晏月平 ，戴前偉，蔡家雄 ，魯光銀

(1. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；2. 湖南省有色地質(zhì)勘查局，湖南 長(zhǎng)沙，410000；3. 湖南省國(guó)土資源廳，湖南 長(zhǎng)沙，410004)

以復(fù)變函數(shù)[1]為基礎(chǔ)、建立于經(jīng)典靜位場(chǎng)理論基礎(chǔ)之上的磁法勘探方法[2-3]，由于正演理論較其他地球物理勘探方法成熟，所以，率先在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)了一系列的反演方法和技術(shù)，尤其是近30年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，地球物理反演的理論和方法得到了極大的發(fā)展[4-5]。Backus-Gilbert反演理論[6]、廣義逆矩陣?yán)碚摗⒔y(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)、最小二乘參數(shù)估計(jì)、最大似然法參數(shù)估計(jì)、正則化理論、約束最優(yōu)化、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、遺傳算法[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[8]等得到應(yīng)用。這些方法在磁法反演上的共同特點(diǎn)是，在觀測(cè)數(shù)據(jù)與模型之間建立一種函數(shù)關(guān)系，在解釋過(guò)程中不斷修改模型參數(shù)[9-10]，不斷評(píng)價(jià)觀測(cè)值與理論模型計(jì)算值的擬合程度，最后通過(guò)某種評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)中斷反演進(jìn)程求得最終模型。它們的實(shí)質(zhì)都是完全以位場(chǎng)理論為基礎(chǔ)尋求獲得穩(wěn)定解和收斂速度的計(jì)算方法，由于過(guò)多依賴(lài)于計(jì)算技巧的運(yùn)用，在理論上難以有實(shí)質(zhì)性的突破，同時(shí)，這些方法在解釋過(guò)程中有一系列近似條件的設(shè)定和線(xiàn)性方程組[11]的求解，這些過(guò)程勢(shì)必導(dǎo)致誤差累加，影響反演結(jié)果的真實(shí)性。特征點(diǎn)法[12]是一種簡(jiǎn)便而快速的定量解釋方法，解釋是以剖面磁異常特征為基礎(chǔ)，但由于缺少完整的數(shù)學(xué)模型，依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)積累和簡(jiǎn)單的幾何運(yùn)算，其定量計(jì)算結(jié)果難以取得好的效果，尤其對(duì)復(fù)雜異常或迭加異常，特征點(diǎn)解釋法更是難以進(jìn)行。本文作者提出的方法其理論原形可以追溯到特征點(diǎn)法，但方法的實(shí)質(zhì)和求解過(guò)程遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了特征點(diǎn)法的概念范疇。它試圖擺脫現(xiàn)有各類(lèi)反演方法，以板狀體磁異常為切入點(diǎn)，以磁異常平面和剖面特征為突破對(duì)象，通過(guò)提取異常共軛元等特征參數(shù)，建立磁異常圖形變換的數(shù)理模型，并以變換圖形的手段實(shí)現(xiàn)磁異常的反演解釋?zhuān)谕麨榇欧碧降恼囱萦?jì)算提供新的途徑。

1 板體磁場(chǎng)計(jì)算公式

對(duì)特定地理環(huán)境下的板狀體，已知板體寬度2b，板體走向長(zhǎng)度為2L，板體下延長(zhǎng)度為l，上項(xiàng)埋深為h，板傾角為β，中心點(diǎn)坐標(biāo)為x0等，如圖1所示。若知道地磁場(chǎng)傾角I0、板體走向與磁北的夾角A和剖面內(nèi)有效磁化傾角is，則剖面任意點(diǎn)處總強(qiáng)度磁異常ΔT計(jì)算公式[13]為：

圖1 薄板體幾何及磁場(chǎng)要素圖Fig.1 Thin body geometry and magnetic field elements

式(1)最初由Grant提出[13]，該公式對(duì)三度、似二度、二度異常均較適用，但由于在角度處理上存在問(wèn)題，因而，一直未能得到推廣使用。本文在利用此式前對(duì)相關(guān)錯(cuò)誤進(jìn)行糾正，并通過(guò)理論模型驗(yàn)算。本文提出的公式是修正后的公式。

