430032 武漢市第十一中學(xué) 肖 燕

1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

430032 武漢市第十一中學(xué) 肖 燕

1 本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是人類在大量的實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上歸納出的基本規(guī)律，它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法也貫穿在解決本章應(yīng)用問題的始終，在本章中是奠基性的知識.返璞歸真的看兩個原理，它們實際上是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的加法運算與乘法運算的推廣.從思想方法的角度看，運用分類加法計數(shù)原理解決問題是將一個復(fù)雜問題分解為若干“類別”，然后分類解決，各個擊破;運用分步乘法計數(shù)原理是將一個復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先對每個步驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個完整的過程.這樣做的目的是為了分解問題、簡化問題.可見，理解和掌握兩個計數(shù)原理，是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.

2 教學(xué)目標(biāo)分析

(1)通過實例列舉凸顯兩個原理發(fā)現(xiàn)的原始過程，使學(xué)生熟練掌握兩個原理的內(nèi)容、區(qū)別.

(2)通過特殊到一般的歸納推理思維，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力以及解決實際問題時主動應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力.

(3)通過搶答練習(xí)，使學(xué)生能夠靈活的應(yīng)用兩個原理解決常見的計數(shù)問題，親歷數(shù)學(xué)研究的成功和快樂.

(4)通過思考題的探索與發(fā)現(xiàn)的過程，感悟數(shù)學(xué)樸實無華的內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神.

3 教學(xué)過程

師：每天，武漢的街頭都有可能發(fā)生這樣的事情：堵車視頻：剪輯自《后天》鏡頭

后配音：路人：“這就是武漢的交通，車越來越多，超過100萬輛了”

乘客甲：“怎么這么堵?”

的士司機(jī)：“車輛增加太快了?”

乘客乙：“車牌照夠不夠喲?”

師：剛才這個小伙子提出的問題真的值得研究一下，我們先來看看現(xiàn)有牌照的選號規(guī)則：

引例 鄂A后的五位數(shù)中，第一位表示車輛所在區(qū)域：漢口三個老城區(qū)中江岸可用“1”、“A”、“H”;江漢可用“2”、“B”、“P”;硚口可用“3”、“C”，接下來的兩位數(shù)可以在0-9十個數(shù)字以及A到Z二十六個大寫字母中任意選取，最后的兩個數(shù)則只能在0-9的數(shù)字中選取，漢口的三個老城區(qū)最多能派發(fā)多少牌照?

師：這個問題是一個典型的計數(shù)問題，其實類似問題還有很多：幼兒園時我們有多少玩具?早上出門尋求上學(xué)途徑有多少種方法?甚至出門前我們有多少上衣和褲子，能夠搭配種數(shù)有多少等等，我們將這種方法數(shù)的計算問題都稱為計數(shù)問題.

師：計數(shù)問題，我們從幼兒園開始做起，一般怎么做呀?

學(xué)生：一個個的數(shù).

師：剛才的這個問題，逐個去數(shù)這種方式好不好?

學(xué)生：不好.

師：所以我們有必要研究合理的計數(shù)方式來進(jìn)行簡化吧.那么到底如何化繁為簡呢?生活中我們?nèi)绾螌?fù)雜問題簡單化呢?能不能分享下你的經(jīng)驗?

生1：一般有兩種，第一分門別類，各個擊破;第二分解為若干“步驟”，逐步完成.

教師：你真是生活中的有心人!他說我們生活中的問題有兩種方案簡化：一種是分類簡化，逐一突破;另一種則是分步簡化.比如這個題目要計算漢口老城區(qū)發(fā)放的牌照數(shù)，我們就可以分別去計算硚口、江岸、江漢，這其實就是一個分類簡化思想的運用;而5個數(shù)構(gòu)成的牌照我們可以一個個的填一步步的解決這個問題.所以，分類和分步可以有效的簡化我們的計數(shù)方式.今天咱們就來學(xué)習(xí)這兩種最基礎(chǔ)最重要的計數(shù)原理.

課題：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

我們還是從身邊的一些簡單實例開始我們的研究：

問題1 恰逢辛亥百周年慶典，大量游客都想到武漢這一革命圣地緬懷英雄，北京人小斌也是其中一人，從北京到武漢目前有兩種交通工具供選擇：飛機(jī)、旅客列車，已知當(dāng)天飛機(jī)有3班，旅客列車有5班.問共有多少種不同的選擇?誰能解決這個問題?

