魏飛，楊震

（南京郵電大學(xué) 寬帶無(wú)線通信與傳感網(wǎng)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210003）

1 引言

可分配頻譜資源的短缺以及已分配頻譜利用率偏低的差異現(xiàn)狀已成為制約無(wú)線通信發(fā)展的瓶頸。認(rèn)知無(wú)線電[1]技術(shù)通過(guò)認(rèn)知無(wú)線電（CR, cognitive radio）用戶或稱為次用戶（SU, secondary user）與主用戶（PU, primary user）共享頻譜資源的方式來(lái)最大化頻譜利用率，作為一種解決頻譜資源短缺困境的有效技術(shù)手段正受到廣泛的研究。在CR場(chǎng)景中，CR用戶通?？刹捎没陬l譜空洞（spectrum hole）或干擾溫度約束的方式與PU共享頻譜資源，前者通過(guò)檢測(cè)PU的活動(dòng)性，當(dāng)發(fā)現(xiàn)PU處于靜默狀態(tài)時(shí)（即PU不在通信）接入PU的空閑頻譜，后者則是一種與PU同時(shí)共存的方式，通過(guò)使得所有CR用戶對(duì)PU接收端的疊加干擾限制在PU的干擾門限內(nèi)，在保證PU正常通信的前提下與PU共享頻譜。

近年來(lái)，CR研究從最初的在時(shí)域與頻域與PU共存拓展到空間域，主要集中在滿足給定的PU干擾溫度約束的條件下如何給 SU分配資源（如發(fā)送功率以及空間方向選擇）以優(yōu)化 CR系統(tǒng)的某種性能度量[2～7]。文獻(xiàn)[2]研究了如何設(shè)計(jì)發(fā)送協(xié)方差矩陣使得單個(gè)MIMO CR用戶獲得的信息速率最大；文獻(xiàn)[3]研究了單個(gè)MIMO CR用戶在完全獲取、部分獲取以及無(wú)法獲取其與 PU接收端信道狀態(tài)信息時(shí)最大化信干噪聲比(SINR,signal-to-interference- plus-noise ratio)的波束賦形問(wèn)題；文獻(xiàn)[4]研究了多用戶CR構(gòu)成的多址接入信道(MAC, multiple access channel)中最大化加權(quán)速率和的最優(yōu)功率分配問(wèn)題；文獻(xiàn)[5]研究了在使用零強(qiáng)制的決策反饋均衡器的情況下，多用戶 CR構(gòu)成的SIMO MAC中的速率和最大化以及SINR平衡問(wèn)題，提出了聯(lián)合波束賦形和功率分配算法；文獻(xiàn)[6]研究了在CR非完美獲取其與PU接收端信道狀態(tài)信息時(shí)，最大化多用戶MISO CR系統(tǒng)中的最小SINR的強(qiáng)健波束賦形設(shè)計(jì)問(wèn)題；文獻(xiàn)[7]研究了多用戶 CR系統(tǒng)構(gòu)成的廣播信道(BC,broadcast channel)中使得加權(quán)速率和最大的最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣設(shè)計(jì)問(wèn)題。

然而，據(jù)本文作者所知，迄今為止尚未有文獻(xiàn)研究如何設(shè)計(jì) CR發(fā)送協(xié)方差矩陣以使得多用戶CR構(gòu)成的 MIMO MAC的速率和最大，即認(rèn)知MIMO MAC的速率和最大化問(wèn)題。雖然傳統(tǒng)無(wú)線環(huán)境下的MIMO MAC已被充分研究，如在文獻(xiàn)[8]中，Wei Yu等提出一種迭代注水算法用于求解MIMO MAC的速率和最大時(shí)的最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。然而，由于缺乏對(duì)PU接收端疊加干擾的控制，已有算法無(wú)法確保滿足PU干擾溫度約束，因而不適用于CR系統(tǒng)。同時(shí)，由于文獻(xiàn)[8]中的算法只適用于含有一個(gè)與發(fā)送協(xié)方差矩陣相關(guān)的約束條件的情況（即單用戶最大發(fā)送功率約束），這使得文獻(xiàn)[8]中的算法無(wú)法直接應(yīng)用于受發(fā)送功率與干擾溫度雙重約束的CR系統(tǒng)。