2 共軛三角形建立及圖形轉(zhuǎn)換

磁異常共軛三角形及共軛元如圖2所示。圖2中曲線(xiàn)為單一板體磁異常曲線(xiàn)，異常包含了峰值區(qū)和谷值區(qū)2個(gè)主要部分。在圖2中，線(xiàn)段AB和AV所在直線(xiàn)分別是通過(guò)峰值左翼拐點(diǎn)P1和右翼拐點(diǎn)P2的切線(xiàn)，線(xiàn)段VC所在直線(xiàn)是通過(guò)谷值區(qū)右翼拐點(diǎn)P3的切線(xiàn)，3條線(xiàn)段交匯構(gòu)成一對(duì)底邊平行，并以AV為公共邊的三角形，這里稱(chēng)之為共軛三角形，其中三角形BAV與板體磁場(chǎng)峰值區(qū)對(duì)應(yīng)，形象地稱(chēng)為“A型”三角形；三角形AVC與谷值區(qū)對(duì)應(yīng)，形象地稱(chēng)為“V”型三角形，線(xiàn)段AV稱(chēng)為共軛邊。三角形的高AU及VW將底邊分成 BU，UV，AW 和 WC，顯然，a，c，d和e這4個(gè)線(xiàn)段反映了共軛三角形的固有屬性，也包含了豐富的磁異常信息，它們定義了一個(gè)完整的共軛三角形，這里稱(chēng)為共軛元。

根據(jù)式(1)一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)意義[1]，可以計(jì)算出通過(guò)拐點(diǎn)P1，P2和P3的斜率k1，k2和k3及4個(gè)共軛元a，c，d和e。顯然，共軛元是與板狀體幾何參數(shù)及磁場(chǎng)參數(shù)相關(guān)的初等函數(shù)，考慮到磁矩 Ms與磁化強(qiáng)度J及板體寬度b具有正比關(guān)系，共軛元的計(jì)算可以用通式表示為：

其中：g ∈(a,c,d,e)。

將G函數(shù)定義為共軛元函數(shù)，并把根據(jù)磁異常曲線(xiàn)求取共軛元函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為磁異常的圖形轉(zhuǎn)換。圖形轉(zhuǎn)換建立了共軛元與板體各要素 ),,,,(sLlhMξ 的函數(shù)關(guān)系，為異常特征信息直接進(jìn)入反演過(guò)程奠定了理論基礎(chǔ)。

通過(guò)式(1)求取一階、二階導(dǎo)數(shù)的過(guò)程是非常繁瑣的過(guò)程，求解結(jié)果是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜且包含板狀體全部要素的五次方程，因而共軛元的精確解析非常復(fù)雜，必要時(shí)需借助數(shù)學(xué)工具，通過(guò)限定精度采取迭代法求解。

圖2 磁異常共軛三角形及共軛元Fig.2 Magnetic anomaly conjugate triangle and conjugate element

3 共軛比值定義

下面定義2個(gè)比值：

BA′和Bv反映了共軛三角形的畸異特性，包含了磁異常曲線(xiàn)的許多異常特征，定義為共軛比值。由于其計(jì)算過(guò)程實(shí)際上是共軛元函數(shù)的四則運(yùn)算過(guò)程，因而，其計(jì)算通式可以表示為：

其中： B ∈ ( BA′,Bv)。

為了討論問(wèn)題方便，以BA′為縱軸，Bv為橫軸定義一個(gè)共軛坐標(biāo)系，數(shù)據(jù)對(duì)(BA′, Bv)稱(chēng)為共軛坐標(biāo)。

在式(5)中，與板狀體幾何形態(tài)相關(guān)的參數(shù)為ξ，L和l，這3個(gè)參量也是影響磁場(chǎng)分布特征的關(guān)鍵因素，也往往是異常反演解釋時(shí)的重要目標(biāo)參量[14]。為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程，需要設(shè)定初始條件，暫時(shí)將Ms和h看成常量，令其等于1個(gè)單位，而走向長(zhǎng)度L也可以近似于異常走向長(zhǎng)度 Cd，即令 L/h=Cd。簡(jiǎn)化后式(5)可以寫(xiě)成：

式(6)表明：在初始條件下，決定共軛坐標(biāo)形態(tài)的參量只有2個(gè)。

設(shè)定邊界條件如下：有效磁化傾角is=60°，L/h=3，討論ξ和l/h變化時(shí)共軛坐標(biāo)軌跡的一些特征。

首先分別令 l/h為 0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0和3.5，連續(xù)變化ξ，通過(guò)搜索得到的共軛坐標(biāo)軌跡是一系列封閉或近似封閉的曲線(xiàn)，即圖3中虛線(xiàn)，形象地稱(chēng)為共軛緯線(xiàn)。

同理，分別令ξ等于某一固定值，連續(xù)變化l/h，則搜索得到的共軛坐標(biāo)軌跡是一系列向外發(fā)散的放射狀曲線(xiàn)，即圖3中實(shí)線(xiàn)，形象地稱(chēng)為共軛經(jīng)線(xiàn)。

圖3 ΔT磁異常共軛網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Magnetic anomaly conjugate network diagram

