高春霞,張?zhí)祢U,譚方青,魏世朋

（重慶郵電大學 信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065）

非線性調頻信號是一種具有低頻截獲率的時變信號，它在雷達、聲納、電子對抗、生物醫(yī)學、語音和通信等領域有著廣泛的應用。但是對非線性調頻信號的波達方向估計方法仍處于初步研究階段。目前，人們已經(jīng)提出多種非線性調頻信號的形式，主要包括多項式相位信號(PPS)和正弦調頻信號(SFM)。非線性調頻信號的估計算法大多都是針對多項式相位信號，而對正弦調頻信號的估計算法研究較少，參考文獻[1]提出的基于離散多項式相位變換的方法僅討論了對正弦調頻信號的波形重構，但沒有推導算法，所以現(xiàn)有算法還不完善。目前，還沒有普遍適用的算法，故本文將非線性調頻信號統(tǒng)一建模成高階多項式相位信號模型。

多項式相位信號PPS(Polynomial Phases Signal)是信號處理領域中的一個具有重要意義的非平穩(wěn)寬帶信號。寬帶信號高分辨率估計方法主要有兩大類：極大似然估計(MLM)[2]和相干信號子空間方法(CSM)[3]。MLM是一種非線性最優(yōu)化算法，但它運算復雜，運算量極大。而CSM存在角度預估計問題，估計精度受預估計的影響。目前國內外學者大多是針對多項式相位信號的相位系數(shù)估計[4-5]進行研究，而對多項式相位信號波達方向(DOA)估計方面的研究甚少,并且針對大于二階的多項式信號的研究也相對較少。在現(xiàn)代電子對抗中，精確估計多項式相位信號的來波方向，實現(xiàn)超分辨測向顯得非常重要。

本文研究了一種基于 Peleg[6]提出的 DPT方法，對非線性調頻信號進行DOA估計。離散多項式變換(DPT)是分析恒定振幅多項式相位信號的有力工具，其主要用途是估計相位信號的系數(shù)。該方法估計模型參數(shù)，進一步推導了信號參數(shù)與模型參數(shù)的關系，得出信號參數(shù)的估計公式。且該方法能夠很好地解決非線性調頻信號的角度估計問題。

1 離散多項式相位變換

根據(jù)Weierstrass逼近理論[8]，任一閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都可以用多項式相位函數(shù)來近似。多項式相位變換(PPT)是多項式相位信號檢測與估計普遍采用的一種方法，在用于離散時間信號處理時，又稱為離散多項式相位變換(DPT)。本節(jié)系統(tǒng)地介紹了DPT，給出多項式相位變換的定義[6]。則非線性調頻信號可建模成：式中，N為采樣長度，Vt為采樣間隔，am為實相位系數(shù)，M為相位多項式的階數(shù)，b0、am和M統(tǒng)稱為模型參數(shù)。

接收信號可表示為：

對于信號s(n),M階PPS信號的一階瞬態(tài)矩DP1[s(n)，τ]、二階瞬態(tài)矩DP2[s(n)，τ]及三階瞬態(tài)矩DP3[s(n)，τ]分別定義為：

所以高階瞬態(tài)距(HIM)定義為：

式中，τ為時延長度，0≤τ≤N-1。

M階離散多項式相位變換 DPTM定義為DPM[s(n)，τ]的離散傅里葉變換，表示為：

將式(2)代入式(8)，于是有：

對于式(3)中的信號模型，經(jīng)多項式變換將其變換為單個諧波和新的噪聲。于是，可以通過計算DPM[s(n)，τ]得正弦信號，然后通過FFT將在ω0處呈現(xiàn)峰值。從而可從峰值估計出最高階多項式相位的系數(shù)aM:

其中，ω0=M!(τVt)M-1aM。τ的選擇與最后參數(shù)估計的精度有關，根據(jù)參考文獻[4]中的分析，當 M＞3時，選擇 τ=N/M+2;當 M≤3時，選擇 τ=N/M，此時參數(shù)有較高的估計精度。

2 陣列信號模型及原理結構圖

陣列模型為M個陣元的均勻線陣(ULA)，陣元間距為d，如圖1所示。假設有一寬帶的非線性調頻信號s(t)，入射角為θ。其中第一個陣元作為參考陣元，則第 l個陣元上的觀測信號可以表示為:

nl(t)為第l個陣元相互獨立且與信號無關的高斯白噪聲；τl是信號 s(t)在第 l個陣元相對于第一個陣元的延時；c為光速；DP2代表其二階瞬時矩；DP3代表其三階瞬時矩；DP[W(n)]代表噪聲的高階瞬時矩。

