譚 玲

（中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

Linex損失下二項分布參數(shù)的 Bayes估計

譚 玲

（中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

在 Linex損失函數(shù)下討論了二項分布參數(shù)的 Bayes估計，當(dāng)先驗分布取 Beta分布和冪分布時分別給出了參數(shù)的 Bayes估計，多層Bayes估計，E－Bayes估計的精確形式，并證明了 Bayes估計的可容許性。

Bayes估計；多層 Bayes估計；E－Bayes估計；可容許性

0 引言

則稱隨機變量 X服從參數(shù)為 θ的二項分布。

自從 Linex損失函數(shù)被提出以來，許多學(xué)者對其進(jìn)行了大量的研究，文獻(xiàn)［1］研究了 Linex損失下Pareto分布族參數(shù)的經(jīng)驗 Bayes估計，文獻(xiàn)［2］在Linex損失函數(shù)下研究逆高斯分布參數(shù)倒數(shù)的 Bayes估計，文獻(xiàn)［3］研究了 Linex損失下 Rayleigh分布參數(shù)倒數(shù)的 Bayes估計，文獻(xiàn)［4］研究了在Linex損失下指數(shù)分布刻度參數(shù) EB估計的漸近最優(yōu)性，本文在 Linex損失函數(shù)下研究二項分布參數(shù)的 Bayes估計。

定義［5］若隨機變量 X的分布密度為

1 參數(shù) θ的 Bayes估計

設(shè) X服從二項分布，X1，X2，…，Xn是來自總體為 X的容量為 n的簡單隨機樣本，x1，x2，…，xn為X1，X2，…，Xn的實現(xiàn)值，由（1）得X1，X2，…，Xn的聯(lián)合密度函數(shù)為

取 Linex損失函數(shù)為

其中 λ為不等于零的常數(shù)，δ為 θ的估計。

下面討論參數(shù)θ的Bayes估計，設(shè)θ先驗分布G (θ)，且G(θ)有密度dG(θ)＝g(θ)dθ。

引理1［6］在Linex損失函數(shù)（3）下，對于 θ的任一先驗分布 g(θ)，θ的Bayes估計為

定理1 在Linex損失函數(shù)（3）下，取 θ的先驗分布為 Beta分布，記為βa，( )b，則二項分布參數(shù)θ的 Bayes估計為

證明：由于參數(shù)θ的先驗分布為 Beta分布，所以 θ的先驗概率密度函數(shù)為

其中參數(shù) a＞0，b＞0，

可得 θ的后驗概率密度為

所以后驗分布服從 Beta分布

定理2 在 Linex損失函數(shù)（3）下，取 θ的先驗分布為冪分布，則二項分布參數(shù) θ的 Bayes估計為

證明：因為參數(shù) θ的先驗分布為冪分布，所以 θ的先驗概率密度函數(shù)為

其中0＜θ＜1，α＞0為超參數(shù)，

由（2），（7）可得 θ的后驗概率密度為

2 參數(shù) θ的 Bayes估計的可容許性

為了證明參數(shù)θ的 Bayes估計的可容許性，下面給出一個引理。

引理2 在給定的Bayes決策問題中，假如對給定的先驗分布 π (θ)，θ的 Bayes估計 δB(x)是唯一的，則它是容許估計。

定理3 對于參數(shù)θ任一先驗分布，在 Linex損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes估計是可容許估計。

證明：由 Linex損失函數(shù)的表達(dá)式（3）可知該損失函數(shù)是關(guān)于 δ的凸函數(shù)，得參數(shù) θ的Bayes估計必定是唯一的，由引理 2得 θ的 Bayes估計是可容許估計。

3 參數(shù) θ的多層 Bayes估計

當(dāng) βa，( )b分布的超參數(shù) a＞1且0＜b＜1時，Beta分布密度函數(shù)是參數(shù) θ的增函數(shù)，a，b的先驗分布分別取為

