沈雷，王海泉，趙知勁，孫閩紅

(1. 杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2. 浙江省綜合信息網(wǎng)技術(shù)重點實驗室，浙江 杭州 310027)

1 引言

在認(rèn)知無線電系統(tǒng)中，非授權(quán)用戶在頻譜空閑的時候使用已經(jīng)分配給授權(quán)用戶的頻譜，從而提高了頻譜的使用效率。檢測授權(quán)用戶是否占用頻譜，也就是頻譜檢測，是認(rèn)知無線電系統(tǒng)中的一個重要問題[1]。

目前已有的頻譜檢測方法主要包括基于能量的頻譜檢測法[2～4]、基于循環(huán)譜的檢測法[5,6]和基于Anderson-Darling檢測法[7,8]?；谘h(huán)譜的頻譜檢測法利用已知授權(quán)用戶的調(diào)制信息來提高頻譜檢測的性能，但所需樣本時間長，計算復(fù)雜度高。1967年，H.Urkowitz提出了基于能量的頻譜檢測算法[2]，該方法不需知道授權(quán)用戶的任何先驗知識，近年來被廣泛用到頻譜檢測中[3,4]。

以上敘述的方法，從數(shù)理統(tǒng)計的角度看，都是屬于參數(shù)假設(shè)檢驗的范疇，即根據(jù)隨機變量的某一特定參數(shù)來做假設(shè)檢驗。如果假設(shè)的參數(shù)估計不準(zhǔn)，頻譜檢測的性能下降。例如，如果噪聲方差未知，基于能量的頻譜檢測法性能快速下降[9,10]。

近年來，在文獻[7]中提出了基于擬合優(yōu)度檢驗的頻譜檢測法，可以得到比基于能量的頻譜檢測法更好的性能。其基本頻譜檢測原理是：如果授權(quán)用戶沒有占用頻譜，則非授權(quán)用戶端接收到的信號僅是高斯噪聲, 從而服從零均值、方差為2σ的正態(tài)分布；另一方面，如果授權(quán)用戶占用頻譜，則非授權(quán)用戶接收到的信號由2部分組成, 一是經(jīng)過信道到達接收端的授權(quán)用戶信號, 二是接收端的噪聲，2種信號疊加之后，使得接收到的信號不再服從零均值、方差為2σ的正態(tài)分布?；谶@一事實，頻譜檢測就轉(zhuǎn)換為判斷接收到的采樣信號樣本分布函數(shù)是否符合零均值、方差為2σ的正態(tài)分布函數(shù)。在文獻[7]中通過度量接收到信號的經(jīng)驗分布和零均值、方差為2σ的正態(tài)分布之間的AD距離來判決授權(quán)用戶是否使用頻譜。從上面的分析可知，AD檢測是基于接收信號的整個分布，而非基于某個特征參數(shù)。因此AD檢測性能應(yīng)該優(yōu)于能量檢測，并且不需要任何授權(quán)用戶信號的先驗知識。但遺憾的是這種算法只適合于噪聲方差2σ已知情況，本文的目的是為了解決這個弱點。

為了克服以上的弱點，在文獻[8]中提出了基于t分布的頻譜盲檢測方法。但遺憾的是，只對基于自由度為2和4的t分布頻譜檢測性能進行了分析，并沒有給出對任意自由度 t分布的頻譜盲檢測性能，以及最佳自由度選擇。本文首先提出一種噪聲方差未知時，基于任意自由度t分布的AD檢驗的頻譜檢測算法。假設(shè)接收到的信號樣本有L個，把接收到的L個樣本分成N部分，每個部分有m＝L/N個數(shù)據(jù)，求其樣本的均值和方差，然后求兩者的比，這樣可以得到一個新的序列。從統(tǒng)計學(xué)知識可知，這N個比值可被認(rèn)為是從自由度為m的t分布的隨機變量中獨立得到的N個樣本值。對這N個數(shù)據(jù)進行AD檢測，從而判決信道頻譜是否被占用。應(yīng)該注意到，這種檢測方法并沒有用到噪聲方差?；谏鲜鲈恚疚姆治銎漕l譜檢測性能，并給出了最佳自由度m的選擇。

