312352 浙江華上虞市竺可楨中學(xué) 徐 駿

注重基礎(chǔ) 穩(wěn)中求新 凸顯能力
——浙江省紹興市近三年中考數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)及啟示

312352 浙江華上虞市竺可楨中學(xué) 徐 駿

2011年是浙江省紹興市全面推廣浙教版課標(biāo)教材后的第三次自主命題,試題在突出能力立意的基礎(chǔ)上,創(chuàng)新的氛圍更加濃郁,富有鮮明的時代氣息.本文就近三年的浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)試題的特色進(jìn)行分析,并得到一些啟示.

1 近三年試卷的特點(diǎn)

特點(diǎn)1 在命題思路、考查內(nèi)容、題型結(jié)構(gòu)等方面,和往年試題保持了一定的連續(xù)性和穩(wěn)定性

試題結(jié)構(gòu)保持不變,全卷共24道題,分選擇題、填空題、解答題三種題型.第一大題(選擇題)10個小題共40分,第二大題(填空題)6個小題共30分,第三大題(解答題)8個小題共80分,全卷滿分150分.其中,選擇題是四選一型的單項(xiàng)選擇題;填空題每小題只有一個空,要求直接填寫結(jié)果;解答題包括計算題、證明題和應(yīng)用題等,解答必須寫出文字說明、演算步驟或證明過程.題目的編排由易到難,循序漸進(jìn),遵循考生的認(rèn)知規(guī)律,三種類型題的最后一題為把關(guān)題,有一些難度.

從近三年來紹興中考數(shù)學(xué)試卷可以看出,試題注重對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的考查,貼近初中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際,沒有出現(xiàn)偏題和怪題,總體難度適中,整體趨向于平穩(wěn),在平穩(wěn)中有效地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力.另外,試題注重對數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容的考查,內(nèi)容涉及“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”、“實(shí)踐與綜合運(yùn)用(課題學(xué)習(xí))”四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域.知識點(diǎn)的考查既注意全面,又突出重點(diǎn),注重知識內(nèi)在聯(lián)系的考查,注重對初中數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的考查.對比三年的中考試卷,我們不難發(fā)現(xiàn),浙江紹興中考已經(jīng)形成一套相對穩(wěn)定的知識點(diǎn)結(jié)構(gòu),如下表所示：

考查內(nèi)容題序2009年 2010年 2011年題______型____1 合并同類項(xiàng),冪的運(yùn)算 相反數(shù)的意義 相反數(shù)的意義____2 科學(xué)記數(shù)法的表示方法 簡單組合體的三視圖 科學(xué)記數(shù)法的表示方法____3 反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 垂徑定理,勾股定理 角平分線的定義,平行線的性質(zhì)____4 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離 科學(xué)記數(shù)法的表示方法 簡單組合體的三視圖____5 由三視圖確定幾何體的形狀 分式的加減運(yùn)算 等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理6 三角形中位線定理,圖形折疊___________的性質(zhì) 方差的意義 垂徑定理,勾股定理選擇題7 統(tǒng)計量的選擇 一次函數(shù)的應(yīng)用(函數(shù)圖象的________________________________________讀圖能力) 概率公式的應(yīng)用8 利用列表法或畫樹狀圖法求___________簡單事件的概率 平行四邊形的判定與性質(zhì) 線段垂直平分線的性質(zhì)9 直線與圓的位置關(guān)系,垂徑定___________理,勾股定理 反比例函數(shù)值的大小比較 一次函數(shù)的應(yīng)用(函數(shù)圖象的讀圖能力)10求將陰影部分的面積(結(jié)合一次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化成三角形的面積來計算)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,勾股定理相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

續(xù)表

特點(diǎn)2 關(guān)注數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容的考查,注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)了初中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性、普及性

由于中考采用兩考合一的形式,首先要強(qiáng)調(diào)的是它的水平測試功能,必然面向全體學(xué)生,體現(xiàn)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn)稿)(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)所倡導(dǎo)的“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué),人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”這一基本理念.

