鐘艷春，楊慶俊，包 鋼

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

氣動(dòng)隔振系統(tǒng)承載力大、有效行程大、隔振效果優(yōu)異，廣泛應(yīng)用在儀器平臺(tái)、光學(xué)平臺(tái)、精密加工與檢測(cè)、艦船動(dòng)力設(shè)備隔振、車輛懸掛等的振動(dòng)隔離［1－4］。由于非線性微分動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性，空氣彈簧的彈性恢復(fù)力非線性對(duì)隔振系統(tǒng)特性的影響沒(méi)有同時(shí)得到適當(dāng)?shù)难芯?，絕大多數(shù)的設(shè)計(jì)、研究都以隔振系統(tǒng)工作在微幅振動(dòng)的條件下進(jìn)行線性化，氣動(dòng)被動(dòng)隔振系統(tǒng)常被簡(jiǎn)化為由空氣彈簧的彈性、阻尼器的阻尼以及被隔載荷的質(zhì)量形成的彈簧－阻尼－質(zhì)量系統(tǒng)，大振幅條件下空氣彈簧非線性的影響則簡(jiǎn)化為彈簧剛度系數(shù)和自振頻率的變化［5－6］。在主動(dòng)控制中，大多也沿用這種線性模型［7］。這樣的處理對(duì)于處于微幅振動(dòng)的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是適當(dāng)?shù)?，但是?duì)于大振動(dòng)幅度的應(yīng)用，線性模型不再有效。在Koyanagi等［8］的研究中指出車輛空氣懸架振動(dòng)隔離具有較強(qiáng)的非線性，不僅使精確設(shè)計(jì)隔振特性十分困難，而且是引起車輛連續(xù)橫滾的主要原因。

近年來(lái)逐漸有學(xué)者開(kāi)始了氣動(dòng)隔振系統(tǒng)的非線性研究，Philips公司的 Marcel Heertjes［9］研究了氣體壓縮的非線性對(duì)傳遞率和導(dǎo)納的影響。陳帥，溫金鵬等［10－11］應(yīng)用能量方程，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、理想氣體方程，建立了彈性織布?xì)饽业木彌_動(dòng)力學(xué)模型。方瑞華［12］將氣體壓縮性的非線性按泰勒展開(kāi)為三次多項(xiàng)式后，求解了其二倍頻響應(yīng)，并在模型試驗(yàn)中清楚地發(fā)現(xiàn)了倍頻響應(yīng)和零偏。尹萬(wàn)建［13］用3次多項(xiàng)式擬合膜式空氣彈簧的實(shí)測(cè)彈性非線性，研究汽車空氣彈簧懸架的非線性動(dòng)力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)了倍頻、分頻等非線性現(xiàn)象，以及這些現(xiàn)象與非線性彈性多項(xiàng)式的系數(shù)的關(guān)系 。然而，這些研究都將氣動(dòng)隔振系統(tǒng)的非線性表示成多項(xiàng)式的形式，這可能和實(shí)際的模型有一定差別，本文從基本的方程入手，對(duì)氣動(dòng)隔振系統(tǒng)非線性特性進(jìn)行了仿真與數(shù)值分析。

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型建立

為了方便起見(jiàn)，本文選用簡(jiǎn)單的單腔氣彈簧對(duì)其進(jìn)行非線性特性分析，其物理模型簡(jiǎn)單表示如圖1。

圖1 氣動(dòng)隔振系統(tǒng)模型簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of the neumatic vibration isolation system

本文將氣彈簧的機(jī)械彈簧剛度(如波紋管式氣彈簧中波紋管的縱向剛度、囊式氣彈簧橡膠及簾線形成的縱向剛度等)單獨(dú)列出，并設(shè)為k，內(nèi)阻尼系數(shù)為c(設(shè)為線性粘性阻尼力)，則載荷運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為:

式中:p為氣腔內(nèi)壓力，p0為大氣壓力，A為氣體有效作用面積，m為載荷質(zhì)量，x為載荷振動(dòng)，xb為基座振動(dòng)。

設(shè)腔內(nèi)空氣為理想狀態(tài)氣體，其氣體狀態(tài)方程為:

式中:V0為氣彈簧初始容積，A2為氣彈簧容積面積，mg為氣腔內(nèi)氣體質(zhì)量，R為空氣氣體常數(shù)，T為腔內(nèi)氣體溫度。

氣體熱力學(xué)方程:

式中，hn為筒壁與腔內(nèi)氣體之間熱交換系數(shù)，Tw為筒壁溫度，Cv為空氣比熱。

筒壁熱力學(xué)方程:

式中，hw為筒壁與腔外氣體之間熱交換系數(shù)，Ta為腔外氣體溫度，mt為筒壁質(zhì)量，Ct為筒壁比熱。

2 系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻譜分析

以上動(dòng)態(tài)方程可以看出，這是一個(gè)具有一定非線性的系統(tǒng)。根據(jù)以上各方程，利用Matlab軟件對(duì)模型進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果對(duì)于以后的數(shù)學(xué)分析及實(shí)驗(yàn)具有很好的指導(dǎo)意義。各參量選取如表1所示。

