高磊磊，夏新濤，樊雎，孫小超

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003)

滾動(dòng)軸承的振動(dòng)水平是軸承動(dòng)態(tài)性能質(zhì)量的重要反映[1]，因此一直受到相關(guān)工程與學(xué)術(shù)界的重視。文獻(xiàn)[2-3]基于軸承振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)分別用時(shí)域特征和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法進(jìn)行軸承故障的診斷處理。文獻(xiàn)[4]對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行光譜分析等處理并用于軸承的故障診斷。文獻(xiàn)[5]用灰自助法對(duì)軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)評(píng)估與診斷。文獻(xiàn)[6]提出了基于Hilbert-Huang變換的軸承振動(dòng)特性分析的新方法?，F(xiàn)有的研究大多尚未關(guān)注乏信息系統(tǒng)領(lǐng)域。乏信息是指研究對(duì)象所表現(xiàn)出的屬性特征信息不完整與不充分。乏信息系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)，目前是信息科學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的前沿與熱點(diǎn)之一，具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

乏信息系統(tǒng)的相空間重構(gòu)理論是分析研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)的基礎(chǔ)，相空間是描述系統(tǒng)演化與運(yùn)動(dòng)最有力的工具。用混沌理論進(jìn)行相空間重構(gòu)，能使軸承振動(dòng)時(shí)間序列的原始動(dòng)力學(xué)特征得到最優(yōu)恢復(fù)。

研究表明，軸承振動(dòng)具有不確定的明顯波動(dòng)和趨勢(shì)變化，屬于概率分布和趨勢(shì)規(guī)律都未知的乏信息系統(tǒng)。下文基于乏信息相空間，用最大熵自助法[7-8]分別建立當(dāng)前樣本和先驗(yàn)樣本的概率密度函數(shù)，然后結(jié)合Bayes統(tǒng)計(jì)理論，建立軸承振動(dòng)特征參數(shù)的動(dòng)態(tài)Bayes后驗(yàn)概率密度函數(shù)，最后對(duì)特征參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)及趨勢(shì)估計(jì)等，從而為軸承性能的非線性動(dòng)力學(xué)特征演變?cè)u(píng)估奠定新的理論基礎(chǔ)。

1 乏信息數(shù)學(xué)模型

針對(duì)軸承振動(dòng)特征參數(shù)的評(píng)估，用乏信息系統(tǒng)理論進(jìn)行相空間重構(gòu)，并結(jié)合最大熵自助法和Bayes統(tǒng)計(jì)理論構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

1.1 相空間重構(gòu)

設(shè)軸承振動(dòng)信號(hào)的時(shí)間序列為

X=(x(1),x(2),…,x(k),…,x(N));k=1,2,…,N；

(1)

式中：x(k)為第k個(gè)數(shù)據(jù)；N為時(shí)間序列X中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

重構(gòu)相空間[9]，得到一組新的向量序列

X(t)=(x(t),x(t+τ),…,x(t+(k-1)τ),…,x(t+(m-1)τ))；t=1,2,…,M;k=1,2,…,m;

(2)

M=N-(m-1)τ；

(3)

式中：x(t)為t時(shí)刻的觀測(cè)值；x(t+(m-1)τ)為延遲值；m為嵌入維數(shù)；τ為延遲時(shí)間；M為相點(diǎn)個(gè)數(shù)。

(1)式是由觀測(cè)值x(t)和延遲值x(t+(m-1)τ)所構(gòu)成的m維乏信息相空間，其與原始的狀態(tài)空間微分同構(gòu)。

至此，乏信息過(guò)程的原始動(dòng)力學(xué)特征得到最優(yōu)恢復(fù)。選定當(dāng)前時(shí)刻t，將此刻的相軌跡作為中心軌跡。從當(dāng)前時(shí)刻t往前隔(τ-1)個(gè)數(shù)據(jù)取一個(gè)，得到一個(gè)含有m個(gè)數(shù)據(jù)的樣本X1，即為基于中心軌跡的當(dāng)前樣本。先驗(yàn)樣本就是當(dāng)前時(shí)刻t以前的歷史軌跡，從時(shí)刻(t-1)往前隔(τ-1)個(gè)數(shù)據(jù)取一個(gè)，得到一個(gè)含有m個(gè)數(shù)據(jù)的樣本。讓t依次往前滾動(dòng)遞減，重復(fù)以上步驟，即可得到多個(gè)含有m個(gè)數(shù)據(jù)的樣本序列Xi。

借鑒混沌預(yù)測(cè)的思想，從樣本序列Xi中找出與當(dāng)前樣本X1最相似的樣本X2，即為基于歷史軌跡的先驗(yàn)樣本。因?yàn)闃颖拘蛄蠿i中很多樣本信息對(duì)于當(dāng)前時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)已經(jīng)沒(méi)有太大價(jià)值，應(yīng)予以剔除。用2-范數(shù)法來(lái)確定Xi與X1的相似度，

(4)