例1 (2010年第15題)如圖1,做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn) D.將△ABD作關(guān)于直線 AD的軸對稱變換,所得的像與△ACD重合.對于下列結(jié)論：

①在同一個三角形中,等角對等邊;

②在同一個三角形中,等邊對等角;

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合.

由上述操作可得出的是_________(將正確結(jié)論的序號都填上).

圖1

點(diǎn)評 本題出自浙教版課標(biāo)教材八年級上冊第26頁,在已有軸對稱學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上是通過操作探究等腰三角形的性質(zhì).讓我們重新審視折疊的過程：由AD平分∠BAC,得∠BAD=∠CAD.當(dāng)把圖形沿直線AD對折時,射線AB與AC重合,由于AB=AC,于是點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,故△ABD與△ACD重合,所以△ABD≌△ACD,從而得到 BD=CD,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC=90°,即 AD⊥BC.從操作過程沒有體現(xiàn)角相等,邊就相等,故①不符合;因?yàn)锳D平分∠BAC,BD=CD,AD⊥BC,故②,③均符合.有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生由于平時不重視數(shù)學(xué)知識獲取過程中的理解,想當(dāng)然的認(rèn)為這三個結(jié)論都是正確的,這一出乎意料的結(jié)果為我們的教與學(xué)再次敲響了警鐘.

特點(diǎn)3 突出對數(shù)學(xué)活動過程的考查,強(qiáng)調(diào)了“用數(shù)學(xué),做數(shù)學(xué)”的應(yīng)用意識

“數(shù)學(xué)教學(xué)”實(shí)質(zhì)是“數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”,既包含了“數(shù)學(xué)”,又凸現(xiàn)了獲得結(jié)果的“活動”,體現(xiàn)了過程與結(jié)果的統(tǒng)一.

圖2

點(diǎn)評 本題取材新穎,構(gòu)思巧妙.從考生熟悉的背景中引出問題,涉及的知識點(diǎn)雖不多,但考查的數(shù)學(xué)思想方法卻不少.學(xué)生要通過畫示意圖來探究發(fā)現(xiàn)其中隱含的點(diǎn)與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：第一次操作后,恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)為=2-1.第二次操作后,恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)為,,它們的和為1=20.在此基礎(chǔ)上繼續(xù)思考,可以發(fā)現(xiàn)：第三次操作后,恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)為,它們的和為2=21.由此,可以推出第n次操作后,恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的為它們的和為2n-2.這是一道思維含量較高的數(shù)學(xué)建模題,類似試題的出現(xiàn),使得題海戰(zhàn)術(shù)失去了市場,真實(shí)地考查了考生的探究能力.由于沒有現(xiàn)成的解題模式可供借鑒,考生若沒有一定的抽象思維能力和閱讀理解能力,要解決這個問題是有一定難度的.

例3 (2011年第10題)李老師從“淋浴龍頭”受到啟發(fā),編了一個題目：在數(shù)軸上截取從0到3的對應(yīng)線段AB,實(shí)數(shù)m對應(yīng)AB上的點(diǎn)M,如圖3;將AB折成正三角形,使點(diǎn)A,B重合于點(diǎn)P,如圖4;建立平面直角坐標(biāo)系,平移此三角形,使它關(guān)于y軸對稱,且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2),PM與 x軸交于點(diǎn)N(n,0),如圖5.當(dāng)m=3時,求n值.你解答這個題目得到的n值為

特點(diǎn)4 重視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,強(qiáng)化應(yīng)用意識

《標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)背景的“現(xiàn)實(shí)性”和“數(shù)學(xué)化”.倡導(dǎo)能用數(shù)學(xué)眼光認(rèn)識世界,并能用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法處理解決周圍的實(shí)際問題.近幾年中考考查應(yīng)用能力的試題均能結(jié)合社會熱點(diǎn)來設(shè)計,以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活為問題的背景,試題取材于生活背景,并多以圖表信息題的形式出現(xiàn),凸顯著試題的教育價值.