其中 c是一個常數(shù)，為了保證Bayes估計的穩(wěn)健性，c的取值不宜過大。

通過下面的定理給出參數(shù)θ的多層 Bayes估計。

定理4 在Linex損失函數(shù)（3）下，對于第一層先驗分布密度函數(shù)為（5）式，第二層先驗分布為（8）式，二項分布參數(shù) θ的多層 Bayes估計為

證明：由（5），（8）式得二項分布參數(shù) θ的多層先驗密度為

得 θ的后驗概率密度函數(shù)為：

由（10）可計算出：

由（4）、（11）得參數(shù) θ的多層Bayes估計為

當(dāng) θ的先驗分布為冪分布時，考慮到冪函數(shù)的性質(zhì)及 Bayes估計的穩(wěn)健性，α不宜過大，設(shè)其上界為 d，一般取 2≤d≤6，取超參數(shù) α的先驗分布為均勻分布

定理 5 在Linex損失函數(shù)（3）下，對于第一層先驗分布為冪分布（7）式，第二層先驗分布為（12）式，二項分布參數(shù) θ的多層Bayes估計為

證明：由（7），（12）式得二項分布參數(shù)θ的多層先驗密度為

得 θ的后驗概率密度函數(shù)為：

可計算出：

將（15）代入（4）式得參數(shù) θ的多層 Bayes估計為

4 參數(shù) θ的E－Bayes估計

為了給出參數(shù)θ的 E－Bayes估計的表達(dá)式，先給出 E－Bayes估計的定義。

定義［8］如果 δa，( )b是參數(shù) θ的 Bayes估計，a，b為超參數(shù)，且 δa，( )b是連續(xù)的，則稱

定理6 在Linex損失函數(shù)（3）下，二項分布參數(shù) θ的先驗分布為 Beta分布時，參數(shù)θ的 E－Bayes估計為

證明：由定理1可知參數(shù)θ的先驗分布為 Beta分布時 θ的Bayes估計為

結(jié)合（8），（16）得參數(shù)θ的E－Bayes估計為

定理7 在Linex損失函數(shù)（3）下，二項分布參數(shù) θ的先驗分布為 Beta分布時，參數(shù)θ的 E－Bayes估計為

證明類似于定理 6。

［1］康會光，師義民.Linex損失下Pareto分布族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2001，17（2）：169－174.

［2］鄧立鳳，韋程東，蘇韓.Linex損失下逆高斯分布參數(shù)倒數(shù)的Bayes估計［J］.上饒師范學(xué)院學(xué)報，2009，29（3）：15－18.

［3］陳志強，韋程東，韋瑩瑩.Linex損失下 Rayleigh分布參數(shù)倒數(shù)的 Bayes估計［J］.廣西科學(xué)，2007，14（4）：362－364.

［4］劉榮玄，黃璇.在 Linex損失下指數(shù)分布刻度參數(shù) EB估計的漸近最優(yōu)性［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2009，35（2）：166－170.

［5］韋程東，韋師，陳志強.對稱損失下二項分布參數(shù)的Bayes估計問題［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，49（3）：367－372.

［6］康會光，趙小山，師義民.Linex損失下單邊截斷型分布族參數(shù)的EB估計［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2001，14（3）：82－86.

［7］茆詩松，王靜龍.高等數(shù)理統(tǒng)計學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1998：367－368.

［8］韓明.Pascal分布的參數(shù)估計［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，2（4）：510－514.

［責(zé)任編輯 賀小林］

The Bayesian Estimation of Binom ial Distribution Parameter Reciprocal Under Linex Loss

TAN LING
（School of Sciences，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116，China）

It discussed the Bayesian estimation of binomial distribution parameter under Linex loss function，given the precise form of Bayesian estimation，multi－layered Bayesian estimation and E－Bayesian estimation when prior distribution was taken to beta distribution and power distribution，finally，it proved the admissibility of Bayesian estimation.

Bayesian estimation；multi－layered Bayesian estimation；E－Bayesian estimation；the admissibility

O212.1

A

1004-602X（2011）02-0024-03

2011 -03 -19

譚玲（1987—），女，湖南湘潭人，中國礦業(yè)大學(xué)在讀碩士研究生。