楊淑霞，徐琳茜，劉達(dá)，韓奇，張麗，丁暉

(1. 華北電力大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，北京 102206；2. 中國(guó)電監(jiān)會(huì)山東電監(jiān)辦，山東 濟(jì)南，250101)

市場(chǎng)出清價(jià)是體現(xiàn)電力商品在市場(chǎng)中短期供求關(guān)系的重要指標(biāo)。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)市場(chǎng)出清電價(jià)一方面為發(fā)電側(cè)競(jìng)價(jià)上網(wǎng)提供重要參考依據(jù)，另一方面為市場(chǎng)監(jiān)管提供重要的科學(xué)依據(jù)，有效保證電力市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)健康、穩(wěn)定、有序，國(guó)內(nèi)外許多研究者使用不同的方法對(duì)出清電價(jià)預(yù)測(cè)進(jìn)行了研究，如：文獻(xiàn)[1]采用合作協(xié)同進(jìn)化的方法進(jìn)行出清電價(jià)預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[2]基于歷史電價(jià)、電量以及其他信息，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對(duì)電力市場(chǎng)出清電價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[3]從市場(chǎng)出清價(jià)具有非線性和多時(shí)間尺度的特性出發(fā)，采用人工免疫系統(tǒng)優(yōu)化后的小波網(wǎng)絡(luò)來描述市場(chǎng)出清價(jià)的變化規(guī)律并對(duì)次日市場(chǎng)出清價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[4]用免疫遺傳算法對(duì)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)出清電價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[5]對(duì)市場(chǎng)出清電價(jià)的影響因素進(jìn)行了系統(tǒng)分析，認(rèn)為影響市場(chǎng)出清電價(jià)的因素眾多，且這些因素具有較強(qiáng)的隨機(jī)性和不確定性，而常規(guī)的市場(chǎng)出清電價(jià)單值預(yù)測(cè)模型未充分考慮歷史數(shù)據(jù)的不確定性，預(yù)測(cè)結(jié)果無法體現(xiàn)市場(chǎng)出清電價(jià)的隨機(jī)變化特性，預(yù)測(cè)精度也較低；文獻(xiàn)[6]將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入出清電價(jià)預(yù)測(cè)，將負(fù)荷和清算電價(jià)作為輸入變量，出清電價(jià)作為輸出變量，構(gòu)造了3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)未來出清電價(jià)進(jìn)行了預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[7]將相似性原理和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合預(yù)測(cè)日前市場(chǎng)出清電價(jià)，該法尤其適用于只能獲得有限原始數(shù)據(jù)的情況。由于影響電價(jià)的因素很多，電價(jià)一般被認(rèn)為是一種隨機(jī)變量，因此，預(yù)測(cè)市場(chǎng)出清電價(jià)時(shí)既要給出所預(yù)測(cè)電價(jià)的可能值，還要給出相應(yīng)的概率信息。文獻(xiàn)[8]研究了西班牙能源市場(chǎng)次日電價(jià)的預(yù)測(cè)問題。上述研究大多采用單一序列的研究方法而忽略了不確定因素的影響，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法也有其局限性。為此，本文作者引入相空間重構(gòu)和最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法，在此基礎(chǔ)上對(duì)市場(chǎng)出清電價(jià)序列特性進(jìn)行判定。然后，依據(jù)最大Lyapunov指數(shù)預(yù)報(bào)模式，對(duì)某電力市場(chǎng) 1999-01-01—1999-08-31的電價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行混沌時(shí)間序列判定，采用最大Lyapunov指數(shù)預(yù)報(bào)模式進(jìn)行出清電價(jià)預(yù)測(cè)。最后，將預(yù)測(cè)結(jié)果與 AR(2)模型預(yù)測(cè)市場(chǎng)出清電價(jià)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以探討應(yīng)用最大Lyapunov指數(shù)對(duì)出清電價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)的可行性。

