210019 南師大附中新城初中 何君青

例談中考閱讀題中的相似問題

210019 南師大附中新城初中 何君青

《新課標(biāo)》中明確指出數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面需要大力加強(qiáng),鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識(shí)的形成過程.創(chuàng)新型閱讀試題是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的最好題型之一,它對(duì)考察學(xué)生的閱讀理解能力、知識(shí)遷移能力、類比猜想能力、數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)等都有良好的作用.本文列舉幾例創(chuàng)新型閱讀題相似問題的應(yīng)用.

1 相似問題中的相似點(diǎn)、強(qiáng)相似點(diǎn)

相似是初中數(shù)學(xué)體系中的重要內(nèi)容之一,它有著豐富的背景,它既是空間與圖形研究的對(duì)象,又是數(shù)與代數(shù)研究的對(duì)象,是集“數(shù)、形”于一身的數(shù)學(xué)概念.在中考中有著不容忽視的地位,常與圓、特殊四邊形、二次函數(shù)等眾多中考熱點(diǎn)、難點(diǎn)結(jié)合.相似三角形是其主要考查點(diǎn),既可以單獨(dú)考查,也能與很多知識(shí)結(jié)合考查.

例1 如圖1,在四邊形ABCD的AB邊上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成3個(gè)三角形.如果其中有2個(gè)三角形相似,我們就把點(diǎn)E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn);如果這3個(gè)三角形都相似,我們就把點(diǎn)E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強(qiáng)相似點(diǎn).

問題1 若圖1中,∠A=∠B=∠DEC=50°,說明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn);

分析 本題題目給出了相似點(diǎn)的概念,是以往沒有接觸過的知識(shí)點(diǎn),但閱讀后發(fā)現(xiàn)只要證明出相似就可以得到相似點(diǎn),將未知轉(zhuǎn)化為已知,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的類比思想、轉(zhuǎn)化思想.

∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn).

圖1

問題2 (1)如圖2,畫出矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn).(要求：畫圖工具不限,不寫畫法,保留畫圖痕跡或有必要的說明.)

(2)對(duì)于任意的一個(gè)矩形,是否一定存在強(qiáng)相似點(diǎn)？如果一定存在,請(qǐng)說明理由;如果不一定存在,請(qǐng)舉出反例.

分析 本題題目給出了強(qiáng)相似點(diǎn)的概念,類比相似點(diǎn),本問第(1)小問即要作出一點(diǎn)使其劃分的三個(gè)三角形均相似,此處與相似概念、圓中“直徑對(duì)直角”結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密聯(lián)系以及數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.

解 (1)以CD為直徑畫弧,取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求.

(2)對(duì)于任意的一個(gè)矩形,不一定存在強(qiáng)相似點(diǎn),如正方形.

問題3 在梯形ABCD中,AD∥BC,AD ＜BC,∠B=90°,點(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn),判斷AE與BE的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

分析 本題未給出圖,對(duì)于很多學(xué)生而言難以解答,這就是創(chuàng)新型閱讀題考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn),而且從題目中可知強(qiáng)相似點(diǎn)只能說明劃分的3個(gè)三角形均相似,但并未給出三角形各頂點(diǎn)如何對(duì)應(yīng),這是學(xué)生易漏解的地方,本題考查了學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力以及分類討論的思想.

圖2

解 第一種情況(如圖3).

圖3

圖4

2 相似問題中的自相似點(diǎn)

2011年南京市中考試題第27題考查了“自相似點(diǎn)”的知識(shí),題目先給出了自相似點(diǎn)的概念,隨后讓學(xué)生利用此概念解決了幾個(gè)相關(guān)問題,雖然此題難度不大,但得分率不高,主要原因是很多考生未能讀懂題意,或者平時(shí)在“題海訓(xùn)練”下,沒有親歷過自主探究的過程,遇到創(chuàng)新閱讀題會(huì)費(fèi)時(shí),心理緊張,全部成功解決的概率大大降低.

例2 (2011年南京)如圖5,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似,那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn).

圖5

問題1 如圖6,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB ＞∠A,CD 是AB上的中線,過點(diǎn)B作BE⊥CD,垂足為E,試說明E是△ABC的自相似點(diǎn).

分析 第1問難度不大,學(xué)生根據(jù)題目便知道只要滿足以E點(diǎn)為頂點(diǎn)的一個(gè)三角形與△ABC相似即可,但找準(zhǔn)這個(gè)三角形是關(guān)鍵,創(chuàng)新型閱

讀題要將平時(shí)獲取新知過程中所積累的經(jīng)驗(yàn)與方法,加以充分運(yùn)用.

解 在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 是AB上的中線,

圖6

(1)如圖7,利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P(寫出作法并保留作圖痕跡);

(2)若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn),求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

分析 雖然本題難度并不大,但是對(duì)于一個(gè)全新的知識(shí)要讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)完全理解,并寫出完整、準(zhǔn)確的解答是需要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及能力的,這源于平時(shí)的積累,要求學(xué)生平時(shí)就具備較高的思維能力、探究問題能力和合情推理的能力,本題立足于教材,全面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

解 (1)作法如下：

圖7

1 涂榮豹,季素月.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編.南京：教育出版社,2007

2 章士藻.中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué).南京：江蘇教育出版社,1996

20110725)