式中：xij為Xi的第j個(gè)元素；x1j為X1的第j個(gè)元素。

通過(guò)計(jì)算，找出(4)式值最小的樣本，即為先驗(yàn)樣本X2。

由于樣本X1和X2中數(shù)據(jù)較少，還須用自助法抽樣，以便建立基于當(dāng)前樣本和先驗(yàn)樣本的最大熵概率密度函數(shù)。

1.2 自助樣本

從X中等概率可放回地抽樣，抽取m個(gè)數(shù)據(jù)，得到一個(gè)樣本Xb，共抽取B次，得到B個(gè)自助樣本，

Xb=(xb(1),xb(2),…,xb(k),…,xb(m));b=1,2,…,B；

(5)

式中：Xb為第b個(gè)自助樣本；xb(k)為第b個(gè)自助樣本的第k個(gè)數(shù)據(jù)，k=1,2,…,m。

求自助樣本Xb的均值為

(6)

從而得到一個(gè)樣本含量為B的自助樣本

XBootstrap=(X1,X2,…,Xb,…,XB)。

(7)

用自助法[10]分別對(duì)當(dāng)前樣本X1和先驗(yàn)樣本X2進(jìn)行抽樣處理，得到當(dāng)前自助樣本X1Bootstrap和先驗(yàn)自助樣本X2Bootstrap。

1.3 最大熵概率密度函數(shù)

根據(jù)最大熵原理，最無(wú)主觀偏見(jiàn)的概率密度函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足熵最大，即

(8)

式中：R為積分空間。約束條件為各階原點(diǎn)距，

(9)

式中：k為原點(diǎn)距數(shù)；wk為第k階原點(diǎn)距；w為所用到的最高價(jià)原點(diǎn)距的階次，一般w=3～8，常用w=5。

在約束條件下調(diào)節(jié)f(x)可使熵最大，這是約束優(yōu)化問(wèn)題，用Lagrange乘子法可求出f(x)的表達(dá)式，

(10)

式中：ck為第k個(gè)Lagrange乘子，k=1,2,…,w。第1個(gè)Lagrange乘子c0為

(11)

其他w個(gè)乘子滿(mǎn)足

(12)

將上式用向量表示為

G=G(c)=(gk;k=1,2,…,w)T=0,

(13)

且有

c=(ck;k=1,2,…,w)T，

(14)

式中：c為L(zhǎng)agrange乘子列向量?？捎肗ewton法求解Lagrange乘子向量c，即有

cj+1=cj-G′(cj)-1G(cj) (j=0,1,…) ，

(15)

式中：G′(cj)為迭代到第j步的Jacobi矩陣。迭代收斂的范數(shù)準(zhǔn)則為

‖Gj+1-Gj‖1≤ε，

(16)

式中：ε為收斂誤差，一般取ε=10-12。

上述求解中，第k階原點(diǎn)距由前面得到的自助樣本XBootstrap確定。

用最大熵法分別對(duì)當(dāng)前自助樣本X1Bootstrap和先驗(yàn)自助樣本X2Bootstrap進(jìn)行處理，得到當(dāng)前樣本的最大熵概率密度函數(shù)f1(x)和先驗(yàn)樣本的最大熵概率密度函數(shù)f2(x)。最后再結(jié)合Bayes統(tǒng)計(jì)理論，得到基于相空間的軸承振動(dòng)特征參數(shù)的Bayes后驗(yàn)概率密度函數(shù)。

1.4 Bayes概率密度函數(shù)

Bayes統(tǒng)計(jì)[11]認(rèn)為，任何一個(gè)未知量θ都可以看成隨機(jī)變量，應(yīng)用一個(gè)概率分布去描述對(duì)θ的未知狀況。這個(gè)概率分布是在抽樣前就有的關(guān)于θ的先驗(yàn)信息的概率陳述，其稱(chēng)為先驗(yàn)分布。為了在小子樣下獲得好的參數(shù)估計(jì)，就必須利用參數(shù)的歷史資料即先驗(yàn)信息。Bayes統(tǒng)計(jì)認(rèn)為，后驗(yàn)分布綜合了先驗(yàn)和樣本的信息，可對(duì)參數(shù)做出較先驗(yàn)分布更合理的估計(jì)。

Bayes公式的概率密度函數(shù)形式為

(17)

式中：θ為統(tǒng)計(jì)推斷參數(shù)；Θ為參數(shù)空間，Θ={θ}；x為總體分布產(chǎn)生的一個(gè)樣本，x=(x1,x2,…,xn)；f(θ|x)為在樣本x給定下θ的條件分布，即后驗(yàn)分布；h(x|θ)為總體指標(biāo)X的條件分布；f(θ)為先驗(yàn)分布。

根據(jù)當(dāng)前樣本的概率密度函數(shù)f1(x)和先驗(yàn)樣本的概率密度函數(shù)f2(x),再結(jié)合Bayes統(tǒng)計(jì)原理，得出Bayes后驗(yàn)概率密度函數(shù)為

(18)

式中：x為樣本均值。

2 特征參數(shù)估計(jì)

基于Bayes概率密度函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

估計(jì)真值X0為

(19)