1 市場(chǎng)出清價(jià)混沌特性判定

1.1 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)理論可以通過時(shí)間序列來分析非線性系統(tǒng)的混沌特性[9]，它使用非線性時(shí)間序列來研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，并將混沌理論應(yīng)用于實(shí)際。這一理論表明：混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中任一變量的時(shí)間序列里包含確定系統(tǒng)狀態(tài)所需要的全部動(dòng)力學(xué)信息。在新的坐標(biāo)系中考察某一變量的演化過程，所得到的狀態(tài)軌跡能夠保留原空間狀態(tài)軌道最主要的特征。本文采用目前使用最廣泛的延遲坐標(biāo)狀態(tài)相空間重構(gòu)法[10]，將實(shí)際觀測(cè)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)擴(kuò)展到多維的相空間，分析時(shí)間序列中所包含的系統(tǒng)信息。

將觀測(cè)到的N個(gè)電價(jià)數(shù)據(jù)記為1個(gè)單變量時(shí)間序列x1，x2，…，xN，將其嵌入m維相空間，則m維相空間中的相點(diǎn)表示為：

式中：N為時(shí)間長(zhǎng)度；x1，x2，…，xN為電價(jià)序列；τ為延遲時(shí)間；m為嵌入維數(shù)。

設(shè)D0為估算的最大分?jǐn)?shù)維，D為原系統(tǒng)的維數(shù)。根據(jù)Takens提出的嵌入定理[11]，時(shí)間長(zhǎng)度N越大，越能反映出原系統(tǒng)的信息，但過大的時(shí)間長(zhǎng)度會(huì)造成重構(gòu)時(shí)間延長(zhǎng)，因此，N通常在區(qū)間范圍內(nèi)取值；延遲時(shí)間τ的取值應(yīng)適當(dāng)，既保證各分量間的相互獨(dú)立性，又要保證延遲坐標(biāo)的相關(guān)性；嵌入維數(shù)m的取值應(yīng)滿足m≥2D+1。

1.2 混沌特性判定原理

混沌運(yùn)動(dòng)是一種介于確定與隨機(jī)之間的更具普遍意義的狀態(tài)，其產(chǎn)生于確定性的非線性系統(tǒng)中，對(duì)初始條件具有高度敏感性，并且具有自相似的分形結(jié)構(gòu)和分?jǐn)?shù)維。為了鑒別電價(jià)的演化過程是否為混沌運(yùn)動(dòng)，可采用相空間重構(gòu)進(jìn)行分析，提取特征指標(biāo)Lyapunov指數(shù)來定量判斷電價(jià)序列是否處于混沌狀態(tài)。

1.2.1 最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法

Lyapunov指數(shù)是指初值不同的2條相鄰軌跡在相空間中隨時(shí)間推移按指數(shù)規(guī)律分離的平均發(fā)散速率，以定量描述混沌運(yùn)動(dòng)的初值敏感程度。Wolf[12]認(rèn)為，在判斷動(dòng)力系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)即可。若最大Lyapunov指數(shù)為正，則系統(tǒng)具有初值敏感性，其運(yùn)動(dòng)為混沌狀態(tài)；若最大Lyapunov指數(shù)等于 0，表明系統(tǒng)對(duì)初值不敏感，呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)；若最大Lyapunov指數(shù)為負(fù)，則系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為與初值無關(guān)，將收斂到1個(gè)平衡點(diǎn)。

對(duì)于一維時(shí)間序列數(shù)據(jù)，Lyapunov指數(shù)的計(jì)算可采用Wolf方法[13]，計(jì)算步驟如下。

(1) 根據(jù)實(shí)際觀測(cè)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)及樣本總數(shù)N，確定延遲時(shí)間τ，構(gòu)造N維空間的單變量時(shí)間序列，相點(diǎn)數(shù)為m=N-(m-1)τ。

(2) 選取初始相點(diǎn) y0，在點(diǎn)集中選擇最靠近y0的點(diǎn)yj，以y0和yj為端點(diǎn)構(gòu)成初始向量，兩端點(diǎn)間的歐式距離記為L(zhǎng)(t0)(其中，t0為初始時(shí)點(diǎn))。