例4 (2009年第23題)如圖6的矩形包書紙示意圖中,虛線是折痕,陰影是裁剪掉的部分,四角均為大小相同的正方形,正方形的邊長為折疊進(jìn)去的寬度.

(1)如圖7,《思維游戲》這本書的長為21cm,寬為15cm,厚為1cm,現(xiàn)有一張面積為875cm2的矩形紙包好了這本書,展開后如圖6所示.求折疊進(jìn)去的寬度;

(2)若有一張長為60cm,寬為50cm的矩形包書紙,包2本如圖7中的書,書的邊緣與包書紙的邊緣平行,裁剪包好展開后均如圖6所示.問折疊進(jìn)去的寬度最大是多少？

圖6

圖7

點(diǎn)評 本題以學(xué)生比較熟悉的包書皮為背景,貼近學(xué)生生活實(shí)際,契合了當(dāng)今社會倡導(dǎo)低碳生活的形勢,將建模思想等巧妙置于其中,既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性,又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊,并產(chǎn)生了積極的情感體驗(yàn).解答該題須要對題目有正確的解讀,注意區(qū)分第(1)小題“正好包好”和第(2)小題“裁剪包好”兩種語言的差異,選擇合適的數(shù)學(xué)模型,如：第(1)小題選擇方程模型,第(2)小題選擇不等式模型.第(2)小題需要考慮到兩本書在同一張自紙上的各種不同擺放情況,主要考查學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想和靈活運(yùn)用知識的能力,充分激發(fā)了學(xué)生的探究欲望,拓展了學(xué)生的思維空間,能較好地區(qū)分各類學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和建模能力.

特點(diǎn)5 著力于學(xué)習(xí)能力的考查,強(qiáng)調(diào)初中數(shù)學(xué)課程的發(fā)展性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不僅反映著學(xué)生對既學(xué)知識掌握的情況和程度,更體現(xiàn)著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能.因此重視對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的考查,已經(jīng)成為當(dāng)前中考的熱點(diǎn).近三年來中考試卷都出現(xiàn)了一定量的開放性、探究性試題,這類試題突出了對教學(xué)本質(zhì)和思想方法的考查,讓學(xué)生思維有更廣闊發(fā)揮的空間和較大選擇的自由度,能很好地培養(yǎng)學(xué)生的探究精神、創(chuàng)新意識和發(fā)散思維.

例5 (2011年第23題)數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下的題目.

在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)D在CB的延長線上,且 ED=EC,如圖8,試確定線段AE與DB的大小關(guān)系,并說明理由.

小敏與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答：(1)特殊情況,探索結(jié)論

圖8

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時,如圖9,確定線段AE與BD的大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論：

AE_______DB(填 “ ＞”,“＜”或“=”)

(2)特例啟發(fā),解答題目

解 題目中,AE與BD的大小關(guān)系是：AE_______

圖9

DB(填“＞”,“＜”或 “=”).理由如下：如圖 10,過點(diǎn) E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F,(請你完成以下解答過程)

(3)拓展結(jié)論,設(shè)計新題

在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)D在直線BC 上,且 ED=EC.若 △ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).

點(diǎn)評 本題以等邊三角形為載體,通過點(diǎn)E在直線AB上的位置改變?yōu)槭侄?在三角形中利用添加輔助線構(gòu)成全等形進(jìn)而構(gòu)成相似形,完成從合情推理到演繹推理的轉(zhuǎn)變.主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的內(nèi)角和定理,等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握,能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.第(1)小題起點(diǎn)較低,先求出∠D=∠DEB=30°,推出DB=BE=AE即可;第(2)小題由于已經(jīng)有了作圖提示,學(xué)生很容易想到先去證出△AEF為等邊三角形,并且證明△DBE≌△EFC也有多種途徑可供選擇;第(3)小題要分為兩種情況：