設(shè)顯著水平α∈[0,1]，估計(jì)區(qū)間的下邊界值XL應(yīng)滿(mǎn)足

(20)

上邊界值Xu應(yīng)滿(mǎn)足

(21)

于是，在置信水平P=(1-α)×100%下，樣本均值的估計(jì)區(qū)間為[XL,XU]。

3 試驗(yàn)研究與討論

采用美國(guó)Case Western Reserve University電氣工程實(shí)驗(yàn)室的軸承故障模擬試驗(yàn)臺(tái)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究分析。選取驅(qū)動(dòng)端轉(zhuǎn)速為1 796 r/min，采樣頻率為12 kHz時(shí)得到的鋼球故障數(shù)據(jù)時(shí)間序列進(jìn)行驗(yàn)證，其中損傷直徑為0.1 778 mm。取數(shù)據(jù)文件里的前1 000個(gè)數(shù)據(jù)作為時(shí)間序列進(jìn)行建模處理。

在計(jì)算最大熵概率密度函數(shù)時(shí)，取w=5,Q=9，ε=10-12，數(shù)據(jù)的時(shí)域信息及利用乏信息數(shù)學(xué)模型估計(jì)得到的結(jié)果如圖1和圖2所示。在計(jì)算特征參數(shù)時(shí)，取α=0.05，B=10 000，圖2中選定當(dāng)前時(shí)刻t為1 000個(gè)振動(dòng)數(shù)據(jù)的第732個(gè)，每計(jì)算一次讓t自動(dòng)加1，連續(xù)計(jì)算10次，將估計(jì)結(jié)果繪制成圖像。

由圖1可知，在測(cè)量過(guò)程中，隨著軸承的轉(zhuǎn)動(dòng)(原始數(shù)據(jù)序列號(hào) 從1增加到1000)，軸承振動(dòng)的時(shí)域信息具有明顯的隨機(jī)波動(dòng)和趨勢(shì)變化特征，可見(jiàn)軸承振動(dòng)的時(shí)域信息很復(fù)雜。

圖1 軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)

圖2 估計(jì)區(qū)間對(duì)樣本均值的包絡(luò)

由t=1～10各時(shí)刻的Bayes概率密度函數(shù)可知，從t=1～10，軸承振動(dòng)的Bayes概率密度函數(shù)處于不斷變化之中，其中t=3時(shí)概率密度函數(shù)近似于正態(tài)分布，其余時(shí)刻概率密度函數(shù)呈現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)的單峰形或多峰形(圖3)，這是隨機(jī)過(guò)程短期的多次實(shí)現(xiàn)的結(jié)果，可見(jiàn)軸承振動(dòng)的概率分布信息非常復(fù)雜且具有不確定性。這些復(fù)雜信息實(shí)際上隱含著系統(tǒng)真值的一些特征。

根據(jù)圖2所示，軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)的樣本均值序列X被完美地包絡(luò)在估計(jì)區(qū)間[XL，XU]之中，且估計(jì)真值X0與樣本均值X非常接近?？梢钥闯?，t=1時(shí)估計(jì)真值X0與樣本均值X之間的絕對(duì)誤差小到0.002 5；t=6時(shí)估計(jì)真值X0與樣本均值X之間的絕對(duì)誤差最大為0.024 0。這說(shuō)明利用乏信息數(shù)學(xué)模型處理振動(dòng)數(shù)據(jù)能得到比較合理的結(jié)果。因此，估計(jì)結(jié)果的誤差可以滿(mǎn)足工程要求。這也證實(shí)了所提出的數(shù)學(xué)模型是合理與可行的，基本上可以真實(shí)描述軸承振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征。

4 結(jié)論

相空間是描述系統(tǒng)演化與運(yùn)動(dòng)最有力的工具。用混沌理論進(jìn)行相空間重構(gòu)，使軸承振動(dòng)時(shí)間序列的原始動(dòng)力學(xué)特征得到最優(yōu)恢復(fù)。在相空間里，建立了基于最大熵自助法和Bayes統(tǒng)計(jì)理論的軸承振動(dòng)的動(dòng)態(tài)Bayes后驗(yàn)概率密度函數(shù)。軸承振動(dòng)的Bayes概率密度函數(shù)呈非對(duì)稱(chēng)的單峰形或多峰形，這是隨機(jī)過(guò)程短期的多次實(shí)現(xiàn)的結(jié)果。這刻畫(huà)了軸承振動(dòng)不確定的明顯波動(dòng)和趨勢(shì)變化特征。

以Bayes概率分布函數(shù)為基礎(chǔ)，提出了軸承振動(dòng)特征參數(shù)的真值估計(jì)、區(qū)間估計(jì)和趨勢(shì)估計(jì)方法。從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)的樣本均值都能被估計(jì)區(qū)間完美地包絡(luò)，且估計(jì)結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果在數(shù)值上很接近，滿(mǎn)足工程要求。從而為軸承性能的非線性動(dòng)力學(xué)特征演變?cè)u(píng)估奠定新的理論基礎(chǔ)。

圖3 t=1,3,6,10時(shí)刻的概率密度函數(shù)