本文研究了認(rèn)知MIMO MAC的速率和最大化問(wèn)題，其主要內(nèi)容及創(chuàng)新處如下：本文將認(rèn)知MIMO MAC速率和最大化問(wèn)題表示為一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)部分對(duì)偶分解[9]松弛干擾溫度約束，將原始凸優(yōu)化問(wèn)題分解為相互聯(lián)系的2個(gè)子問(wèn)題。文中提出一種迭代算法，通過(guò)交替進(jìn)行對(duì)偶變量更新與順序迭代注水運(yùn)算求解分解后的子問(wèn)題，從而得到使得速率和最大的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。最后通過(guò)仿真展示算法的有效性與快速收斂特性，以及PU干擾溫度約束對(duì)認(rèn)知MIMO MAC信道的最大速率和的影響。

2 系統(tǒng)模型與問(wèn)題表述

2.1 系統(tǒng)模型

圖1 SU與PU共享頻譜場(chǎng)景圖

圖2所示的是上述頻譜共享場(chǎng)景所對(duì)應(yīng)的認(rèn)知MIMO MAC信道模型，簡(jiǎn)單起見(jiàn)，圖中僅示出SU發(fā)送端與第j個(gè) PU接收端之間的信道?；谏鲜鲂诺滥Ｐ?，SU共同接收端接收到的信號(hào)向量可表示為

其中，SUi的發(fā)送協(xié)方差矩陣Qi被定義為Qi，Rn被定義為， E{·} 表示取均值；為階單位矩陣。同時(shí)，SU發(fā)送信號(hào)會(huì)對(duì)PU接收端造成干擾，PU接收端j接收到的SU的干擾信號(hào)可表示為

圖2 認(rèn)知MIMO MAC模型

2.2 問(wèn)題表述

每個(gè) SU發(fā)送信號(hào)時(shí)會(huì)受到自身發(fā)送功率約束，第i個(gè) SU的發(fā)送協(xié)方差矩陣構(gòu)成的集合Qi可表示為

在認(rèn)知MIMO MAC中，為不影響PU的正常通信活動(dòng)，SU在選擇發(fā)送協(xié)方差矩陣時(shí)需使PU接收到的SU干擾信號(hào)的疊加功率小于一給定值，即PU干擾溫度約束，如式(5)所示。

在給定發(fā)送功率約束與PU干擾溫度約束下，本文研究的認(rèn)知MIMO MAC速率和最大化問(wèn)題可表述為

顯然， r (Q1,… ,QL)為發(fā)送協(xié)方差矩陣的凹函數(shù)，上述問(wèn)題為凸優(yōu)化問(wèn)題。如不考慮上式中的干擾溫度約束，式(6)則為傳統(tǒng)MIMO MAC速率和最大化問(wèn)題，這樣的問(wèn)題可由多個(gè)用戶按順序依次進(jìn)行迭代注水[8]來(lái)求解。然而干擾溫度約束的存在使得各 SU的發(fā)送協(xié)方差矩陣互相耦合，這使得文獻(xiàn)[8]中的算法無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單地拓展應(yīng)用于 CR系統(tǒng)。下面首先通過(guò)部分對(duì)偶分解[9]來(lái)去除干擾溫度約束的影響。

3 部分對(duì)偶分解

對(duì)式(6)中的原始問(wèn)題進(jìn)行部分對(duì)偶分解，松弛PU干擾溫度約束，可得到Lagrange函數(shù)為

其中，sup表示上確界。

由于原始優(yōu)化問(wèn)題(式(6))中目標(biāo)函數(shù)為凹函數(shù)，且干擾溫度約束是線性不等式約束，因而強(qiáng)對(duì)偶性存在的條件滿足，由強(qiáng)對(duì)偶性定理[11]，式(6)等價(jià)于Lagrange對(duì)偶問(wèn)題如下

可以看出，通過(guò)以上部分對(duì)偶分解，原始優(yōu)化問(wèn)題被分解為2個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，即子問(wèn)題(式(8))以及式(9)。由 φ ( λ)是關(guān)于λ的仿射函數(shù)族的點(diǎn)式上確界，可知 φ ( λ)是λ的凸函數(shù)，從而子問(wèn)題(9)總是存在唯一的最優(yōu)解。當(dāng)子問(wèn)題(式(9))的最優(yōu)解λ*被確定后，使得子問(wèn)題(式(8))中值最大的即為取得最大速率和的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣，且此時(shí)。

4 算法

4.1 求解子問(wèn)題(式(8))