圖10

圖11

圖12

解答此小題若直接引用第(2)小題的結(jié)論“AE=BD”,得出結(jié)果則更快一些.在近三年的中考試卷中,第23題始終將培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力作為目標(biāo),利用探究性試題進(jìn)行壓軸成為試卷的特色之一.本題先證明“AE=BD”在“點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)”這一特殊情況下成立,再改變問題的條件,讓學(xué)生探討在“點(diǎn)E在AB上”時原來的結(jié)論是否還成立,進(jìn)一步聯(lián)想提出新的問題,即將條件“點(diǎn)E在AB上”再次拓展成“點(diǎn)E在直線AB上”,這種采用分層遞進(jìn)的方式探究相關(guān)線段間的大小,實(shí)現(xiàn)特殊到一般的思想(全等到相似)的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟,較好地考查學(xué)生的知識遷移能力和解決問題的能力.

特點(diǎn)6 突出了對數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的考查,體現(xiàn)學(xué)業(yè)考試的選拔功能.

通過分析、對比、研究近三年中考數(shù)學(xué)試卷,發(fā)現(xiàn)中考壓軸題(第24題)考點(diǎn)主要集中在二次函數(shù)、幾何變換、特殊三角形(四邊形)的綜合應(yīng)用上,試題具有較強(qiáng)的區(qū)分度,較好地測試了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和進(jìn)入高一級學(xué)校的學(xué)習(xí)潛能,有利于不同層次的學(xué)生發(fā)揮出自己的真實(shí)水平,有利于高一級學(xué)校選拔新生.

(1)如圖13,求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段OC的長;

(2)點(diǎn)P在拋物線上,直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q,連接BQ.

①若含45°角的直角三角板如圖14放置,其中,一個頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,直角頂點(diǎn)D在BQ上,另一個頂點(diǎn)E在PQ上,求直線BQ的函數(shù)解析式;

②若含30°角的直角三角板一個頂點(diǎn)與C重合,直角頂點(diǎn)D在直線BQ上,另一個頂點(diǎn)E在PQ上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖14

圖13

點(diǎn)評 本題以平面直角坐標(biāo)系為載體,立足二次函數(shù)這個主干知識,賦予運(yùn)動變化的背景,融合了轉(zhuǎn)化思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,是一道綜合性較強(qiáng)的題目.試題設(shè)置的三個問題的設(shè)計由淺入深,層層遞進(jìn).第(1)小題為基礎(chǔ)題,絕大部分學(xué)生能根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸,得分率較高;第(2)小題的第①問有一定的難度,從等腰直角三角形CDE這一特殊位置入手,結(jié)合全等三角形的性質(zhì)(過D作 DM ⊥x軸于 M,作 DN⊥PQ于 N,則△DCM∽△DEN)判斷四邊形DMQN為正方形,從而求點(diǎn)Q的坐標(biāo),確定直線BQ的函數(shù)解析式;第(2)小題的第②問對學(xué)生的思維能力提出了較高的要求,分化現(xiàn)象較為突出,部分學(xué)生無從下手,可能是時間比較倉促,也可能一時找不到解題思路,畫不出相應(yīng)的圖形.要正確解答此問,需要越過兩道坎：其一是“含30°角的直角三角板一個頂點(diǎn)與C重合”應(yīng)考慮“∠DCE=30°”和“∠DCE=60°”兩種情況,其二是點(diǎn)P的位置應(yīng)考慮“點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)”和“點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)”兩種情況.遺憾的是,相當(dāng)多地考生思維不夠縝密,普遍存在著兩類漏解的現(xiàn)象：如圖15,一類是未考慮對稱性僅求出點(diǎn)P1,點(diǎn)P3的坐標(biāo),另一類是雖考慮對稱性但對“含30°角的直角三角板一個頂點(diǎn)與C重合”的理解存在缺陷僅求出點(diǎn)P1,點(diǎn)P2的坐標(biāo),能完整解答出四個點(diǎn)坐標(biāo)的學(xué)生寥寥無幾,學(xué)生的運(yùn)算和推理能力在此得到了有效的甄別.