生2：8 種.

師：很好，請問：小斌要完成一件什么事?

生2：從北京到武漢.

師：他怎么完成這件事?

生2：從兩種交通工具中選一個.

師：怎樣計數(shù)?

生2：把兩類交通工具數(shù)相加即可，5+3=8.

師：分析的不錯，請坐!這里呢有兩類方法都可以獨立完成從北京到武漢這件事，咱們將方法數(shù)相加就得到了這個問題的答案.

問題2 參觀完首義園后，小斌還有一天的時間自己安排，他準(zhǔn)備去武昌或漢口的一處景點旅游，武昌可以去“東湖”、“黃鶴樓”、“楚河漢街”“馬鞍山森林公園”四個景點，而漢口可以去“江灘”、“極地海洋世界”、“武漢科技館”三個景點，請問他共有多少種選擇?請哪位同學(xué)按照咱們剛才的方法詳細(xì)分析一下

生3：他要從武昌或漢口的景點中選擇一個，所以把兩類景點數(shù)相加得到7.

師：分析的非常好.

師：其實，提出問題比解決問題更難能可貴，我們大家思考一下，能否舉一些生活中類似的例子嗎?

生4：我家附近有2家肯德基，5家麥當(dāng)勞，3家必勝客，我中午要選擇一家去吃飯，所以一共有10種選擇.

生5：我早上到學(xué)校那個時間段有3趟輕軌，5趟中巴，我上學(xué)有8種方法.

師：很好，剛剛我們研究的這些問題雖然簡單，但體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中的一個原理，拋開其實際意義，我們能否尋求共性，抽象出一個命題呢?大家可以討論一下.誰能試著分析一下：

生6：這些例子都是計數(shù)問題，即需要完成一件事，計算其方法數(shù)，都有幾類方案可以選擇，都用加法運算.

師：很好!你的抽象概括能力很強(qiáng).你能把它敘述為一個數(shù)學(xué)命題嗎?

生7：完成一件事有m類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法，……，在第m類方案中有nm種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1+n2+…+nm種不同的方法.

師：很好，這就是我們今天要認(rèn)識的第一種計數(shù)原理.

師：原理是指在大量的觀察、實踐的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出的具有普遍意義的基本規(guī)律，一般無須證明.

我們看到：在這個原理中，大家要注意：“完成一件事”，“分類”，“加法”幾個關(guān)鍵詞.這個原理淺顯易懂，關(guān)鍵能夠靈活應(yīng)用.

師：我們繼續(xù)來看小斌的行程：

問題3 現(xiàn)在小斌的行程略有改變，去武漢前，他必須先到天津一趟，當(dāng)天從北京去天津有6種方式，再從天津到武漢有3種方式，那么他從北京轉(zhuǎn)天津到武漢共有多少種方式?

生8：18 種.

師：談?wù)勀愕南敕?

生10：我覺得還可以這樣考慮：我們要完成一件事是從北京轉(zhuǎn)天津到武漢，那么我先選北京到天津有6種方法，再選從天津到武漢有3種方法，所以共有6×3=18.

師：為什么是乘法呢?

生10：如果把北京去武漢的六種方式分別記為a1、a2、a3、a4、a5、a6，而天津到武漢的三種方式分別記為 b1、b2、b3，當(dāng)我們北京到天津選擇方式a1，那天津到武漢有b1、b2、b3三種，若選擇 a2或 a3或 a4等等天津到武漢也還是有三種，所以應(yīng)該用乘法.

師：這位同學(xué)的分析很經(jīng)典.

師：你們能舉一些生活中類似的例子嗎?

生11：我還是舉那個吃快餐問題.我家附近有2家肯德基，5家麥當(dāng)勞，我中午去肯德基、下午去麥當(dāng)勞，一共有10種選擇.

生12：搭配衣服，我上衣有5件，褲子有3條，共有15種搭配.

師：大家舉的例子漂亮極了!我相信大家一定能夠?qū)で蠊残?，仿照分類加法計?shù)原理抽象出一個一般命題?