首先，需要研究在給定任意λ值時(shí)如何求解子問(wèn)題(式(8))，顯然子問(wèn)題(式(8))即為以下的優(yōu)化問(wèn)題：

觀察到優(yōu)化問(wèn)題(式(10))類似于傳統(tǒng)MIMO MAC速率和最大化問(wèn)題[8]，不同之處在于目標(biāo)函數(shù)帶有一個(gè)與λ有關(guān)的附加項(xiàng)，因而本文使用與求解傳統(tǒng)MIMO MAC最大速率和類似的方法：首先令Q1之外的其他{Qi}i≠1為常量，優(yōu)化Q1，然后令Q2之外的其他{Qi}i≠2為常量，優(yōu)化Q2，以此類推循環(huán)優(yōu)化其中的單個(gè)變量，直至達(dá)到問(wèn)題的全局最優(yōu)解。因此，優(yōu)化問(wèn)題(式(10))等價(jià)于所有SU分別按順序求解下面的凸優(yōu)化問(wèn)題

注意到式(12)中的前兩項(xiàng)為與Ql無(wú)關(guān)的常量，所以，對(duì)任意給定的對(duì)偶變量λ，優(yōu)化問(wèn)題(式(11))等價(jià)于

由于優(yōu)化問(wèn)題(式(13))是凸優(yōu)化問(wèn)題，因而其最優(yōu)解的充分必要條件即為KKT（karush-kuhntucker）條件，給出如下：

其中，lμ與Ψl分別為對(duì)應(yīng)于最大發(fā)送功率約束以及正半定發(fā)送協(xié)方差矩陣約束的對(duì)偶變量。

由KKT條件可知優(yōu)化問(wèn)題(式(13))的最優(yōu)解Ql可通過(guò)以下的注水運(yùn)算求解：

其中，μl的選擇需使式Tr{Ql}≤成立，Ψl的選擇需使Ql0。由于式(17)中的計(jì)算需要確定2個(gè)對(duì)偶變量μl以及Ψl，同時(shí)Ψl還是矩陣變量，這使得通過(guò)式(17)計(jì)算最優(yōu)解幾乎不可能。但利用Ql0等價(jià)于Ql的所有特征值非負(fù)的性質(zhì)，可將式(17)等價(jià)于以下更具有實(shí)際操作意義的運(yùn)算符：

算法1所示的是求解子問(wèn)題(式(8))的順序迭代注水算法的主要步驟。由于算法1中的迭代注水總是使得子問(wèn)題(式(8))中的目標(biāo)函數(shù)值單調(diào)非遞減，而子問(wèn)題(式(8))中的目標(biāo)函數(shù)具有上界且是凹的，因而算法1總是能夠收斂到唯一最優(yōu)解。

算法1 順序迭代注水。

步驟1 初始化迭代指數(shù)k1=0；

步驟2 所有SU按下式更新發(fā)送協(xié)方差矩陣

其中，式(19)中的注水運(yùn)算WF(·)見(jiàn)式(18)，mod表示模運(yùn)算；

步驟3 若滿足停止條件，k1←k1+1停止并輸出

步驟4 設(shè)置，返回步驟2。

4.2 求解子問(wèn)題(式(9))

由于子問(wèn)題(式(9))中的目標(biāo)函數(shù)φ( )λ是不可微的，這使得一些基于梯度的方法（如最速下降法、牛頓法）無(wú)法應(yīng)用于求解φ( )λ的極值，因而本文使用基于次梯度的方法。首先需要確定函數(shù)φ( )λ的次梯度，對(duì)于函數(shù)φ( )λ的次梯度，有如下命題成立

由式(21)減去式(20)易知：

而對(duì)于凸函數(shù)φ( )λ，向量d為其在λ點(diǎn)處的次梯度[11]，如d滿足以下的不等式：

最后，比較式(22)和式(23)易知命題成立。

證畢。

算法2中所示的是基于次梯度投影法[12（]projected subgradient method）的對(duì)偶變量λ更新算法的主要步驟。文獻(xiàn)[12]中證明了次梯度投影法能夠收斂到最優(yōu)解，由于φ( λ)是凸函數(shù)，因而算法2總是能夠收斂到唯一最優(yōu)對(duì)偶變量。當(dāng)最優(yōu)對(duì)偶變量λ*被取得后，其相應(yīng)的(λ*)，i=1,2,…,K即為所求的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。

