510080 廣州市第七中學(xué) 劉 紅

談高中數(shù)學(xué)“新定義”題型的解題策略

510080 廣州市第七中學(xué) 劉 紅

在近幾年全國(guó)、各省的高考數(shù)學(xué)命題中，“新定義”問(wèn)題越來(lái)越受到關(guān)注和重視.所謂“新定義”問(wèn)題，是相對(duì)于高中教材而言，指在高中教材中不曾出現(xiàn)過(guò)的概念、定義.它的一般形式是：由命題者先給出一個(gè)新的概念、新的運(yùn)算法則，或者給出一個(gè)抽象函數(shù)的性質(zhì)等，然后讓學(xué)生按照這種“新定義”去解決相關(guān)的問(wèn)題.“新定義”問(wèn)題總的來(lái)說(shuō)題型較為新穎，所包含的信息豐富，能較好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.掌握好下列幾種解題的思路與方法，為我們?cè)诤暧^上把握這類(lèi)題型提供了思維方向.

1 有關(guān)定義“集合的問(wèn)題”

有關(guān)定義“集合”的問(wèn)題，可化歸為對(duì)集合中元素特征的研究.

例 1 若規(guī)定 E={a1，a2，a3.…a10}的子集{ai1，ai2，…ain}為E的第k個(gè)子集，其中k=2i1-1+2i2-1+…+2in-1，則：

(1){a1，a3}是 E 的第_____個(gè)子集;

(2)E的第211個(gè)子集是______.

分析 此題把E的所有子集進(jìn)行了“編號(hào)”，編號(hào)k的值可按表達(dá)式的要求計(jì)算.故(1)中k=21-1+23-1=5;(2)首先要對(duì)編號(hào)211進(jìn)行估計(jì)分析：參考27=128，可確定指數(shù)的范圍，容易得到答案{a1，a2，a5，a7，a8}.此題弄清元素的下標(biāo)數(shù)字特征對(duì)k值的貢獻(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

例3 設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的非空子集.若對(duì)任意x，y∈S，都有 x+y，x-y，xy∈S，則稱(chēng) S 為封閉集.下列命題：

(2)若S為封閉集，則一定有0∈S;

(3)封閉集一定是無(wú)限集;

(4)若S為封閉集，則滿(mǎn)足S?T?R的任意集合T也是封閉集.

其中的真命題是________.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))

分析 封閉集對(duì)集合中元素的特征提出了明確的要求，故只需從元素的特征入手解答.易知(1)為真命題;(2)由“若對(duì)任意 x，y∈S，都有 x+y，x-y，xy∈S”，若集合 S 為{x，y，…}，則集合 S 可以“擴(kuò)張”為{x，y，x+y，x-y，xy…y-x，}，故 S 必然可再次“擴(kuò)張”為{0，x，y，…}，故0∈S，此命題為真命題.(3)可由(2)中得到啟示，舉反例S={0}，故為假命題.(4)借助反例S={0}易知T{0，1}不符合“封閉集”的概念，故為假命題.

2 有關(guān)定義“運(yùn)算”的問(wèn)題

有關(guān)定義“運(yùn)算”的問(wèn)題，在理解運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，試圖去尋求運(yùn)算規(guī)律，并進(jìn)行合情推理.

例4 設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合.在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)a，()b，在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)).若對(duì)任意的 a，b∈S，有 a*(b*a)=b，則對(duì)任意的a，b∈S， ┈┈┈下列等式中不恒成立的是

分析 新定義的運(yùn)算法則是a*(b*a)=b，故應(yīng)重點(diǎn)去理解這個(gè)運(yùn)算法則和運(yùn)算結(jié)果特征.易知，B選項(xiàng)中(a*b)*a=a與已知運(yùn)算法則中所體現(xiàn)出的結(jié)構(gòu)不同，可變形為：(a*b)*［b*(a*b)］，再結(jié)合運(yùn)算規(guī)律，知運(yùn)算結(jié)果應(yīng)為b.故選B.

例5 對(duì)于大于1的自然數(shù)m的n次冪，可用奇數(shù)進(jìn)行如圖所示的“分裂”，仿此，記53的“分裂”中的最小數(shù)為a，而52的“分裂”中的最大數(shù)為b，則a+b= ___.

分析 在這種“分裂”運(yùn)算中，通過(guò)觀察分析，可以進(jìn)行合情推理，尋求其“分裂”的規(guī)律，x2型“分裂”從上到下是連續(xù)的奇數(shù)，x3型分裂從左到右也是連續(xù)的奇數(shù)，故52的“分裂”為1，3，5，7，9，故b=9，53的“分裂”為21，23，25，27，29，故 a=21，所以答案為 30.

3 有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題

3 有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題，通常是抓住函數(shù)特性在定義域上是恒等式，利用變量代換解題，即利用“賦值法”尋求函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，如周期性、奇偶性、單調(diào)性等.

例7 設(shè)f(n)為正整數(shù)n(十進(jìn)制)的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如f(123)=12+22+32=14，記f1(n)=f(n)，fk+1(n)=f(fk(n))，k=1，2，3，…，則 f2006(2006)的值為

分析 利用題目定義的運(yùn)算關(guān)系，先算幾個(gè)數(shù)(或幾步)看看，試圖從中找到相關(guān)的規(guī)律，是我們常用的方法.將f(2006)=40記做2006→40，于是有：

從16開(kāi)始，fn是周期為8的周期數(shù)列，故有：

f2006(2006)=f2004(16)=f4+250×8(16)=f4(16)=145.故選D

例8 已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)于任意a，b∈R，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，且當(dāng) x＜0 時(shí)，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3，證明：函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù);

證明：函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù);

試求函數(shù) y=f(x)在［m，n］上的值域(m，n∈Z).

解 根據(jù)所要證明的問(wèn)題，采用有向思維，通過(guò)賦值和變量代換，應(yīng)該可以得到所需的結(jié)論.

故函數(shù)的值域?yàn)椋?n，-m］.

20111103)