劉 磊 丁劍飛 李 飛 楊 波 張 學(xué)

（石家莊機(jī)械化步兵學(xué)院 石家莊 050083）

1 引言

海浪的建模與繪制在電影、游戲、數(shù)字海洋、虛擬現(xiàn)實和虛擬戰(zhàn)場環(huán)境等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。海浪本身具有實時性、高動態(tài)性、多變性、多維性和模糊邊界環(huán)境性等方面因素，這都使得基于真實海洋環(huán)境仿真的研究還比較不成熟。隨著圖形處理硬件（GPU）的迅猛發(fā)展，增加海浪的真實感和實現(xiàn)海浪的快速繪制是一個急需并且可以解決的問題。同時，小范圍的海浪模擬研究相對來說比較成熟，但考慮海面與船舶等水面運(yùn)動物體雙向交互作用的大規(guī)模海洋場景的仿真還有很廣闊的研究價值。

關(guān)于海洋場景的仿真，有基于物理的方法，如比較經(jīng)典的SPH 模型［1～3］，它能較好地模擬物體和水體的交互作用，但只適合范圍較小、非實時的海洋場景仿真；基于高度場的仿真算法［4～5］，能較好地仿真海洋的表面，但是很少有作者對物體與水體的交互作用進(jìn)行考慮；有基于粒子系統(tǒng)的仿真算法，能取得一定的表面效果，但是生成的海洋場景具有人工因素，缺乏相應(yīng)的物理基礎(chǔ)，從而缺乏真實性。

本文提出了一種海浪交互模擬的有效方法。首先采用復(fù)合動態(tài)網(wǎng)格來仿真海面網(wǎng)格；其次，采用基于頻譜統(tǒng)計的FFT算法對非交互波浪進(jìn)行仿真，求得非交互波浪的高度場；接著，從剛體力學(xué)角度分析了交互波產(chǎn)生的位置和時機(jī)，通過引入仿真引擎和求解二維波動方程來實現(xiàn)對交互波的仿真，求得交互波的高度場。最后對兩種波的高度場進(jìn)行疊加，從而實現(xiàn)對海洋場景的整體仿真。

2 海面波浪仿真

2.1 波浪分類

我們把海洋上的波浪分為兩類，一類是交互波浪，就是因為和物體交互產(chǎn)生的波浪；另一類是非交互波浪，就是不存在和物體的交互。

2.2 波浪模擬

2.2.1 非交互波浪模擬

便可以計算梯度向量，微分得到：

用這種FFT方法生成的水面的高度圖如圖1所示。

圖1 高度場

圖2 RGB相關(guān)梯度圖

圖3 實際海面效果圖

圖4 加入光照效果圖

為了在GPU中實現(xiàn)更高效的計算，我們在上述結(jié)果的基礎(chǔ)上，直接由高度圖生成與其相對應(yīng)的R、G、B三個通道梯度圖。這樣不僅可以減少法向的計算量，還可以減少紋理所占用的內(nèi)存和顯存空間。其效果如圖2所示。最終渲染結(jié)果如圖3所示。對于高光部分的海面效果，我們利用了色調(diào)映射的方法增強(qiáng)了光照的效果，使得能在非常亮的地方看到高對比度的圖像如圖4。

2.2.2 交互波浪模擬

交互波浪是由海面上的物體和海面交互而產(chǎn)生的波浪。它是由運(yùn)動對象壓迫水體產(chǎn)生的。對于這種波浪的模擬，我們一般采用求解基于流體的Navier-Stokes方程組來進(jìn)行模擬。由于Navier-Stokes方程組是包含連續(xù)性方程、動量守恒方程和能量守恒方程的方程組，求解起來比較復(fù)雜。我們對其進(jìn)行簡化，采用求解二維的Navier-Stokes方程來模擬交互波浪。該二維波動方程只考慮水平方向速度分布，而忽略垂直方向速度來求解水面高度場，這是應(yīng)用比較廣泛的一種形式。

恒定張力作用下的二維表面質(zhì)點的運(yùn)動一般用二維波動偏微分方程表示，假設(shè)三維空間坐標(biāo)中XZ平面為水平面，水面高度場為Y軸正向方向，則含粘性阻尼力的二維波動方程如下：

上式中，高度場y（x，z，t）為水平面坐標(biāo)（x，z）和時間t的偏微分方程，c、μ分別是水波速度和阻尼系數(shù)。求解二維波動方程的方法有很多，我們采用有限差分方法（FMD）來對其進(jìn)行求解。因為有限差分方法過程直觀且容易采取GPU進(jìn)行求解。我們把二維水平面進(jìn)行離散，劃分為規(guī)格均勻網(wǎng)格，每一個網(wǎng)格的坐標(biāo)為（i，j），對于第k幀其中包含的值為y＝（xi，zj，tk）。應(yīng)用有限差分方法，我們可以近似求得上式中的各個組成部分：

3 船行波的模擬

3.1 剛體力學(xué)