算法2 對(duì)偶變量更新。

步驟1 選擇任意λ(0)≥0，(λ(0))∈Qi，i=1,…,L，初始化迭代指數(shù)k2=0；

步驟3 按下式更新對(duì)偶變量。

其中，α(k2+1)為第k2+1次迭代的步長(zhǎng)；

步驟5 設(shè)置k2←k2+1，返回步驟2。

5 仿真結(jié)果

本節(jié)通過(guò)MATLAB數(shù)值仿真展示本文算法的有效性。仿真中使用的認(rèn)知無(wú)線場(chǎng)景包含有4個(gè)2天線SU發(fā)送端與一個(gè)2天線SU公共接收端以及1個(gè)單天線PU接收端。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)置各個(gè)SU發(fā)送端與SU接收端的距離相等為dss，各個(gè)SU發(fā)送端與PU接收端的距離相等為dps。仿真中所使用的隨機(jī)信道系數(shù)為0均值單位方差循環(huán)對(duì)稱復(fù)高斯的，如表1所示；SU共同接收端的復(fù)高斯噪聲向量n是0均值、方差的，簡(jiǎn)單起見(jiàn)，歸一化=1，設(shè)置SU的發(fā)送功率相等為P；路徑損耗系數(shù)設(shè)置為γ注1注1 經(jīng)過(guò)路徑損耗后的信道系數(shù)可表示為Hi=，Gji=， ?i=1,2,…,L ，j=1,2,…,M 。注2 設(shè)定干擾門限為2倍與4倍。初始化算法參數(shù)λ(0)=0，(0)=0。

圖3中所示的是在表1中的信道系數(shù)下經(jīng)典算法與本文算法取得的速率和以及對(duì)PU的疊加干擾隨迭代次數(shù)的變化過(guò)程，干擾門限分別設(shè)置為Pint=2與Pint=4注2注1 經(jīng)過(guò)路徑損耗后的信道系數(shù)可表示為Hi=，Gji=， ?i=1,2,…,L ，j=1,2,…,M 。注2 設(shè)定干擾門限為2倍與4倍。從圖中可以看出，相對(duì)于經(jīng)典算法，本文算法能夠很好地控制SU對(duì)PU的疊加干擾，滿足PU的干擾溫度約束，同時(shí)，由于要滿足PU干擾溫度約束，本文算法收斂到最優(yōu)解所需的迭代次數(shù)有所增加，但仍然具有較快的收斂速度。

表1 信道系數(shù)

表2 最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣（ P/=10dB，dss=1，dps=2，γ=2.5）

表2 最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣（ P/=10dB，dss=1，dps=2，γ=2.5）

?

圖2 算法收斂過(guò)程（ P/=10dB，dss=1，dps=2，γ=2.5）

表2所示是上面的仿真中最后得到的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。注意到相對(duì)于無(wú)干擾溫度約束時(shí)，在 Pint為2以及4時(shí)，SU3的最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣Q3=0。對(duì)任一SU來(lái)說(shuō)，理想的信道狀況指的是它到SU接收端之間的信道傳輸特性好而到PU接收端間的信道傳輸特性差。SU3的信道狀況差于其他 3個(gè)SU，因而相對(duì)于其他SU，SU3在對(duì)PU產(chǎn)生單位干擾時(shí)能夠給CR系統(tǒng)提供的信息速率是最小的，因而從系統(tǒng)速率和最大的角度出發(fā)，只有在其他 3個(gè) PU都已滿功率傳輸且疊加干擾仍小于干擾門限時(shí)才會(huì)考慮SU3，而由表2中可知，Q1的主對(duì)角元素之和小于發(fā)送功率10，SU1尚未滿功率傳輸而此時(shí)疊加干擾就已達(dá)到干擾門限，因而SU3選擇不發(fā)送任何信號(hào)。同時(shí)從表中可以看出，隨著intP 的上升，SU1能夠使用的發(fā)送功率也在增大。

圖4中所示是給定不同的PU干擾門限時(shí)，認(rèn)知MIMO MAC的最大速率和隨SU收發(fā)端的距離的變化曲線圖，同樣使用了表1中信道系數(shù)。從圖中可以看出，隨著干擾門限intP 的不斷增大，認(rèn)知MIMO MAC的速率和不斷逼近沒(méi)有干擾門限限制的傳統(tǒng)MIMO MAC的最大速率和。在干擾門限增大至Pint=12時(shí)，由于此時(shí)PU干擾溫度約束失效（由圖3(b)中經(jīng)典算法對(duì)PU產(chǎn)生的疊加干擾小于 Pint=12可知），從而認(rèn)知MIMO MAC與傳統(tǒng)MIMO MAC的最大速率和相等。

圖4 不同干擾門限下的速率和vs.dss（ P/=10dB，dps=2，γ=2.5）

6 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了發(fā)送功率以及干擾溫度約束下的認(rèn)知MIMO MAC的速率和最大化問(wèn)題,提出了一種迭代注水算法求解使得速率和最大的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。仿真結(jié)果表明本文算法具有快速收斂的特點(diǎn)且很好地滿足了干擾溫度約束，能夠適用于認(rèn)知無(wú)線電環(huán)境。

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