設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為 k，t1=t0+k，初始向量按t1向前演化得到新向量，該向量?jī)啥它c(diǎn)間距離記為L(zhǎng)(t1)，在相應(yīng)時(shí)段內(nèi)系統(tǒng)線度指數(shù)增長(zhǎng)率為：

其中：λ為系統(tǒng)線度指數(shù)增長(zhǎng)率。按步驟依次計(jì)算，直至所有相點(diǎn)為止。最大Lyapunov指數(shù)估計(jì)值為各指數(shù)增長(zhǎng)率的平均值，即：

逐次增加嵌入維數(shù)n，重復(fù)以上步驟，直至λ1(m)隨n變化趨于平穩(wěn)為止，由此得到的計(jì)算結(jié)果即為最大Lyapunov指數(shù)。

1.2.2 市場(chǎng)出清價(jià)混沌特性判定結(jié)果

本文選用某電力市場(chǎng) 1999-01-01—1999-08-01出清電價(jià)，使用 Matlab7.0軟件作為計(jì)算工具，根據(jù)文獻(xiàn)[14]中相空間重構(gòu)的Matlab程序接口，對(duì)電價(jià)序列進(jìn)行相空間重構(gòu)。通過Matlab編程計(jì)算，得出延遲時(shí)間τ=9，Lyapunov指數(shù)為0.037＞0，判定該時(shí)間序列具有混沌特性；由相關(guān)系數(shù)選擇Lyapunov指數(shù)均大于 0，說明短期內(nèi)出清電價(jià)的演化過程對(duì)初始條件具有敏感依賴性，電價(jià)序列初值的微小變化將隨時(shí)間推移呈指數(shù)增長(zhǎng)。此外，Lyapunov指數(shù)較小，電價(jià)的演化速率較慢，電價(jià)序列演化過程的短期預(yù)測(cè)可以實(shí)現(xiàn)。

2 基于最大Lyapunov指數(shù)的出清電價(jià)預(yù)測(cè)

2.1 基于Lyapunov指數(shù)的預(yù)報(bào)模式

取初始相點(diǎn)為Y(t0)，搜尋Y(t0)的最近鄰點(diǎn)Y0(t0)，設(shè)2點(diǎn)距離為L(zhǎng)0，考察這2點(diǎn)的時(shí)間演化過程，直至這2點(diǎn)間距超過規(guī)定值ε為止，此時(shí)，時(shí)點(diǎn)為t1。令，在Y(t1)附近另尋點(diǎn)Y1(t1)，使得，且 Y0(t1)-Y(t1)與 Y1(t1)-Y(t1)之間的夾角盡可能?。恢貜?fù)上述過程，經(jīng)過M次迭代后，此時(shí)，時(shí)點(diǎn)為 tM，Y(t)到達(dá)時(shí)間序列構(gòu)成的相空間終點(diǎn)，由此得到的最大Lyapunov指數(shù)為：

其中：Li為 Y(ti)與其最近鄰點(diǎn) Yi(ti)間的距離；Li′為Y(ti+1)與 Yi(ti+1)間的距離；i=0，…，M。在不同步長(zhǎng)的演化過程中， Li′ / Li近似為常數(shù)，這一特性為建立基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)報(bào)模式奠定了基礎(chǔ)[15]。

設(shè)Y(ti)為預(yù)測(cè)的中心點(diǎn)，計(jì)算其最近鄰點(diǎn)Y(tj)，經(jīng)過時(shí)間尺度 T后的演化相點(diǎn)分別為 Y(ti+T)和Y(tj+T)。若T≤τ，則相點(diǎn)Y(ti+T)只有第1個(gè)分量x(ti+T)是未知的，可進(jìn)行預(yù)報(bào)。取 T=1，最大 Lyapunov指數(shù)為λ1，則基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)報(bào)模式為：

