=.教師沒有批評(píng)學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生與正確解法進(jìn)行比較，比較正解與錯(cuò)解的不同之處，分析錯(cuò)解中漏解的原因是方程2邊同除以x時(shí)，忽略了x=0所造成的.找出問題所在后，教師就勢提出一問：你能將錯(cuò)解補(bǔ)充成正確的解答嗎?學(xué)生在略微思考后，提出自己一個(gè)特殊解法：分類討論法.當(dāng)x=0時(shí)，是方程的解，當(dāng)x≠0時(shí)，解得x=，所以原方程的解為x=0，x=.經(jīng)過認(rèn)真

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思考，這位學(xué)生的解法得到了大家的認(rèn)同，并在此基礎(chǔ)上，總結(jié)出形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程的特殊解法：分類討論法.

2.3 捕捉錯(cuò)誤，及時(shí)糾正

不是所有錯(cuò)誤都有利用價(jià)值，也不是所有錯(cuò)誤都可以引發(fā)新方法與新思路.大部分錯(cuò)誤的產(chǎn)生是因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)知存在盲點(diǎn)，及時(shí)捕捉這些錯(cuò)誤，共同解決，有利于學(xué)生及時(shí)清理知識(shí)盲區(qū)，從而實(shí)現(xiàn)高效課堂教學(xué).

案例6 七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”引例.

引例 一只青蛙一張嘴，二只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水;二只青蛙二張嘴，四只眼睛八條腿，撲通撲通跳下水……

問題1 如果有更多數(shù)量的青蛙，那么這首兒歌該怎么唱?

問題2 如果青蛙的數(shù)量用字母n表示，那么這首兒歌又該怎么唱?

這個(gè)引例用了很多年，在初中數(shù)學(xué)課堂中基本都能順利地引入新課.有一次，與一位小學(xué)教師同課異構(gòu)時(shí)出現(xiàn)了意外，一個(gè)小學(xué)生答“n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿”，在座的學(xué)生中還有不少支持者.在這些學(xué)生的認(rèn)知中，n是代表說不清、數(shù)不完的數(shù)，有些學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)語言表達(dá)中會(huì)用“n多”.因此青蛙太多，數(shù)不清，用n代替，嘴太多，也是數(shù)不清，故也是用n代替，以此類推.此類錯(cuò)誤不可馬虎，要及時(shí)捕捉，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤所在.當(dāng)時(shí)筆者就引導(dǎo)學(xué)生將n取2代入得到“2只青蛙2張嘴，2只眼睛2條腿”，這顯然與前面事實(shí)相矛盾，并及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)n并不是代表數(shù)不清的數(shù)，而是一個(gè)具體數(shù)量的代替.而青蛙、嘴、眼睛、腿之間存在著數(shù)量聯(lián)系，在字母表示數(shù)時(shí)，這種數(shù)量關(guān)系要通過代數(shù)式表示出來，學(xué)生在錯(cuò)誤分析“n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿”的基礎(chǔ)上及時(shí)糾錯(cuò)得到“n只青蛙2n張嘴，2n只眼睛4n條腿……”.

3 反思錯(cuò)誤，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)

錯(cuò)誤是始終伴隨著學(xué)生學(xué)習(xí)過程的，學(xué)生在不斷糾正錯(cuò)誤的過程中，應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)處理錯(cuò)誤更高層次的方法——反思錯(cuò)誤.反思是一種主動(dòng)“再認(rèn)識(shí)”的過程，是思維的高級(jí)形式.培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，有助于學(xué)生更好的學(xué)習(xí)，但初中階段的學(xué)生畢竟在自控力方面有限，自主反思的習(xí)慣不易建立，往往需要一些方法督促其反思.

3.1 集錯(cuò)

集錯(cuò)，是廣大數(shù)學(xué)教師熟悉的引導(dǎo)學(xué)生整理學(xué)習(xí)的方法.事實(shí)證明，這是一個(gè)行之有效的方法.集錯(cuò)本常用于收集作業(yè)或試卷中的錯(cuò)題，側(cè)重在解題錯(cuò)誤的整理，平時(shí)可以要求學(xué)生在問題邊空白處簡單注明錯(cuò)誤的原因，學(xué)生用于復(fù)習(xí)查看效果較好.當(dāng)然教師也應(yīng)適當(dāng)?shù)卣韺W(xué)生的作業(yè)錯(cuò)誤，積累經(jīng)驗(yàn)，為以后的復(fù)習(xí)或下一輪的教學(xué)提供參考.

3.2 記錯(cuò)(日記)

每天選取課堂或課外的典型錯(cuò)誤，不拘于作業(yè)或試卷，也可以是課堂學(xué)習(xí)中未明白的知識(shí)點(diǎn)等，并加反思，形成日記，有利于學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，也可以加深對(duì)正確認(rèn)識(shí)的鞏固.記錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)有問題，有解決方案，有反思的完整錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)過程，也是自身元認(rèn)知水平發(fā)展的體現(xiàn).

3.3 評(píng)錯(cuò)

在反思錯(cuò)誤過程中，要學(xué)會(huì)對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行合理的評(píng)價(jià)，對(duì)錯(cuò)誤的產(chǎn)生要有合理對(duì)待的態(tài)度.產(chǎn)生錯(cuò)誤是正常現(xiàn)象，糾正錯(cuò)誤是自身的一種成長，而由錯(cuò)誤引發(fā)創(chuàng)新思維就是一種自身成長的突破.學(xué)生不僅要對(duì)自身錯(cuò)誤有公正的評(píng)價(jià)，同時(shí)對(duì)其他學(xué)生所產(chǎn)生的錯(cuò)誤也應(yīng)該有正確的評(píng)價(jià).因此，正確評(píng)價(jià)錯(cuò)誤，也是學(xué)習(xí)水平發(fā)展的代表.

追求高效的課堂教學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值，是每一個(gè)數(shù)學(xué)教師的目標(biāo).我們應(yīng)當(dāng)重視課堂“意外”，關(guān)注學(xué)生的“錯(cuò)誤”.“意外”、“錯(cuò)誤”的應(yīng)對(duì)，需要一定的教學(xué)智慧，這是教師多種教育能力的結(jié)合，需要我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中做有心人，時(shí)刻留意學(xué)生的所思所想，關(guān)注學(xué)生的知識(shí)生成，當(dāng)然也包括學(xué)生的錯(cuò)誤生成，積極研究學(xué)生的錯(cuò)誤，只有這樣才能取得更好的教學(xué)效果.