謝莉余勝

（湖南人文科技學(xué)院物理與信息工程系 湖南 婁底 417000）

0 引言

由攝像機拍攝的圖像信息出發(fā)計算三維物體的幾何信息，實現(xiàn)物體的三維結(jié)構(gòu)重建是計算機視覺的基本任務(wù)之一[1]。攝像機標(biāo)定是指建立空間物體表面某點三維幾何位置與圖像中對應(yīng)點位置之間的關(guān)系。攝像機標(biāo)定問題涉及到兩組參數(shù)：用于剛體變換時，相對于世界坐標(biāo)系的攝像機坐標(biāo)的三維位置和方向的外部參數(shù)；攝像機自身所擁有的內(nèi)部參數(shù)是指攝像機的內(nèi)部光學(xué)和幾何特性，包括圖像中心、焦距、鏡頭畸變等。

1 攝像機模型和成像原理

1.1 圖像坐標(biāo)系

通過攝像機獲取的圖像在計算機中是以數(shù)組形式存儲，數(shù)組中的每個元素（像素）值稱為圖像點的亮度。如圖1所示，在圖像中定義坐標(biāo)系u-v，每一個像素點均有唯一坐標(biāo)u-v來表示像素所在的行數(shù)和列數(shù)。即u-v是以像素為單位的圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)。由于直角坐標(biāo)系u-v只表示了數(shù)字圖像中像素所處的行數(shù)和列數(shù)，而沒有用物理單位表示出該像素在圖像中的位置。因此，需要再建立以物理單位（如毫米）表示的坐標(biāo)系x-y，（x，y）表示以毫米為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

在x-y坐標(biāo)系中，原點O1定義在攝像機光軸與圖像平面的交點處，稱為圖像平面的主點(principal point)，理論上它應(yīng)在圖像的中心位置，但是由于制作工藝方面的原因，一般也會有些偏差。設(shè)O1在u-v坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（u0，v0），每一個像素在x軸和y軸方向上的物理尺寸大小為dx，dy，則在圖像中每一個像素在兩個坐標(biāo)系下的坐標(biāo)有以下關(guān)系：

其中γ′為斜度因子，表示u軸和v軸的不垂直程度。理想情況下u軸和v軸相互垂直，即γ′等于0。

1.2 攝像機坐標(biāo)系

圖2所示為攝像機成像的幾何關(guān)系。其中點O稱為攝像機光心，Xc軸和Yc軸分別與圖像的x軸與y軸平行，Zc軸為攝像機的光軸，它與成像平面垂直。光軸和圖像平面的交點，即為圖像坐標(biāo)系的原點。由光心O與Xc，Yc和Zc軸組成的坐標(biāo)系稱為攝像機坐標(biāo)系。攝像機焦距為OO1。

1.3 世界坐標(biāo)系

在我們所處的真實環(huán)境中，還需選擇一個參考坐標(biāo)系來描述三維空間中物體之間的位置關(guān)系，稱之為世界坐標(biāo)系。攝像機坐標(biāo)系和世界坐標(biāo)系可以通過旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量t來描述，空間點A在世界坐標(biāo)系與攝像機坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)分別為：（Xw，Yw，Zw，1）T、（Xc，Yc，Zc，1）T，那么將有如下關(guān)系：

其中，R為 3×3正交旋轉(zhuǎn)矩陣；t為三維平移向量；0=（0，0，0）T；M 是 4×4 矩陣，為兩個坐標(biāo)系之間的變換矩陣。

1.4 針孔攝像機模型

在計算機視覺中，場景中的空間點與其在圖像中的成像點之間的相互關(guān)系，是由攝像機成像幾何模型來確定的。

針孔模型的物理意義相當(dāng)于薄透鏡成像，該模型最大的優(yōu)點是成像關(guān)系是線性的。它簡單實用，其準(zhǔn)確度高，在計算機視覺中廣泛使用。如圖2所示，三維空間中任意一點A在圖像上的成像位置可用針孔模型來近似表示，即圖像點a是空間點A和光心O的連線與成像平面的交點。由比例關(guān)系有如下關(guān)系式：

其中，（x，y）是 a 點的圖像坐標(biāo)，（Xc，Yc，Zc）為空間點 A在攝像機坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。用齊次坐標(biāo)與矩陣可表示為：