生13：完成一件事有m個步驟，做第1步有n1種不同的方法，做第2步有n2種不同的方法，……，做第m步有nm種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1×n2×…×nm種不同的方法.

師：非常好，這就是我們今天認(rèn)識的第二種計數(shù)原理.在這個原理中，我們要注意：“完成一件事”，“分步”，“乘法”幾個關(guān)鍵詞.步與步之間要相互依存，分步要做到“步驟完整”，從剛才的討論可以看出，只有每一步都連續(xù)完成，這件事才宣告完成.

師：剛才我們學(xué)習(xí)了兩種計數(shù)原理，這兩種計數(shù)原理分別是分類和分步.原理本身淺顯易懂，關(guān)鍵能夠靈活應(yīng)用.其實以前大家可能就能夠不自覺的使用，希望以后在用原理解決問題時，要清楚的用原理表達(dá)，完成一件什么事?怎么完成?是分步還是分類?下面我來看一個例題：

例1 書架的第一層放有4本不同的計算機(jī)書，第二層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架的第1、2、3層各取一本書，有幾種不同的取法?

(3)從書架上取2本不同種類的書，有多少種不同的取法?

生14：(1)要完成從書架中取出1本書這件事，我分三類，即取出計算機(jī)書或文藝書或體育書，由分類加法計數(shù)原理，有4+3+2=9種不同的取法

生15：(2)要完成從書架中第1，2，3層各取一本書的這件事，我分三步：先取一本計算機(jī)書，再取一本文藝書，最后取一本體育書，由分步乘法計數(shù)原理，有4×3×2=24種不同的取法

學(xué)生討論填充表格.總結(jié)歸納兩個原理的區(qū)別和聯(lián)系

生16：(3)要完成從書架中任取2本不同學(xué)科的書這件事，先分三類：一本計算機(jī)書和一本文藝書，一本文藝書和一本體育書，一本體育書和一本計算機(jī)書，第一類又分為兩步，先取一本計算機(jī)書，再取一本文藝書，這樣共有4×3+4×2+3×2=26 種不同的取法

師：大家可以看到，這個問題就是一個先分類再分步的問題，那么還有沒有不同的做法呢?

生17：我覺得還可以分兩類，第一類兩本書中有計算機(jī)書，第二類兩本書中沒有計算機(jī)書，即有 4 × (3 +2)+3×2=26種不同的取法.

師：兩位同學(xué)都回答正確.其實很多問題都存在不同的分類方法，但大家需要注意的是每一種分類都需要做到“不重不漏”，既不能重復(fù)也不能遺漏，這也是分類討論的數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵點.

師：還記得課前那個小伙子提出的問題嗎?我們現(xiàn)在能夠解決了嗎?

引例 鄂A后的五位數(shù)中，第一位表示車輛所在區(qū)域：漢口三個老城區(qū)中江岸可用“1”、“A”、“H”;江漢可用“2”、“B”、“P”;硚口可用“3”、“C”，接下來的兩位數(shù)可以在0-9十個數(shù)字以及A到Z二十六個大寫字母中任意選取，最后的兩個數(shù)則只能在0-9的數(shù)字中選取，漢口的三個老城區(qū)最多能派發(fā)多少牌照?

生18：這個問題分為3類，江岸有3×36×36×10×10種，江漢也有3×36×36×10×10 種，硚口則有 2×36×36×10×10 種

生19：這個問題可以分為5步：第一步可以有8種選擇，第二步可以有36種選擇，第三步可以有36種選擇，第四步可以有10種選擇，第五步可以有10種選擇，所以共有8×36×36×10×10.

師：兩位同學(xué)選擇了不同的方式，都非常好的解決了這個問題，其實可發(fā)牌照總數(shù)共有1036800種.如果以后車更多了，牌照真的不夠了，怎么解決?

生：增加一位數(shù)，或是后兩位也可以使用字母.

師：沒錯，所以以后我們也許能看到5個X連號的牌照了，很有意思吧?

師：下面我們來作一個搶答練習(xí)，同學(xué)們根據(jù)性別分為兩類，看看誰會贏?

搶答練習(xí)1 一件工作可以用兩種方法完成，有5人只會用第一種方法完成，另4人只會用第二種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同方法的種數(shù)有多少?