最大可預(yù)測(cè)時(shí)間尺度通常為 Tmax= 1 /λ1。T的取值具有重要意義，若其大于提前預(yù)報(bào)時(shí)間，則可以對(duì)所預(yù)測(cè)對(duì)象進(jìn)行預(yù)測(cè)；若其小于提前預(yù)報(bào)時(shí)間，則所預(yù)測(cè)對(duì)象不可預(yù)測(cè)或誤差超出允許值。

2.2 預(yù)測(cè)步驟

根據(jù)上述基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)模式，計(jì)算某電力市場(chǎng) 1999-01-01—1999-08-31出清電價(jià)的Lyapunov指數(shù)。通過 Matlab編程計(jì)算，得到出清電價(jià)序列的嵌入維數(shù)m=9，最大Lyapunov指數(shù)λ=0.037＞0，驗(yàn)證了該電價(jià)序列為混沌時(shí)間序列，可以采用最大Lyapunov指數(shù)預(yù)報(bào)模式進(jìn)行出清電價(jià)預(yù)測(cè)。

基于最大 Lyapunov指數(shù)的混沌時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)的具體流程如圖1所示，其實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值如圖2所示。

圖1 混沌時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)流程圖Fig.1 Flow chart of chaos time series forecasting model

3 市場(chǎng)出清價(jià)預(yù)測(cè)與分析

3.1 基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果及分析

根據(jù)表1所示的預(yù)測(cè)結(jié)果，通過計(jì)算得出：采用Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)模式進(jìn)行出清電價(jià)預(yù)測(cè)，得到的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間的平均絕對(duì)誤差率為7.234 7%，最大絕對(duì)誤差率為17.017 5%，絕對(duì)誤差率大于6%的點(diǎn)占了1/2。從圖3可以看出：出清電價(jià)預(yù)測(cè)誤差率在誤差為0的兩側(cè)呈現(xiàn)較均勻分布。

從表 1、圖 2和圖 3所示的預(yù)測(cè)結(jié)果可見：Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)模式的平均絕對(duì)誤差率為7.234 7%，誤差在評(píng)價(jià)誤差兩側(cè)呈現(xiàn)較均勻分布，最大絕對(duì)誤差率為17.017 5%，大于6%的點(diǎn)占了1/2。

表1 Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果Table 1 Results of Lyapunov exponent forecasting

圖2 基于Lyapunov指數(shù)的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值曲線Fig.2 Curves of actual value and forecasting value based on Lyapunov exponent

圖3 基于Lyapunov指數(shù)的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值誤差率曲線Fig.3 Curve of error rate between actual values and forecasting values based on Lyapunov exponent

采用最大 Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)模式進(jìn)行出清電價(jià)預(yù)測(cè)時(shí)，前5個(gè)時(shí)段的預(yù)測(cè)精度比較高；隨著時(shí)間的推移，預(yù)測(cè)精度不斷降低。這是因?yàn)槌銮咫妰r(jià)的預(yù)測(cè)受到多種因素的影響，波動(dòng)非常復(fù)雜。在預(yù)測(cè)過程中，所有預(yù)測(cè)值都是基于同一嵌入維數(shù)的相空間以及相同的最大Lyapunov指數(shù)得到的。最大可預(yù)測(cè)時(shí)間尺度為1/λ=1/0.037=27.027，即最大可預(yù)測(cè)時(shí)間為27。本文為了保證預(yù)測(cè)精度，選取了12個(gè)時(shí)點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)預(yù)測(cè)。

3.2 基于AR(2)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果及分析

研究基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)測(cè)模式的精度，將上述預(yù)測(cè)結(jié)果與文獻(xiàn)[15]中利用 AR(2)模型預(yù)測(cè)市場(chǎng)出清電價(jià)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