其次，本文還提出了一種基于特征函數(shù)的盲頻譜檢測方法。由于多元AD檢驗并沒有明確的定義，AD檢測很難推廣到多天線檢測中。特征函數(shù)是分布函數(shù)的傅立葉變換，也能夠完全描述一個信號。特征函數(shù)無論是單元還是多元都給出了明確的定義，很容易推廣到多天線檢測系統(tǒng)中?；谶@種考慮，本文提出通過度量經(jīng)驗特征函數(shù)和已知特征函數(shù)之間的距離，在噪聲方差未知的情況下，判決信道頻譜是否被占用。

本文分析了所提2種頻譜檢測方法在衰落信道下的虛警概率和檢測概率。理論分析和仿真結(jié)果都表明，所提2種算法在噪聲方差未知情況下的頻譜檢測性能，比噪聲方差已知時的AD檢測性能下降1dB左右，但比噪聲方差已知時的能量檢測好3dB以上。在低信噪比或小樣本條件下，所提2種盲頻譜檢測算法相比能量檢測法在性能上的優(yōu)點表現(xiàn)的更明顯。

2 Anderson-Darling頻譜盲檢測原理

為了消除檢測方法對噪聲方差估計的依賴，使得噪聲方差未知時，AD頻譜檢測算法也有效，本文引進t分布。

假設(shè)非授權(quán)用戶采樣了L個樣本，把樣本按先后順序分成了N個不同的部分，m=L/N是每部分的樣本數(shù)。M、N都是大于零的自然數(shù)。本文先對每一部分求其樣本的均值和方差，然后求兩者的比，這樣可以得到一個新的序列：

其中，yi( i=1,2,…,N)服從自由度為m-1的t分布，由文獻[11]可知，自由度為m-1的t分布的概率密度函數(shù)記為

Γ是伽瑪函數(shù)，其累積分布函數(shù)記為G0,m(y),則其值為

如果授權(quán)用戶存在，由于授權(quán)用戶信號的調(diào)制特性以及信道的傳輸特性，非授權(quán)用戶端接收的樣本不再是均值為0，方差為2σ的高斯噪聲。因此m個樣本的均值和方差比yi也不服從自由度為m-1的t分布，從而樣本yi一般不服從分布G0,m(y)?；谶@一事實，認(rèn)知無線電系統(tǒng)中頻譜檢測就可以等價于下列假設(shè)檢驗。

H0：授權(quán)用戶接收樣本是統(tǒng)計獨立的變量，服從分布G0,m(y)。

很顯然，如果H0不成立，樣本yi不服從分布G0,m(y)，表明非授權(quán)端接收到的信號不是均值為0，方差是σ2的高斯噪聲, 從而說明信道中存在授權(quán)用戶信號的傳輸。相反，如果H0是成立的，樣本yi服從分布G0,m(y), 表明非授權(quán)端接收到的信號均值為0，方差是σ2的高斯噪聲，信道中不存在授權(quán)用戶信號的傳輸。

為了對這個假設(shè)進行檢驗，從上面的分析可以知道，引進t分布以后，在m給定情況下，G0,m(y)的分布是已知的，可以用Anderson-Darling檢驗進行檢測。其具體方法如下，首先對所有新的樣本序列按小到大排列，這里假設(shè)y1≤y2≤…≤yN，利用這些樣本，當(dāng)每個部分有m個數(shù)據(jù)時，定義經(jīng)驗分布函數(shù)為GN,m(y)，具體如下：

如果信道中沒有授權(quán)用戶傳輸，那么H0假設(shè)是成立的，由大數(shù)定理，如果N趨向無窮大，GN,m(y)必然趨向于G0,m(y)。如果信道中存在授權(quán)用戶傳輸，那么H0假設(shè)是不成立，即使當(dāng)N趨向無窮大時，GN,m(y)不會趨向于G0,m(y)。

