劉豐年，李 娜，果 鑫，張文平，徐 勇，張 笛

（湖南工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院，湖南 株洲 412007）

0 引言

光纖布拉格光柵（fiber Bragg grating，F(xiàn)BG）是一種利用光敏光纖的光致折射率沿光纖軸向周期性變化的光纖波導(dǎo)。FBG獨(dú)特的窄帶濾波特性，及其易于同光纖系統(tǒng)集成的優(yōu)勢(shì)，使其成為目前最有發(fā)展前途、最具代表性和發(fā)展最為迅速的光纖元件，在光纖通信、光纖傳感和光信息處理等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1]。在光纖光柵的研制中，想要達(dá)到理想的光纖光柵應(yīng)用效果，需要對(duì)決定光纖光柵反射性能的調(diào)制參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，獲取合適的參數(shù)才能得到理想的光纖光柵。因此，合適的參數(shù)設(shè)計(jì)對(duì)于制成擁有特定反射光譜的光纖光柵，具有重要的指導(dǎo)意義，對(duì)FBG基本原理及重構(gòu)的分析和研究也更是廣受關(guān)注。

為實(shí)現(xiàn)光纖光柵制作的理論指導(dǎo)，首先需掌握光柵光譜特性分析，在此基礎(chǔ)上，還需研究實(shí)現(xiàn)光柵光譜重構(gòu)的算法。因光譜分析較復(fù)雜且計(jì)算量龐大，目前基于耦合模理論的分段均勻傳輸矩陣法是較方便實(shí)用且常用的分析方法，其優(yōu)勢(shì)在于能對(duì)每小段光柵進(jìn)行單獨(dú)的參數(shù)設(shè)置，靈活性高，運(yùn)算速度快，可快速計(jì)算具有105個(gè)周期的厘米級(jí)長(zhǎng)度光纖光柵。光纖光柵重構(gòu)即基于耦合模理論，通過(guò)某種算法計(jì)算出能夠產(chǎn)生某種反射光譜及時(shí)延特性的光柵結(jié)構(gòu)信息——耦合系數(shù)、反射率、折射率調(diào)制方式等。相對(duì)于根據(jù)光纖光柵的長(zhǎng)度、周期、折射率調(diào)制方式來(lái)分析計(jì)算其反射譜而言，光纖光柵的重構(gòu)又被稱(chēng)為光纖光柵的逆問(wèn)題、耦合模逆問(wèn)題[4]。

1 光纖Bragg光柵

從基本光學(xué)特性來(lái)看，F(xiàn)BG即是一個(gè)以其反射波長(zhǎng)（亦稱(chēng)布拉格波長(zhǎng)）為中心波長(zhǎng)的窄帶光學(xué)濾波器。其光學(xué)原理圖如圖1所示。

圖1 光纖布拉格光柵的光學(xué)原理圖Fig.1Schematic diagram of FBG based on optical theory

光纖光柵的布喇格波長(zhǎng)λB取決于光纖纖芯的有效折射率neff和光柵周期Λ，即

FBG是利用光敏光纖的光致折射率變化，把光纖放置于紫外光形成的空間干涉場(chǎng)中曝光而在纖芯內(nèi)形成的空間相位光柵。通常在光柵長(zhǎng)度為L(zhǎng)的小段光纖內(nèi)寫(xiě)入周期為Λ的光柵前，纖芯芯區(qū)折射率為n1，寫(xiě)入后，芯區(qū)的折射率發(fā)生周期性的變化，下面給出有效折射率neff及其變化Δneff的關(guān)系，即

式中：Λ為光柵周期，即折射率周期；

當(dāng)前眾多的光柵寫(xiě)入技術(shù)，其光柵區(qū)域的折射率調(diào)制表示形式較復(fù)雜，但對(duì)通常采用相位掩模技術(shù)寫(xiě)入的FBG來(lái)說(shuō)，其光致折射率的變化可簡(jiǎn)單表示為

式中ΔnDC和ΔnAC分別表示光柵折射率的直流調(diào)制幅度和交流調(diào)制幅度。

理想折射率調(diào)制情況下，條紋可見(jiàn)度V=l，即ΔnDC=ΔnAC。FBG屬均勻光柵，其折射率分布如圖2所示。從圖中可見(jiàn)不變，=0，則FBG的折射率可寫(xiě)為

圖2 FBG折射率分布圖Fig.2The profile of FBG's refractive index

2 傳輸矩陣法分析FBG

運(yùn)用分段均勻的傳輸矩陣法，將FBG分為無(wú)數(shù)個(gè)均勻光柵段，每個(gè)均勻光柵段由一個(gè)2×2矩陣進(jìn)行描述，將無(wú)數(shù)個(gè)矩陣相乘，就得到描述完整光柵光譜特性的傳輸矩陣。對(duì)于均勻光柵，耦合模方程存在解析解，可給出其正反向光波通過(guò)光纖光柵前后光場(chǎng)間的關(guān)系，即

式中：R(z)為沿z軸正向傳播的光波振幅；

S(z)為沿z軸反向傳播的光波振幅；

q為耦合系數(shù)。

用矩陣形式描述正反向光波的光場(chǎng)為

式（8）等號(hào)右端的2×2矩陣即稱(chēng)為光柵傳輸矩陣。

采用均勻分段描述法，F(xiàn)BG可被分解為無(wú)數(shù)個(gè)均勻光柵段，每一段光柵的結(jié)束是另一段光柵的開(kāi)始，利用式（8）對(duì)每一光柵段的正反向光場(chǎng)進(jìn)行描述，若Fj（j=1, 2, …, ∞）表示任意一小段均勻光柵的傳輸矩陣[2]，即