表1 算例系統(tǒng)計(jì)算參數(shù)Tab.1 Parameters of example vibration isolation system

仿真模型中激勵(lì)幅度為0.025 m，初始?jí)毫?.3 MPa，仿真時(shí)間取1500 s，此時(shí)系統(tǒng)已處于穩(wěn)態(tài)。激勵(lì)頻率 ω'依次選 1 rad/s，10 rad/s，20 rad/s，50 rad/s，100 rad/s，300 rad/s。其響應(yīng)頻譜依次如圖2(a～f)所示。

圖2 不同激勵(lì)頻率響應(yīng)幅值譜Fig.2 Amplitude spectrum under different excited vibration frequency

從以上各圖中分析可以看出:單頻激勵(lì)會(huì)誘發(fā)高次諧波，且具有較高的幅度。高次諧波的幅度隨激勵(lì)頻率的變化而變化:當(dāng)激勵(lì)頻率很低時(shí)，高次諧波幅度小，激勵(lì)頻率越低，高次諧波越小(如圖2a，b);當(dāng)激勵(lì)頻率很高時(shí)，高次諧波幅度小，激勵(lì)頻率越高，高次諧波越小(如圖2e，f);激勵(lì)頻率為中間頻率，即系統(tǒng)線性化固有頻率附近時(shí)，高次諧波嚴(yán)重，甚至要5、6次諧波才衰減到主峰的1%以下(如圖2c，d)。

由于系統(tǒng)的非線性，導(dǎo)致振動(dòng)中心點(diǎn)偏移，為了解偏移的規(guī)律性，圖3列出了在不同激勵(lì)幅值下系統(tǒng)零頻偏移隨頻率變化的曲線。激勵(lì)幅度取值范圍為:0.0025 m ～0.06 m。

從圖3中可以看出，零頻偏移隨頻率變化明顯，低頻和高頻時(shí)，零頻偏移很小，中頻段零頻偏移大;其值也隨激勵(lì)幅度變化而變化，激勵(lì)幅值越大，零頻偏移越大。圖4為不同激勵(lì)幅度下，系統(tǒng)基頻振幅隨頻率變化響應(yīng)曲線。

從圖4可以看出，系統(tǒng)在低頻時(shí)，非線性特性不明顯，基頻響應(yīng)跟隨激勵(lì)幅值，中頻段非線性現(xiàn)象明顯，尤其在共振頻率14 rad/s附近，基頻響應(yīng)峰值很高，在高頻段系統(tǒng)隔振效果比較好，幅值衰減得很快。

不同激勵(lì)幅度下，基頻能量占系統(tǒng)總能量的比值見(jiàn)圖5所示。

從圖5中可以看出，系統(tǒng)在低頻和高頻段，基頻能量占系統(tǒng)總能量的比值接近1，在中頻段能量分布比較分散，共振頻率14 rad/s附近，激勵(lì)幅值為0.06 mm時(shí)，基頻能量占系統(tǒng)總能量的比值為0.98。不同激勵(lì)幅度下，系統(tǒng)的一倍頻幅值響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖3 零頻偏移曲線Fig.3 Displacement at zero frequency

圖4 基頻幅值響應(yīng)曲線Fig.4 Amplitude response at fundamental frequency

圖5 基頻能量曲線Fig.5 Energy at fundamental frequency

圖6 一倍頻幅值響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude response at one octave

和基頻幅值響應(yīng)不同，在低頻時(shí)，系統(tǒng)一倍頻響應(yīng)小。在系統(tǒng)線性化固有頻率14 rad/s附近，激勵(lì)幅值為0.06 mm 時(shí)，共振峰達(dá)到 0.01 m。

不同激勵(lì)幅度下，一倍頻能量占系統(tǒng)總能量的比值見(jiàn)圖7所示。

一倍頻能量占系統(tǒng)總能量在系統(tǒng)線性化固有頻率14 rad/s附近達(dá)到最大值，激勵(lì)幅值為0.06 mm時(shí)，比值為0.005，并且隨激勵(lì)幅值的增大而變大。

圖7 一倍頻能量曲線Fig.7 Energy at one octave

3 數(shù)值計(jì)算

假設(shè)基座的運(yùn)動(dòng)為:

對(duì)載荷響應(yīng)的頻譜分析表明，穩(wěn)態(tài)解中除激勵(lì)頻率成分外，還包含有零頻分量，即偏移、包含有1/2分頻、包含倍頻、包含3/2、5/2等頻率成分。以該仿真結(jié)果為指引，假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量p、x、Tw和T均包含零頻分量和1/2分頻及其各次倍數(shù)分量，即:

將式(5)～式(7)代入方程(1)，得:

該方程為線性方程，令對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，可得:

特別地，當(dāng)i=0時(shí)有:

當(dāng)i=2時(shí)有:

將式(5)～式(8)代入方程(2)，得:

為方便起見(jiàn)，將V0合并到XB0中并仍記為XB0，將－A0合并到 XA2中并仍記為XA2。將左邊交叉相乘，將以上各項(xiàng)中的系數(shù)合并，并令其等于方程右端對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，則:

特別地，當(dāng)i=j=0時(shí)有:

k=0的左端與k=1、2、3等相比少一項(xiàng)，這是因?yàn)榇藭r(shí)第二項(xiàng)與第三項(xiàng)屬于重復(fù)計(jì)算，只應(yīng)保留一項(xiàng)。

記:

則方程(15)、(16)、(17)可化為:

將式(5)～式(9)代入方程(3)，得:

為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便起見(jiàn)，將方程中左端的ωA0cosωt合并到中，方程左端交叉相乘，將各項(xiàng)中的系數(shù)合并，并令其等于方程右端對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，則:

特別地，當(dāng)i=j=1時(shí)有:

則方程(20)、(21)、(22)可化為:

將式(6)～式(9)代入方程(4)，得:

令對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得:

方程(25)可化為:

以上公式求解可用迭代法，通過(guò)計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算步聚按圖8的流程進(jìn)行。

4 算例分析

為了驗(yàn)證本迭代計(jì)算方法的可行性，下面對(duì)該方法進(jìn)行算例分析。本算例源自某型車輛隔振，氣動(dòng)隔振器具有大行程，大功率重量比，無(wú)污染等優(yōu)點(diǎn)，在豪華客車、載貨汽車和高級(jí)轎車上得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。本文所選參數(shù)為單個(gè)隔振器按比例所得，其值見(jiàn)表1所示。

必須說(shuō)明的是，本迭代法中迭代結(jié)果與初始假設(shè)解中的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，所取項(xiàng)數(shù)越多其解越精確，這與諧波平衡法的基本思想是一致的。該項(xiàng)數(shù)的取值與頻率有關(guān)，從上面的仿真結(jié)果可知，在中頻段，即系統(tǒng)線性化固有頻率附近時(shí)，其非線性特性比較明顯，亦即其倍/分頻項(xiàng)比較多，所以在中頻段時(shí)所取的項(xiàng)數(shù)要多些，其結(jié)果才會(huì)更精確;反之在低頻和高頻段時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的倍/分頻分量相對(duì)要少，為了使計(jì)算簡(jiǎn)便，初始假設(shè)解中的項(xiàng)數(shù)可以相應(yīng)取得少些。本算例中激勵(lì)幅值取為0.025 m，激勵(lì)頻率取為20 rad/s，處于中頻段比較靠近系統(tǒng)線性化固有頻率，在其激勵(lì)下，系統(tǒng)非線性現(xiàn)象比較明顯，具有很好的典型性。初始假設(shè)解中的項(xiàng)數(shù)取10，用本迭代法進(jìn)行了迭代，其迭代所得系數(shù)結(jié)果見(jiàn)表2所示。

圖8 求解迭代流程Fig.8 Iteration flow chart

表2 系數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculations of coefficients

從表2中可以看出，迭代系數(shù)中，相對(duì)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)來(lái)說(shuō)基數(shù)項(xiàng)系數(shù)很小，即系統(tǒng)倍頻現(xiàn)象明顯，而分頻現(xiàn)象微弱，從仿真曲線圖2(c)中可以看出，響應(yīng)頻譜中出現(xiàn)了 20 rad/s，40 rad/s，60 rad/s，80 rad/s，100 rad/s，120 rad/s等頻率，即其倍頻現(xiàn)象很明顯，和數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合性好。該數(shù)值計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)［12］實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果也是一致的，文獻(xiàn)［12］試驗(yàn)證明了空氣懸架非線性振動(dòng)系統(tǒng)的輸出頻率不但是異頻輸出，即不同于激勵(lì)頻率，而且輸出頻率基本都是激勵(lì)頻率的整數(shù)倍，即有很明顯的倍頻現(xiàn)象。從表2還可以看出倍數(shù)越高，系數(shù)越小，這和圖5所得基頻能量占系統(tǒng)總能量的比值接近1吻合。

圖9 仿真與數(shù)值計(jì)算結(jié)果誤差曲線Fig.9 Error curve of the simulation and numerical calculation results

將表2所得系數(shù)代入式(6)中，即可得振動(dòng)幅值隨時(shí)間變化曲線，圖9是數(shù)值計(jì)算與仿真結(jié)果的誤差曲線，圖中仿真時(shí)間從1497 s～1500 s，此時(shí)間段系統(tǒng)已完全處于穩(wěn)定狀態(tài)。從圖中可以看出，二者吻合性很好，誤差很小，基本重合。

5 結(jié)論

本文建立了氣動(dòng)隔振系統(tǒng)的非線性模型，在此基礎(chǔ)上對(duì)模型進(jìn)行了仿真分析及數(shù)值計(jì)算。研究的主要結(jié)論有:

(1)系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性特性，在單頻簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)明顯的倍頻、分頻、零偏現(xiàn)象;

(2)系統(tǒng)在線性化固有頻率附近，倍/分頻、零偏現(xiàn)象明顯，其值隨激勵(lì)幅值的增大而增大;

(3)在諧波平衡法的基礎(chǔ)上，提出了一種可行的非線性數(shù)值解法，仿真與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合性好，從而驗(yàn)證了該數(shù)值計(jì)算方法的有效性。

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