由上面的分析，可以利用GN,m(y)與G0,m(y)之間的差別進行信號頻譜檢測。通常情況下，上述差異的大小是用2個分布之間的距離來度量，如果距離大于某個門限，則假設(shè)H0不成立，信道中存在授權(quán)用戶傳輸；反之，如果距離小于某個門限，則接收假設(shè)H0，認(rèn)為信道中只存在噪聲，不存在授權(quán)用戶信號的傳輸。

在文獻[12]中，AD檢測是基于分布間的距離定義，其具體定義如下：

這里φ(u)=(u(1-u ))-1。式(7)的計算可以簡化為[12]

其中，zi=G0,m(yi),i=1,2,…,N 。為了得到門限值，一般情況下需要的分布函數(shù)。文獻[12]給出了一個當(dāng)N趨向無窮時的漸近分布，具體的分布函數(shù)為

其中， aj=(-1 )jΓ( j + 0 .5)/(Γ(0.5)j!)，對于某個給定的虛警概率α，其門限值t0可由式(10)決定：

3 基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測原理

由于特征函數(shù)可以完整地描述隨機變量，可以通過度量特征函數(shù)的距離來進行頻譜檢測，其具體方法如下。

當(dāng)信道中存在授權(quán)用戶信號傳輸時，由于受信號調(diào)制特性和信道傳輸特性的影響，X不服從均值為零，方差為2σ的高斯正態(tài)分布，此時其特征函數(shù)也不服從φ0(v)。這樣，基于特征函數(shù)的頻譜檢測可以等價于下列假設(shè)檢驗。

很明顯，如果 H0成立，則表明信道中不存在授權(quán)用戶傳輸；如果 H0不成立，則表明信道中存在授權(quán)用戶的傳輸，信道頻譜被占用。

文獻[14]中為了檢驗信號的高斯性，定義了經(jīng)驗特征函數(shù)。根據(jù)相同的原理，進行信號頻譜檢測，此處定義X的經(jīng)驗特征函數(shù)為

假如信道中不存在授權(quán)用戶傳輸，則L趨向無窮時，經(jīng)驗分布趨向于高斯正態(tài)分布，因此，φL(v)趨向φ0(v)。而當(dāng)信道中存在授權(quán)用戶傳輸?shù)臅r候，φL( v)不趨向φ0(v)。所以通過度量經(jīng)驗特征函數(shù)φL( v)與特征函數(shù)φ0(v)的距離，可以用來判決是否存在授權(quán)信號的傳輸。這里令特征函數(shù)距離統(tǒng)計特征量為

對式(15)的積分進行展開，可以得到TL′的簡明計算公式為

信道噪聲方差未知情況下，基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測等價于下面的假設(shè)檢驗：

這里t0表示檢測門限，可通過式(18)～式(19)仿真得到。如果 TL′ ＞t0，表明經(jīng)驗特征函數(shù) φL′(v)與φ0′(v )距離很遠(yuǎn)，因此拒絕假設(shè)檢驗 H0，認(rèn)為信道中存在授權(quán)信號的傳輸。否則，表明經(jīng)驗特征函數(shù)φL′(v ) 與φ0′(v)距離很近，假設(shè)檢驗H0成立，認(rèn)為信道中不存在授權(quán)用戶信號的傳輸。

通過Monte Carlo仿真的方法，表1給出了不同虛警概率下，不同采樣樣本個數(shù)下的特征函數(shù)盲檢測方法的門限。從表1可知，在虛警概率為0.05和0.01時, 當(dāng)樣本L大于50時，門限t0已不隨樣本個數(shù)的變化而變化，這是由于此時 φL′(v)與exp(-v2/2)已經(jīng)足夠近似。

表1 特征函數(shù)盲檢測門限與虛警概率

4 Anderson-Darling頻譜盲檢測概率分析

頻譜檢測概率是衡量頻譜檢測方法性能的一個重要參數(shù)。本節(jié)分析噪聲方差未知時，衰落信道下AD檢測的檢測概率，在授權(quán)用戶信號存在時，接收到的信號樣本可以表示為