我們知道，視覺的真實性不單單依賴于液體仿真，而且更加依賴于液體和物體交互的可信度。我們把交互分為：1）物體對液體的交互；2）液體對物體的交互。前者描述了漂浮物體的受力和它對液體運(yùn)動的影響。后者描述了液體對運(yùn)動的船只產(chǎn)生的作用或?qū)ξ矬w的影響。由于液體對船的影響相對來說較小，并且研究起來涉及比較復(fù)雜的力學(xué)分析，所以我們不予分析。

其中h（x，y）：?2→?描述了液體在位置（x，z）的高度，并且x＝（xx，xy，xz）T。Mtrot根據(jù)角加速度隨時間步長Δt做如下變化：

其中ΔMrot是Δt·‖M‖關(guān)于矢量M／‖M‖的轉(zhuǎn)動矩陣（M是角動量）。一個粒子集合的角動量等于每個粒子角動量的和。

因此，ΔMrot可以由每個粒子角動量的總和所決定。因此，我們可以仿真具有不同物理參數(shù)的任意形狀的物體。

下面我們來研究一下其穩(wěn)定性。由于為求得高性能，我們對剛體物體只使用了一個相對較小的離散化，所以當(dāng)一個粒子通過水面時，在水面，浮力的不連續(xù)會導(dǎo)致力的瞬間變化（突變）。為了避免這樣的邊緣效果，浮力隨水下距離dt線性變化，這樣浮力就會在水面變化為0。這樣剛體的運(yùn)動就會變得平滑，即使對于稀疏的樣品物體，亦是如此。

3.2 船的仿真

因為我們的方法使用粒子來模擬剛體物體，所以在仿真中我們可以控制物體為任意的形狀。明顯的，我們的性能會隨著粒子數(shù)目的增多而降低。為了減少粒子的數(shù)目，我們僅僅模擬船身。因為物理計算建立在每一個粒子的基礎(chǔ)上，所以這種方法會在非交互波的的基礎(chǔ)上產(chǎn)生真實的運(yùn)動。

3.3 交互波產(chǎn)生的時機(jī)和位置

因為我們不仿真液體流，所以來自剛體的波浪產(chǎn)生僅僅當(dāng)物體下沉或運(yùn)動時才會發(fā)生。對于下沉物體的情形，當(dāng)物體正在橫穿水面時，一種擁有物體和水面交互形狀的波會產(chǎn)生。為了決定波的開始時間，每一個物體需要知道它的狀態(tài)s：（s＝0）在水面之上，（s＝1）在水面之下。這個狀態(tài)在每一時間步刷新，并且當(dāng)物體開始橫穿表面時，波會產(chǎn)生。

如果對于一個給定的剛體物體，式（12）等于1，那么物體已經(jīng)橫穿了水表面，并且產(chǎn)生了波。因此，物體與表面平面的交互投影到仿真網(wǎng)格上，根據(jù)影響的強(qiáng)度來確定幅度。

對于由運(yùn)動的物體引起而產(chǎn)生的波，我們充分利用下面的物理特性。對于一個運(yùn)動船體，船頭的壓力比船尾大。這樣，在船的前面會產(chǎn)生正向的波，在船的后面會產(chǎn)生負(fù)向的波。產(chǎn)生波的振幅依賴于船的速度。為了確定船在一個時間步長內(nèi)通過的區(qū)域，我們把當(dāng)前和先前時間步長內(nèi)的位置和方向結(jié)合起來。對每一時間步長我們產(chǎn)生一個包括船體和水面交互的圖。因為計算精確的交互區(qū)域花銷太大，因此我們做兩個假設(shè)：1）我們近似表面為平面。因為非交互波和海洋表面的面積比起來通常很小，因此這是一個合理的假設(shè)。然而在具有大量非交互波的場景中，這個假設(shè)可能會成為一個瓶頸并且導(dǎo)致加工的痕跡。在最終的繪制中，這個差異幾乎是不可見的，因為船在水中，并且隨船體產(chǎn)生的波浪疊加到非交互波上面。2）我們假設(shè)每一個船的切面在y＝常數(shù)內(nèi)。y＜0是y＝0切面的子集。切面定義為多邊形船和平面y＝常數(shù)的橫切面。對于大多數(shù)水面的小船，甚至雙體船來說，這個假設(shè)都是有效的。對于被拉出水面的比較復(fù)雜的漂浮物體來說，需要采用一種更加高級的方法。例如，通過使用兩個平面y＝±ε進(jìn)行剔除，橫切面可以被精確地提取出來。因此，即使對擁有復(fù)雜形狀的正在劇烈運(yùn)動的物體來說，它們也將在邊界層橫斷面產(chǎn)生波。在橫斷面st的紋理產(chǎn)生以后，把它和來自先前時間步的對應(yīng)的紋理相結(jié)合?？紤]紋理作為一個集合，三個不同的波產(chǎn)生狀態(tài)可以如下建立：