男生1：這個問題可以分兩類，用分類加法計數(shù)原理：5+4=9.

師：男生先拔頭籌，先得10分.

搶答練習(xí)2 從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同的線路有多少條?

女生1：這個問題是分為兩步，利用分步乘法計數(shù)原理：3×2=6.

師：好，女生追平得分

搶答練習(xí)3 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左，右兩邊的墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法?

男生2：這個問題可以分為三類：甲不選，乙丙左右掛兩種;乙不選，甲丙左右掛兩種;丙不選，甲乙左右掛兩種，共6種方式.

男生3：這個問題可以分為兩步：第一步左邊從甲乙丙中選一幅掛有3種，第二步右邊從剩下的2種里選擇，所以一共有6種方式.

師：這兩種方案都能夠成功的解決這個問題，不過都是男生得到的，那么再給男生加10分.

搶答練習(xí)4 某藝術(shù)組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴與會小號的各1人，有多少種不同的選法?

女生2：首先在會鋼琴的7人中選一個，然后再在會小號的3人中選一個，有21種.

師：有沒有注意藝術(shù)組只有9人?

女生2：那就是有一個人即會鋼琴又會小號.

師：那你剛才考慮的對嗎?

女生2：哦，把這個人在兩邊同時入選的情況減掉，應(yīng)該21-1=20.

師：很好，那還有沒有其它方式?

男生4：可以把這個事情分為兩類：那個兩個都會的多面手入選或是他不入選，第一類有6×2=12，第二類有6+2-8種，所以共有20種.

師：沒錯兩種方案都很棒，男女生各加10分，恭喜男生今天的表現(xiàn)略勝一籌.下面大家看到的是一個高考題，我們看看經(jīng)過今天的學(xué)習(xí)，大家能否解決?

思考題 現(xiàn)有六種不同顏料給右圖涂色，要求兩相鄰區(qū)間不同色，共有多少種涂色方式?

生20：這個問題可以使用分步計數(shù)原理：第一步涂A有6種選擇，第二步涂B有5種選擇，第三步涂D有4種選擇，第四步涂D有4種選擇.所以有6×5×4×4=480種不同的涂色方案.

師：有沒有同學(xué)有不同的方式?

師：剛才這位同學(xué)在涂色步驟使用的是A-B-D-C，這是一種很好的步驟選擇.如果先涂C再涂D，大家是不是就會有疑惑D有多少種方法?不知道A、C區(qū)域顏色是否相同吧?

生21：所以這個問題可以分類解決：AC同色，第一步涂AC，共有6種，第二步涂B有5種，第三步涂D有4種，有6×5×4=120;AC 不同色，第一步涂A，有6種，第二步涂C，有5種，第三步涂B有4種，第三步涂D有3種，有6×5×4×3=360;所以總共有480 種.

師：這種方案進(jìn)行了一個合理的分類，也非常成功的解決了問題.

反思小結(jié)、思想升華

并計算其方法數(shù)區(qū)別一 完成一件事情共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”分類加法計數(shù)原理 分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系 都需要完成一件事，完成一件事情，共分n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二 每類方案中的每種方法都能獨立完成這件事情.只有每個步驟完成了，才能完成這件事情.區(qū)別三 各類辦法相互獨立 各個步驟相互依存

師：我們把引例改一下，假設(shè)武漢牌照的選號方式發(fā)生改變：鄂A后的五位數(shù)都可以在0-9十個數(shù)字以及A到Z二十六個大寫字母中任意選取，但五個數(shù)的數(shù)字和字母不能重復(fù)，則可以表示多少不同的機(jī)動車牌照?

生22：可以通過分步計數(shù)原理，第一步36種，第二步35種，第三步34種，第四步33種，第五步32種，共有36×35×34×33×32×31 種方式.

師：分步計數(shù)原理學(xué)得非常好，大家想不想有更簡單的模型解決這類問題呢?我們將在下一節(jié)課中研究這種更簡單的模型呢.同學(xué)們，經(jīng)過這節(jié)課，我們可以看到，細(xì)微的生活中總是蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想，在利用數(shù)學(xué)工具研究繽紛多彩的世界過程中，我們可以充分的享受這無限的樂趣，或許這就是數(shù)學(xué)的魅力!最后預(yù)祝大家都能學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)!

20111127)