3 對單頻正弦信號進行DOA估計

求根MUSIC算法是MUSIC算法的一種多項式求根形式，兩者具有相同的漸進性能，但是在小樣本的情況下，MUSIC算法不能分辨空間相距比較近的信號，而求根MUSIC算法能夠很好地分辨。故本文采用求根MUSIC對單頻正弦信號進行DOA估計。

接收信號表示為：

三階無噪聲污染信號的瞬態(tài)距表示見式(10)，則：

其中，Rls和Rln分別為信號和噪聲協(xié)方差矩陣。對上式協(xié)方差矩陣進行特征分解，可得λ1＞λ2，…,λQ＞λQ+1=λQ+2=…,λm,其中,Q為信號源個數(shù)，信號子空間是由對應大特征值組成的特征矢量，而噪聲子空間是由對應小特征值組成的特征矢量。

求根MUSIC算法需要先定義如下一個多項式：

式中：ei是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中小特征值對應的M-Q個特征矢量 p(z)=[1,z,…,zM-1]T。

由以上的定義可知：當z=ejω時，即多項式的根正好位于單位圓上時，p(ejω)是一個空間頻率為ω的導向矢量。由特征結構類算法可知，p(ejω)=p(z)就是信號的導向矢量，所以其與噪聲子空間是正交的。因此，多項式可定義為：

也就是說只要求得式(19)的根即可獲得有關信號源到達角的信息，同時發(fā)現(xiàn)多項式存在z*項，這使得求零過程變得復雜，可將式(19)修正為：

因為多項式 f(z)的階數(shù)為 2(M-1)，所以有(M-1)對根，且每對根是相互共軛的關系。在這(M-1)對根中有Q個根z1,…,zQ正好分布在單位圓上，即：

上式考慮的是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣精確可知時的情況。在實際應用中,也就是數(shù)據(jù)矩陣存在誤差時，只需求式(20)的Q個接近于單位圓上的根即可。即對于等距均勻線陣來說，根據(jù)方向導向矢量Al可知波達方向。

由以上分析，可總結出多項式相位信號波達方向估計的算法流程：

(1)初始化，令 m=M 和 xm(n)=x(n)，其中 1≤n≤N-1;

(2)對信號進行高階瞬態(tài)矩變換，可以得到變換后的單頻正弦信號HIM3;

(3)對單頻正弦信號HIM3進行FFT變換;

(6)替換 m=m-1，直到 m=2為止;

(7)由式(15)確定信號所對應的導向矢量；

(8)利用求根MUSIC算法進行 DOA估計，估計最終信號的波達方向。

4 仿真實驗

實驗一：設信號模型為：x(n)=s(n)+W(n)=b0exp[j(a1n+a2n2+a3n3)]+W(n),0≤n≤N-1。其中，a1=0.15,a2=0.2/N,a3=0.55/N2，采樣點 N=360，延時 τ=N/3，離散 FFT 時變換的長度為 120×100點，快拍數(shù)為τ。

圖2給出了本文多項式相位信號分別在沒有噪聲和SNR=20 dB時，經(jīng)過瞬態(tài)矩變換后的信號實部幅值特性圖。從圖中可以看出，經(jīng)過瞬態(tài)矩后，當沒有噪聲時，變換后的信號為正弦信號;當SNR=20 dB時，信號為正弦信號和新的噪聲。

圖3給出了的均方誤差和CRB差隨信噪比的變化曲線，從圖中可以看出，三階PPS在SNR大于或等于 8 dB時，此方法的估計性能越來越接近克拉美羅線，且隨著信噪比的降低，仿真結果與理論結果產(chǎn)生較大偏差。

實驗二：在實驗一的基礎上，對信號的波達方向進行估計，且參數(shù)和實驗一相同。信號的入射角為30°。對其進行200次的Monte-Carlo仿真實驗，如圖4所示。

對信號的波達方向進行估計，從圖4(a)可以看出，本文能較為準確地估計信號的波達方向，且隨著快拍數(shù)的增加逐漸趨于穩(wěn)定。圖4(b)是在不同陣元的情況下誤差分析，在相同信噪比的情況下，陣元數(shù)越多估計性能就越好。陣元數(shù)為10要比陣元數(shù)為6的估計性能要好一些，陣元數(shù)為6要比陣元數(shù)為4的好一些。

本文提出了一種非線性調頻信號的波達方向估計方法。推導了該方法的具體步驟，并給出了相應的仿真分析，理論分析和仿真結果表明，在大于或等于8 dB時能很好地估計出多項式相位信號的來波方向，計算量大大減少，算法相對簡單很多。

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