其中，c表示所傳送的信號，傳輸?shù)男盘栆话闶菑?fù)數(shù)，但復(fù)數(shù)可以表示成實部和虛部的和，如果把實部與虛部分別來考慮，則可以假設(shè)c為實數(shù)。并且在下文中，始終在實數(shù)范圍內(nèi)來考慮問題。不失一般性，這里假設(shè)c=1。wi是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，2σ是噪聲的方差，h表示衰落因子，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。假設(shè)信道是平穩(wěn)慢衰落的，基于這一假設(shè)，可以假定在得到樣本 x1, x2,… ,xL的過程中，h始終是一個常數(shù)，但在得到下面L個樣本時，h可以變?yōu)榱硗庖粋€常數(shù)。h的這個變化是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的。在信號存在情況下，式(1)可以重新寫為

在式(23)和式(24)的基礎(chǔ)上，可以得到Y(jié)i服從累積分布函數(shù)：

當(dāng)m＝2時，累積分布函數(shù)可以寫為

假設(shè)接收到的信號樣本 y1≤ y2≤ … ≤ yN，每個樣本都是m個X樣本的均值和方差比，GN,m(h, y)是衰落因子為h時候的信號樣本 y1≤y2≤…≤yN的經(jīng)驗分布函數(shù)；授權(quán)用戶傳輸信號存在時，當(dāng)N趨向無窮時， GN,m(h, y)應(yīng)逼近 G1,m(h, y)。

其中，

式(31)中第1個不等式是馬爾可夫不等式得到，而第2個不等式是式(30)得到。期望均值的大小和樣本值和衰落因子h相關(guān)。式(31)可以表示為

在m，h給定條件下，AD檢測的檢測概率Pd,a(m, h)的下界為

由式(29)計算，如果在m，h給定，Cm(h)是一個大于零的常數(shù)；文獻[13]證明在H1假設(shè)下，當(dāng)N-＞∞，(h)有界分布，則也是有界的。由式(31)～式(33)可知，對于給定的門限t0，隨著采樣樣本數(shù)N增加，趨向于0，檢測概率Pd,a(m, h)趨向于1，變化的速率為

瑞利衰落信道下，h服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 由式(32)和式(33)，如果門限t0、m給定，基于AD的頻譜盲檢測的平均檢測概率下界為

平均檢測概率是Pd,a(m, h)的加權(quán)積分，隨著樣本數(shù)N增加，檢測概率Pd,a(m)也趨向于1。

5 基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測檢測概率分析

在本節(jié)中，將給出基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測的性能。在信道中存在授權(quán)用戶傳輸?shù)臅r候，給定衰落因子h，其檢測概率為

由式(22)可以知道，當(dāng)信道中存在授權(quán)用戶傳輸，L趨向無窮大，φL′(v)趨向于φ1′(v)=exp(jvh/σv2/2)。類似于式(28)～式(33)的分析過程，可以得到基于特征函數(shù)的頻譜檢測概率的下界為

很明顯，在h給定的情況下，CT(h)是一個固定的常數(shù)，根據(jù)文獻[13]，當(dāng)L-＞∞，(h)有界分布，則也有界。當(dāng)L趨向無窮大的時候，檢測概率Pd,T(h)以最小的速度趨向于1。

由于瑞利衰落因子服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，在設(shè)定門限t0后，基于特征函數(shù)頻譜檢測的平均檢測概率下界為

當(dāng)樣本L趨向無窮大時，平均檢測概率Pd,T同樣趨向于1。

6 仿真結(jié)果與分析

為了驗證理論分析的結(jié)果，本節(jié)將給出Matlab環(huán)境下的仿真結(jié)果。具體的仿真環(huán)境如下：假設(shè)信道是瑞利慢衰落，噪聲方差是未知的。對基于AD頻譜盲檢測算法和基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測算法的檢測概率做了仿真。為了比較，同時對噪聲方差已知時，瑞利衰落信道下AD檢測概率[7]和能量檢測的檢測概率做了仿真。在仿真中只對信號的實部進行處理，此時衰落因子h服從標(biāo)準(zhǔn)高斯正態(tài)分布，不失一般性，這里假設(shè)發(fā)射信號C=1。