那么，整個(gè)光柵的傳輸矩陣可用F表示為

對(duì)于整個(gè)折射率均勻的調(diào)制光柵，其入射波R和反射波S（見(jiàn)圖3）之間的關(guān)系為[7]

式（11）中，對(duì)初始條件進(jìn)行分析，由于在光纖光柵的起始端，前向傳輸波還沒(méi)有與后向反射波發(fā)生耦合，所以必有

圖3 光柵傳輸矩陣模型Fig.3Fiber grating transfer matrix model

3 剝層算法重構(gòu)FBG

剝層（layer-peeling，LP）算法是一種基于因果規(guī)律的算法[6]。將長(zhǎng)度為L(zhǎng)的光柵分成足夠多的N段，每一段長(zhǎng)度為l，且周期均勻，同時(shí)，將每一段光柵看作一個(gè)反射系數(shù)為j(j=1, 2, …, N)的復(fù)反射器，耦合系數(shù)也被離散化為qj，光纖光柵就成為由多個(gè)復(fù)反射器級(jí)聯(lián)而形成的因果系統(tǒng)，相當(dāng)于上述傳輸矩陣分析法的離散分析系統(tǒng)，然后通過(guò)逐層遞歸計(jì)算光纖光柵的耦合系數(shù)，從而計(jì)算出光柵的折射率調(diào)制分布參數(shù)。

對(duì)反射率r進(jìn)行歸一化計(jì)算，可得其反射系數(shù) 。據(jù)剝層算法分析原理可知反射率的歸一化振幅——反射系數(shù)可表示為，所以，光纖光柵的反射率可表示為

根據(jù)光柵耦合理論，反射系數(shù)與耦合系數(shù)的關(guān)系可表示為

同時(shí)，耦合系數(shù)與折射率調(diào)制的關(guān)系為

根據(jù)式（14）可計(jì)算耦合系數(shù)，由式（15）中q(z)的幅值即可求出光柵的折射率交流調(diào)制幅度ΔnAC(z)。

剝層算法重構(gòu)FBG的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：根據(jù)因果系統(tǒng)的特性，光波在進(jìn)入光柵前，第1層反射器的耦合系數(shù)q1僅由光波到達(dá)該層時(shí)的響應(yīng)決定，從而獲得第1段光柵的傳輸矩陣；據(jù)傳輸矩陣法，隨著光波的傳輸，耦合效應(yīng)傳遞到下一層，故當(dāng)光波傳輸?shù)降?層反射器時(shí)，只要基于因果效應(yīng)剝離第1層反射器的耦合效應(yīng)，就可以計(jì)算出第2層反射器的耦合系數(shù)q2；重復(fù)上述步驟逐層計(jì)算，就可得到每層反射器的耦合系數(shù)qj，然后，根據(jù)耦合系數(shù)qj的幅值求出光纖光柵折射率的調(diào)制規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)光纖光柵重構(gòu)。

本文在理論研究的基礎(chǔ)上，利用Matlab軟件仿真一個(gè)目標(biāo)帶寬為1 nm、中心波長(zhǎng)為1 550 nm的光柵反射光譜，仿真結(jié)果見(jiàn)圖4。對(duì)比可知重構(gòu)光柵的反射譜與目標(biāo)反射譜的譜形基本一致，兩者的反射率相差不到1.5%。

圖4 光纖光柵的目標(biāo)反射譜和重構(gòu)反射譜Fig.4The reflection spectrum for the target and the reconstructed fiber Bragg grating

根據(jù)剝層算法計(jì)算得到目標(biāo)FBG的耦合系數(shù)，圖5所示為耦合系數(shù)的實(shí)數(shù)部分。利用耦合系數(shù)與折射率之間的關(guān)系，進(jìn)而得到光柵的折射率調(diào)制幅度ΔnAC(z)的分布，如圖6所示。由此可得Bragg光柵的折射率調(diào)制方式，同時(shí)計(jì)算了重構(gòu)光柵反射譜的群時(shí)延，結(jié)果見(jiàn)圖7。

圖5 重構(gòu)的光柵耦合系數(shù)Fig.5The coupling coefficient for reconstructed grating

圖6 重構(gòu)光柵的折射率調(diào)制分布Fig.6Refractive index modulation of reconstructed grating

圖7 重構(gòu)光柵的反射譜群延遲Fig.7The reflection spectrum of group delay for the reconstructed gratings

從圖7中可看出：重構(gòu)光柵的整個(gè)入射譜中最大的群延遲小于0.51 ps，相對(duì)于以往的計(jì)算結(jié)果[8]，其精度有了較大提高，且反射帶寬區(qū)域內(nèi)的群時(shí)延明顯小于透射譜的群時(shí)延。根據(jù)剝層算法重構(gòu)的FBG，反射出的光譜效果與目標(biāo)光譜基本吻合，因此，剝層算法可以較好地指導(dǎo)能反射出目標(biāo)光譜的FBG制作。

4 結(jié)語(yǔ)

本文從光纖光柵折射率調(diào)制原理入手，分析了FBG光柵的特性，利用傳輸矩陣法對(duì)FBG光譜進(jìn)行分析，選擇合適的切趾函數(shù)，對(duì)FBG重構(gòu)原理進(jìn)行了推導(dǎo)和詳細(xì)闡述，并利用剝層算法實(shí)現(xiàn)了光柵的重構(gòu)，達(dá)到了較理想的光柵反射要求。

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