使用相同的歷史數(shù)據(jù)，利用 AR(2)模型預(yù)測(cè)市場(chǎng)出清電價(jià)時(shí)，前12個(gè)時(shí)段剛好有6個(gè)時(shí)點(diǎn)為平穩(wěn)性時(shí)間序列，6個(gè)時(shí)點(diǎn)為非平穩(wěn)時(shí)間序列。每個(gè)預(yù)測(cè)模型只用來預(yù)測(cè)第2天各自對(duì)應(yīng)時(shí)段的出清電價(jià)，分別得到12個(gè)時(shí)段的電價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果，然后，將這12個(gè)時(shí)段電價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果組合起來，如表 2所示。基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)模型的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值見圖2，其誤差率見圖 3?；?AR(2)模型的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值及其誤差率曲線分別見圖4和圖5。

根據(jù)表2所示的預(yù)測(cè)結(jié)果，通過計(jì)算得出：平衡電價(jià)序列構(gòu)造的 AR(2)模型具有較高的預(yù)測(cè)精度，市場(chǎng)出清電價(jià)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的平均絕對(duì)誤差率為4.571 7%，但是，非平衡電價(jià)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的平均絕對(duì)誤差率為6.510 0%。這是由于電價(jià)的隨機(jī)波動(dòng)性較強(qiáng)，一般很難有效地去除電價(jià)時(shí)間序列的非平穩(wěn)過程，從而在一定程度上影響了預(yù)測(cè)的效果，使得絕對(duì)誤差率大于6%的點(diǎn)占了7/12。

表2 AR(2)模型預(yù)測(cè)結(jié)果Table 2 Results of AR(2) model forecasting

圖4 基于AR(2)模型的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值曲線Fig.4 Forecasting fitting chart curves of actual value and forecasting value based on AR(2)model

圖5 基于AR(2)模型的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值誤差率曲線Fig.5 Curve of error rate curve of error rate between actual values and forecasting values based on AR(2) model

3.3 最大Lyapunov指數(shù)預(yù)報(bào)模型與AR(2)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

AR(2)模型預(yù)測(cè)法應(yīng)用于平穩(wěn)電價(jià)序列預(yù)測(cè)時(shí)精度比較高，但是，在對(duì)非平穩(wěn)電價(jià)序列預(yù)測(cè)時(shí)，由于不確定性的影響加大，其平均絕對(duì)誤差率較大。

出清電價(jià)序列的演化過程具有混沌特性，可采用基于 Lyapunov指數(shù)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。采用最大Lyapunov指數(shù)預(yù)報(bào)模型進(jìn)行電價(jià)預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)結(jié)果的總體精度略低于 AR(2)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果總體精度，但其精度相對(duì)穩(wěn)定，絕對(duì)誤差率大于 6%的時(shí)點(diǎn)數(shù)少于后者。這說明基于最大 Lyapunov指數(shù)的市場(chǎng)出清電價(jià)預(yù)測(cè)是有效的。

4 結(jié)論

(1) 應(yīng)用最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)出清電價(jià)時(shí)，其最大預(yù)測(cè)時(shí)間 Tm= 1 /λ，在最大預(yù)測(cè)時(shí)間范圍內(nèi)進(jìn)行預(yù)測(cè)均可以保證預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。在預(yù)測(cè)計(jì)算前可根據(jù)λ確定預(yù)測(cè)精度范圍。在預(yù)測(cè)過程中，所有的預(yù)測(cè)值都是基于同一嵌入維數(shù)的相空間以及相同的最大 Lyapunov指數(shù)得到的，但是，預(yù)測(cè)精度隨時(shí)間降低。

(2) 最大Lyapunov指數(shù)反映了相空間中相體積收縮和膨脹的幾何特性。該預(yù)測(cè)方法以數(shù)據(jù)序列本身所計(jì)算出來的客觀規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)，有效降低了各種主觀因素的影響。

(3) 最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)模型的計(jì)算能夠通過Matlab編程實(shí)現(xiàn)，且具有較強(qiáng)的可移植性和可擴(kuò)展性。但采用Wolf方法的計(jì)算量較大，這有待進(jìn)一步改進(jìn)。

[1] Karsaz A, Mashhadi A R, Mirsalehi M M. Market clearing price and load forecasting using cooperative co-evolutionary approach[J]. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2010, 32(5): 408-415.