圖5 船行波的疊加

1）頭波：st＼st－1

2）船體：Bt＝st∩st－1

3）尾波：st－1＼st

為了產(chǎn)生波，波浪強(qiáng)度可能從實際仿真網(wǎng)格值中添加或剔除。因此，當(dāng)仿真的船和存在的波相互影響時，產(chǎn)生的波和存在的波便會相互干涉，考慮這是必要的。如果這種效果不需要，那么仿真網(wǎng)格中的值可以很簡單地被替換。如果被替換，那么它們將輕微地變化，并且和前面的變化相一致。這樣，在船外形上的人為加工感會降低并且會產(chǎn)生頭波。如果船速比波的傳播速度快，那么頭波會始終保持在前面。為了更加逼真，這個區(qū)域可以通過如今電腦游戲熟知的飛濺效果加以改善。

3.4 交互波仿真

對于頭波和尾波，我們使用干擾引擎來對其進(jìn)行仿真。為了能大體模擬上述船行波效果，我們設(shè)計一個較大的船頭波干擾引擎和m個較小的船尾波引擎，并且設(shè)定第i個船尾波干擾引擎的位置ez為：

其中，w為船的寬度。在具體的實驗中，干擾引擎的幅度和廣度是由船舶的重量大小決定的，因此需要根據(jù)船體的形狀來構(gòu)造船頭和船尾波干擾引擎，在船行駛過程中對水面高度場進(jìn)行干擾。下面我們分別對船頭波和船尾波設(shè)計不同的平滑擾動模板來實現(xiàn)船行波的平滑?，F(xiàn)實中，船在行駛過程中，從船頭向后左右兩側(cè)形成兩股大波，類似于人字形波。所以我們應(yīng)用一個幅度和范圍較大的擾動模板算子D（x，z）。并且通過在網(wǎng)格的不同位置設(shè)置不同的擾動系數(shù)來實現(xiàn)人形波的平滑。我們?nèi)缦略O(shè)定D（x，z）。

相應(yīng)的，在船尾處，我們設(shè)計m個范圍和幅度相對較小的擾動引擎。對于其擾動平滑模板，我們把網(wǎng)格中心點擾動系數(shù)設(shè)計為0.3，與中心點相鄰的四個點系數(shù)設(shè)計為0.15。則船尾波引擎模板矩陣算子F（x，z）為：

圖6 船只左轉(zhuǎn)彎時海洋場景仿真

圖7 船只右轉(zhuǎn)彎時的海洋場景仿真

在完成了上述的仿真后，我們采用標(biāo)準(zhǔn)的光照模型和立方體映射以及文獻(xiàn)［6～7］中的反射和折射繪制技術(shù)來實現(xiàn)對水體中物體的折射和反射現(xiàn)象的仿真。最終的仿真結(jié)果如圖6和圖7。

4 實驗

在基于上述模型的理論基礎(chǔ)上，我們進(jìn)行了仿真實驗工作。本文所采用的實驗平臺為Intel Xeon CPU 16核2.27GHz，主存為12G，顯卡采用的是GeForce GTX295，顯卡內(nèi)存為1800M，操作系統(tǒng)為 Windows XP，整個實現(xiàn)基于 OpenGL／Cg。在繪制時，我們還加入了色調(diào)映射（Tone Map）［8］和高動態(tài)范圍（HDR）［9］圖像處理技術(shù)等特效來加強(qiáng)海面場景繪制時的光照效果的真實感。我們得到了有關(guān)的實驗數(shù)據(jù)如表1和表2。

表1 不同網(wǎng)格步長下的幀速率

表2 相同網(wǎng)格尺寸下各部分仿真時間消耗所占百分比

對于表1來說，我們可以看出幀速率隨網(wǎng)格步長的增大而增大。也就是說幀速率隨著分辨率的增加而降低，但總體來看，幀速率相對來說還是比較高的，能滿足實時性要求。對于表2來說，表面提取和渲染所花費(fèi)的時間較多，盡管它能在GPU上有效地執(zhí)行。我們的方法需要不斷地從GPU中讀回。因為剛體仿真是在CPU上執(zhí)行的，所以包圍剛體的局部區(qū)域需要不斷地從GPU讀回來實現(xiàn)剛體物體的仿真。

5 結(jié)論與展望

本文給出了一種仿真擁有交互物體的大規(guī)模海洋場景的方法，采用復(fù)合動態(tài)網(wǎng)格來仿真海面網(wǎng)格；采用基于頻譜統(tǒng)計的FFT算法求得非交互波浪的高度場；從剛體力學(xué)角度分析了交互波產(chǎn)生的位置和時機(jī)，通過引入仿真引擎和求解二維波動方程來求得交互波的高度場。最后對兩種波的高度場進(jìn)行疊加，從而實現(xiàn)對海洋場景的整體仿真。將來可能改進(jìn)的工作：在需要的區(qū)域，利用基于3D Navier Stoke方程［10］來實現(xiàn)對流的仿真；仿真水對船的交互；添加3D液體效果，如液體飛濺等；進(jìn)一步利用GPU提高仿真的效率。

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