把式（1）、（2）代入式（4）中，可以得到圖像坐標(biāo)與世界坐標(biāo)之間的關(guān)系：

其中，α＝f/dx，β＝f/dy，γ=γ′f；H′是 3×4 矩陣， 稱為投影矩陣； H1僅由 α，β，γ，u0，v0決定，因為 α，β，γ，u0，v0僅與攝像機內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān)系，所以稱這些參數(shù)為攝像機內(nèi)部參數(shù)；H2僅由攝像機相對于世界坐標(biāo)系的方位決定，稱為攝像機外部參數(shù)。

由此可知，攝像機標(biāo)定的過程也就是求解攝像機外部參數(shù)和內(nèi)部參數(shù)的過程。

2 兩種攝像機標(biāo)定算法

圖1 圖像坐標(biāo)系

圖2 圖像坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系

圖3 標(biāo)定圖像圖

圖4 角點提取

2.1 Tsai兩步法

Tsail[2]提出用兩步法對攝像機進行標(biāo)定，首先利用直接線性變換方法或者透視變換矩陣方法求解攝像機參數(shù)，再用求得的參數(shù)作為初始值，考慮徑向畸變因素，并利用最優(yōu)化算法進一步提高標(biāo)定精度。在其標(biāo)定算法中，CCD陣列中感光元的縱向和橫向間距假定是己知的，具體數(shù)值由攝像機廠家提供。所假設(shè)的內(nèi)、外部參數(shù)分別是：（1）f等效焦距；（2）k鏡頭畸變參數(shù)；（3）Sx非確定性尺度因子，它是由攝像機橫向掃描與采樣定時誤差引起的；（4）（cx，cy）圖像中心或主點；（5）R，T 三維空間坐標(biāo)系與攝像機坐標(biāo)系之問的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量。但Tsai兩步法只考慮了徑向畸變，沒有考慮切向畸變,這與實際情況有較大的偏離，限制了標(biāo)定精度的進一步提高。

2.2 張正友標(biāo)定算法

由于傳統(tǒng)標(biāo)定方法需要價格昂貴的高精度標(biāo)定設(shè)備，張正友在1999年提取了一種簡單、靈活、實用的攝像機標(biāo)定方法[3]。該方法只需要攝像機對一標(biāo)定板在不同方向進行拍照，攝像機與標(biāo)定板間可以自由地移動，運動的參數(shù)無需已知，對每個視點獲得圖像，提取圖像上網(wǎng)格的角點；標(biāo)定板與圖像的網(wǎng)格角點對應(yīng)關(guān)系，確定了單應(yīng)性矩陣，對每幅圖像,就可確定一個單應(yīng)性矩陣，這樣就能夠進行攝像機定標(biāo)。該算法先有一個線性解法,然后基于極大似然準(zhǔn)則對線性結(jié)果進行非線性優(yōu)化求精，而標(biāo)定板的運動方式不必知道。通過對2D信息的提取計算來得到最終的結(jié)果。

3 實驗結(jié)果

本文所標(biāo)定相機型號為三星S860，選用7×10棋盤格式的標(biāo)定紙，每一方格的寬度為23mm，用相機從不同角度獲取12幅圖像(653×490)。本文采用文獻[4]提供的MATLAB工具箱實現(xiàn)張正友標(biāo)定算法。圖3顯示了拍攝的12幅棋盤圖像，圖4為其中一幅標(biāo)定圖像的角點提取情況。

實驗結(jié)果所得到的攝像機內(nèi)部參數(shù)為：焦距：[219.06267,229.50868]，主點：[326.00000，244.50000]。

畸變：[-1.94496，1.04910，-0.03290，-0.20754，0.00000]±[0.49090，2.75113，0.01008，0.09371，0.00000]。

斜度因子：0。

4 結(jié)論

本文分析了攝像機的模型和成像原理，對比分析了張正友標(biāo)定方法和Tsai兩步法的標(biāo)定原理。通過MATLAB工具箱所做標(biāo)定實驗驗證了張正友標(biāo)定法是一種簡單、易于實現(xiàn)的且有較高精度的攝像機標(biāo)定方法。

［1］Yong J Y,Qi D Z.Camera Calibration in Binocular Stereo Vision of Moving Robot[C].The sixth world congress on intelligent control and automation,Dalian,China,2006:9257－9621.

［2］Tsai R Y.A versatile camera calibration technique for high accuracy 3D machine vision metrology using off-the-shelf TV camera and lenses[J].IEEE journal of robotics and automation,1987,3(4):323－344.

［3］Zhang Z Y.A flexible new technique for camera calibration[J].IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence,2000,22(11):1330－1334.

［4］Jean Y B.Camera Calibration Toolbox for Matlab [EB/OL].［2009-12-28］ （2008-6-2）.http://www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib_doc/index.html#examples.