圖3 中經(jīng)線(xiàn)與緯線(xiàn)組成了一個(gè)網(wǎng)狀圖形，稱(chēng)為共軛網(wǎng)絡(luò)圖。搜索網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)(例如點(diǎn)P)或某個(gè)網(wǎng)格塊可以初步確定板狀體傾角、下延長(zhǎng)度等參數(shù)值或其變化范圍。

因而，一個(gè)異常的2個(gè)共軛比值A(chǔ)′B和Bv，在分別以A′B和Bv為縱、橫坐標(biāo)的共軛坐標(biāo)系中形成一個(gè)共軛點(diǎn)。無(wú)數(shù)邊界條件相同的共軛點(diǎn)以變化磁性體傾角的共軛點(diǎn)軌跡形成共軛緯線(xiàn)；變化磁性體下延長(zhǎng)度的共軛點(diǎn)軌跡形成共軛經(jīng)線(xiàn)；并以?xún)A角為0°、下延長(zhǎng)度近似為0的共軛點(diǎn)為共軛“芯點(diǎn)”。一定邊界條件的共軛坐標(biāo)、經(jīng)緯線(xiàn)、芯點(diǎn)組成一幅形似蓓蕾的“共軛網(wǎng)絡(luò)圖”。

邊界條件確定的共軛點(diǎn)在共軛網(wǎng)絡(luò)中具有唯一性。這是最重要的性質(zhì)。利用這一性質(zhì)，通過(guò)坐標(biāo)逐步搜索，即可優(yōu)先精確地解出ξ與l/h這2個(gè)參數(shù)，其中ξ是最重要的關(guān)鍵參數(shù)。ξ被優(yōu)先得出，是采用共軛元突破磁異常全參量解釋的重要貢獻(xiàn)。

4 磁異常共軛元反演解釋

基于共軛元求取磁異常磁源體幾何、磁性參數(shù)的過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)為磁異常的共軛元反演解釋。一個(gè)完整異常的共軛元反演解釋由共軛解釋與校正解釋 2部分組成，解釋過(guò)程可由程序根據(jù)異常的特征參數(shù)自動(dòng)完成。

4.1 共軛解釋

在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)幾何作圖法或曲線(xiàn)拐點(diǎn)追蹤算法[14]求出實(shí)測(cè)磁異常的共軛元，利用式(3)和(4)計(jì)算共軛坐標(biāo)點(diǎn)(A′B, Bv)。然后利用式(6)，不斷變化板狀體要素ξ和l/h求取共軛點(diǎn)，通過(guò)多次迭代，可以使求取的共軛點(diǎn)逼近實(shí)測(cè)的共軛點(diǎn)(A′B, Bv)。當(dāng)滿(mǎn)足設(shè)定條件時(shí)，可以將ξ和l/h作為最終結(jié)果。因此，共軛元反演解釋過(guò)程實(shí)際上包括2個(gè)主要環(huán)節(jié)，即圖形變換與變換圖形。變換圖形是指逐步變換共軛三角形的圖形，在相同邊界條件的共軛網(wǎng)絡(luò)圖中，搜索到由實(shí)測(cè)異常確定的共軛點(diǎn)的位置。在解釋過(guò)程中，每一個(gè)共軛點(diǎn)都是通過(guò)設(shè)定參數(shù)去計(jì)算異常，并經(jīng)圖形變換為共軛三角形后計(jì)算獲得。因此，實(shí)測(cè)異常確定的共軛點(diǎn)與解釋過(guò)程中的共軛點(diǎn)之間的本質(zhì)差異是：前者雖包容了實(shí)測(cè)異常中的重要信息，但全部是未知的；后者在解釋過(guò)程中雖與實(shí)測(cè)異常暫無(wú)關(guān)系，但其異常中的所有參數(shù)均是具體的。在幾何上可以證明：當(dāng)2點(diǎn)重合后，實(shí)測(cè)異常的共軛三角形與解釋異常的共軛三角形為相似三角形。在實(shí)測(cè)異常與解釋異常共軛點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)相似原理變未知為已知，則可解出異常體的全部未知參數(shù)。下面對(duì)這一過(guò)程進(jìn)一步說(shuō)明。

當(dāng)共軛點(diǎn)確定后，據(jù)共軛經(jīng)線(xiàn)坐標(biāo)得出ξ，據(jù)共軛緯線(xiàn)坐標(biāo)得出l/h。該過(guò)程完成時(shí)，相當(dāng)于在共軛解釋子程序中，建立了一個(gè)以磁體上頂埋深、磁矩為單位(都等于1)的“相似共軛三角形”。