[2] Singhal D, Swarup K S. Electricity price forecasting using artificial neural networks[J]. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2011, 33(3): 550-555.

[3] 左幸, 馬光文, 梁武湖, 等. 基于人工免疫系統(tǒng)小波網(wǎng)絡(luò)的電力市場(chǎng)出清價(jià)預(yù)測(cè)[J]. 水力發(fā)電, 2006, 32(1): 1-15.ZUO Xing, MA Guang-wen, LIANG Wu-hu, et al. The immune wavelet network model and its application to the prediction of market clearing price[J]. Water Power, 2006, 32(1): 1-15.

[4] 李彥斌, 李存斌, 楊尚東. 基于免疫遺傳算法改進(jìn) DFNN 模型及其應(yīng)用[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 39(2):345-349.LI Yan-bin, LI Cun-bin, YANG Shang-dong. A new DFNN improved by artificial immune-genetic hybrid algorithm and its application[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2008, 39(2): 345-349.

[5] 王高琴, 沈炯, 李益國(guó). 基于聚類和貝葉斯推斷的市場(chǎng)出清電價(jià)離散概率分布預(yù)測(cè)[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2007, 27(34):90-95.WANG Gao-qin, SHEN Jiong, LI Yi-guo. Forecasting of MCP’s discrete probability distribution based on clustering and bayesian method[J]. Proceedings of the CSEE, 2007, 27(34): 90-95.

[6] 張明光, 李艷. 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的下一交易日出清電價(jià)預(yù)測(cè)[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2009, 37(5): 18-21.ZHANG Ming-guang, LI Yan. Method for forecasting next-day market clearing prices based on BP neural network[J]. Power System Protection and Control, 2009, 37(5): 18-21.

[7] 李彥斌, 李存斌, 宋曉華. 改進(jìn)的人工智能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 39(5):1054-1058.LI Yan-bin, LI Cun-bin, SONG Xiao-hua. Prediction model of improved artificial neural network and its application[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2008,39(5): 1054-1058.

[8] Raúl P, José P. Forecasting next-day price of electricity in the Spanish energy market[J]. Engineering Applications Txt of Artificial Intelligence, 2007, 21(1): 53-62.

[9] 鄂加強(qiáng), 王春華, 彭雨, 等. 混沌特性時(shí)間序列線性變換理論方法及其應(yīng)用[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 36(2):36-42.E Jia-qiang, WANG Chun-hua, PENG Yu, et al. Analysis and application of the chaos character of time series after linear transformation[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences,2008, 36(2): 36-42.

[10] Aghaei J, Shayanfar H, Amjady N. Multi-objective market clearing of joint energy and reserves auctions ensuring power system security[J]. Energy Conversion and Management, 2009,50(4): 899-906.

[11] Zhang T, Elkasrawy A, Venkatesh B. A new computational method for reactive power market clearing[J]. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2009, 31(6):285-293.

[12] Wolf A. Determining Lyapunov exponents from a time series[J].Physica D: Nolinear Phenomena, 1985, 16(3): 285-317.

[13] 呂金虎, 陸君安. 混沌時(shí)間序列分析及其應(yīng)用[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2002: 64-95.Lü Jin-hu, LU Jun-an. Analysis and application of chaotic time series[M]. Wuhan: Wuhan University Press, 2002: 64-95.

[14] 萬武輝. 利用混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)技術(shù)進(jìn)行電力市場(chǎng)短期電價(jià)預(yù)測(cè)[D]. 成都: 電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 2005:40-50.WAN Wu-hui. Power market price forecasting based on Chaotic time series prediction[D]. Chengdu: University of Electronic Science and Technology of China. School of Computer Science and Engineering, 2005: 40-50.

[15] 張麗. 市場(chǎng)出清價(jià)規(guī)律分析與預(yù)測(cè)[D]. 北京: 華北電力大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 2007: 26-39.ZHANG Li. Analysis and forecast of the market clearing price law[D]. Beijing: North China Electricity Power University.School of Economics and Management, 2007: 26-39.