圖15

2 試題的啟示

2.1 整合教材資源,打好“基礎(chǔ)”這張牌

教材中豐富的例(習(xí))題是中考試題的“故鄉(xiāng)”,有些試題在教材中找得到原型,有些試題則是對教材例(習(xí))題的改編、延伸和拓展.因此,必須重視基礎(chǔ)知識的教學(xué),夯實(shí)基礎(chǔ)才是上策.

2.2 注重通性通法,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

數(shù)學(xué)思想,是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)以及規(guī)律的理性認(rèn)識,是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂和根本策略,直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動.常用的數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體與換元思想、方程與函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想等.如：我們用數(shù)軸這一直觀形象來揭示“絕對值”這個概念的的內(nèi)涵,從中滲透數(shù)形結(jié)合的思想.又如“二次根式的加減運(yùn)算”采用類比“整式的加減運(yùn)算”的手段,實(shí)現(xiàn)從未知到已知的轉(zhuǎn)化.

數(shù)學(xué)方法,是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序,是數(shù)學(xué)思想的具體反映.常用的數(shù)學(xué)方法有：配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法等.教師在教學(xué)中要在常規(guī)解題方法的教學(xué)上多下功夫,有針對性地落實(shí)相應(yīng)的解題方法.重視一題多解和一題多變,這樣學(xué)生就有了更多的方法與手段,能在比較短的時間里確定合適的解決問題的方法,能夠舉一反三、一法多用.

2.3 加強(qiáng)過程教學(xué)與教法指導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生開展自主探索,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)是一種“過程教學(xué)”,它既包括知識的發(fā)生、形成、發(fā)展過程,也包括人的思維過程,要處理好知識的“強(qiáng)化”與“內(nèi)化”的關(guān)系.在教學(xué)中,要適時地給學(xué)生制造一些思維受阻的情境,讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)的活動中,通過比較、分析、歸納、類比、抽象等思維過程,完成對所學(xué)知識的理解和解題策略的選擇,要根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知發(fā)展水平,有目的、有計劃地設(shè)計一些探索性和開放性的問題,以引發(fā)學(xué)生的探索熱情,激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí).

要倡導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思,如：命題者的意圖是什么？解決這個問題有沒有最佳的方法？如果這個問題的結(jié)論或條件適當(dāng)開放,我還能繼續(xù)做嗎？要讓學(xué)生知道,如何去思考和解決一個數(shù)學(xué)問題,這才算得上是高效的.在平時的綜合題教學(xué)中,要鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣和毅力,使他們在碰到此類型題目時能冷靜處理,進(jìn)行有條理的思考,尋找解題的途徑和方法.

2.4 強(qiáng)化應(yīng)用意識,關(guān)注學(xué)生的個性發(fā)展

要根據(jù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)存在的差異,使每一位學(xué)生在力所能及的范圍內(nèi)學(xué)習(xí)更多的知識,使他們在原有的基礎(chǔ)上都有得到發(fā)展和提高.具體地說,可采用的策略是：對于水平較高的學(xué)生應(yīng)采用“放”的方式,為他們提供更為廣泛的獨(dú)立思考時間和空間;對于中等生采用“激”的方式,為他們提供要求適中的問題,逐步養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣;對于學(xué)習(xí)能力較差的學(xué)生則采用“誘”的方式,為他們提供適度的幫助,多給一些鼓勵和啟發(fā),促進(jìn)他們形成獨(dú)立思考的自我意識.

1 楊新華.例談中考數(shù)學(xué)命題的特點(diǎn)及對教學(xué)的啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2011,4

2 韓春見.從2009年中考數(shù)學(xué)看2010中考數(shù)學(xué)命題趨勢[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2010,6

3 徐駿.在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)中教師應(yīng)擔(dān)當(dāng)?shù)慕巧玔J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2006,8

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