圖1給出了虛警概率a=0.05，采樣樣本數(shù)L=32時，不同信噪比下，衰落信道下各種檢測方法仿真值的比較。噪聲方差已知時，AD檢測[7]的檢測概率比能量檢測概率提高大約4dB。本文提出的噪聲方差未知時的AD盲檢測性能比噪聲方差已知時的AD檢測性能有所下降(性能下降在1dB以內(nèi))，但比噪聲方差已知時的能量檢測提高了3dB以上。噪聲方差未知時，采樣點數(shù)L=32時，樣本分成8部分，每部分m=4時的檢測性能比樣本分成16部分，每部分m=2更接近噪聲方差已知時的AD檢測性能。本文提出的噪聲方差未知時，基于特征函數(shù)盲檢測算法性能與AD盲檢測性能相近。這2種盲檢測方法都不需要噪聲方差的先驗知識，克服了能量檢測方法在噪聲方差未知時，檢測性能急劇下降的缺點。

圖1 衰落信道下各種方法檢測概率比較

圖 2給出了虛警概率 a=0.05，采樣樣本數(shù)L=64時，自由度m取不同值時的AD盲檢測性能分析。從圖 2可以得到，m=2的時候，AD盲檢測性能最差，隨著m值的增大，AD盲檢測性能提高，m=32時，AD盲檢測性能與噪聲方差已知時的AD檢測性能接近。一方面隨著m的增加，n值減少，AD檢測性能下降。另外一方面，由于自由度 m值增大，t分布更快速地趨近于高斯分布，也就是逼近噪聲方差已知時的AD檢測?？梢?，隨著自由度m的增大，AD盲檢測的性能提高。從以上的仿真結(jié)果可以看出，在采樣樣本數(shù)L給定的情況下，選擇自由度 m=L/2，盲檢測性能最好。

圖2 不同自由度AD盲檢測性能分析

從圖2和圖3的比較可以得到，采樣點個數(shù)增大，檢測概率的性能提高。在同樣采樣點個數(shù)下，所提2種檢測算法基于AD的頻譜檢測算法和基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測算法性能比能量檢測性能好。

圖3 各種檢測方法工作區(qū)間特性分析

為了進一步對本文所提2種盲檢測方法和能量檢測的性能進行比較，圖3給出了信噪比為6dB，采樣樣本數(shù)L=32，AD檢測、AD盲檢測、基于特征函數(shù)的盲檢測和能量檢測的工作區(qū)間特性?？梢钥吹?，AD檢測比能量檢測具有更理想的工作區(qū)間特性，AD檢測概率更快速的逼近 1。噪聲方差未知時的AD盲檢測比噪聲方差已知時的AD檢測工作區(qū)間特性略有下降，但比噪聲方差已知時的能量檢測性能好?；谔卣骱瘮?shù)的盲檢測性能與AD盲檢測性能接近。在虛警概率要求較低時，AD盲檢測和基于特征函數(shù)盲檢測比能量檢測具有更高的檢測概率。

7 結(jié)束語

本文提出了認(rèn)知無線電系統(tǒng)中，基于Anderson-Darling的頻譜盲檢測方法和基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測方法。這2種方法不需要授權(quán)用戶信號的先驗知識，而且克服了Anderson-Darling檢驗和能量檢測對噪聲方差先驗知識的要求。本文分析了衰落信道下，所提2種盲檢測方法的虛警概率和檢測概率，并與傳統(tǒng)的能量檢測性能做了比較。理論和仿真表明，AD盲檢測和特征函數(shù)盲檢測相比傳統(tǒng)的能量檢測，具有更好的性能。

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