由圖形變換得到的共軛三角形，其中有關(guān)磁性體的參數(shù)是完全未知的。而相似共軛三角形中除優(yōu)先解出ξ和lt/h外(由于前述l非最終值，暫令lt=l)，還可以給出：

因此，利用共軛三角形與相似共軛三角形中對(duì)應(yīng)參數(shù)的等比性質(zhì)，并令M (ξ)=，則有：

式(9)～(12)分別是共軛法求解磁矩、磁性體上頂埋深、下延長(zhǎng)度、傾角的定量解釋公式；式(13)是磁性體半長(zhǎng)度的半定量解釋公式，其中，Cd為異常走向長(zhǎng)度，是L/h的近似數(shù)。

定量解釋實(shí)測(cè)異常時(shí)，還有2個(gè)公式也相當(dāng)重要：

式(14)和(15)分別是異常的原點(diǎn)、正常場(chǎng)定量解釋公式。其中：Ax是共軛三角形頂點(diǎn)與磁性體上頂中心在地表投影點(diǎn)間的橫坐標(biāo)；To是共軛三角形頂點(diǎn)至正常場(chǎng)間的縱坐標(biāo)。同樣，A(ξ)和T ( ξ)是以ξ為變量的函系數(shù)。T(ξ)等所有函系數(shù)均是某一常量的倒數(shù)，因此，磁性體有關(guān)參數(shù)的求解均十分簡(jiǎn)便。

4.2 校正解釋

校正解釋是指異常經(jīng)剖面解釋后，為校除因“近似數(shù)Cd”給解釋結(jié)果帶來(lái)的誤差，根據(jù)磁異常平面特征參數(shù)，校正用于剖面解釋中的L/h代數(shù)值，進(jìn)而完善解釋結(jié)果的過(guò)程。

地磁傾角以及異常體走向半長(zhǎng)度與埋深之比(L/h)是共軛解釋的2個(gè)不可或缺的邊界條件。但在共軛元解釋過(guò)程中，L/h選用數(shù)值十分相近Cd參數(shù)代替。因此，解釋結(jié)果存在誤差。

校正解釋中涉及的參數(shù)都是與異常平面特征有關(guān)的特征參數(shù)見(jiàn)圖4。

圖4 異常平面特征點(diǎn)及要素Fig.4 Abnormal plane feature point and factor

圖4 中：GMN為極值距，指異常平面圖中的極值間距；R為極線(xiàn)角，是極值連線(xiàn)與磁北之間的夾角；G23為長(zhǎng)軸拐點(diǎn)距，為異常平面圖中異常長(zhǎng)軸上拐點(diǎn)之間的坐標(biāo)量；為正負(fù)異常極值點(diǎn)距離。

圖4中：GMN=；R=∠OMN； G23= G2-G3。

當(dāng)異常長(zhǎng)軸方位角A＜45°時(shí)，GMN與2L之間在量值上有近似相等的關(guān)系；當(dāng)異常長(zhǎng)軸方位角A＞45°時(shí)，G23與2L之間，在量值上有近似相等的關(guān)系。因此，選擇了GMN與LG作為長(zhǎng)深比Cd的代數(shù)。

當(dāng)-45°＜A＜45°時(shí)，

在一般情況下，Cd與L/h具有較高的近似程度。倘若長(zhǎng)深比Cd等于L/h，則剖面解釋階段即會(huì)得到精確的解釋結(jié)果，繪制的解釋結(jié)果平面等值線(xiàn)圖必定與給定異常平面等值線(xiàn)圖完全一致。同時(shí)，解釋結(jié)果的剖面曲線(xiàn)與給定異常剖面曲線(xiàn)之間也會(huì)高度擬合；假若Cd小于或大于L/h，則解釋結(jié)果平面等值線(xiàn)圖的長(zhǎng)軸會(huì)明顯減短或加長(zhǎng)，同時(shí)解釋結(jié)果剖面曲線(xiàn)與給定異常剖面曲線(xiàn)之間擬合后會(huì)出現(xiàn)明顯的剩余異常?？梢?jiàn)，解釋結(jié)果的誤差主要來(lái)源于Cd。因此，校正解釋過(guò)程是校正Cd的過(guò)程。

校正解釋是在完成共軛解釋基礎(chǔ)上進(jìn)行的。校正有2種途徑：

(1) 利用共軛解釋前、后異常平面圖中的“極間距”與“極線(xiàn)角”差異完成校正。

(2) 利用共軛解釋前、后異常平面圖中的“極間距”與“長(zhǎng)軸拐點(diǎn)距”比值完成校正。

當(dāng)-45°＜A＜45°時(shí)：

式中：Cxz，CJS和LJS分別為長(zhǎng)深比代數(shù)校正值、解釋結(jié)果平面異常的極間距、解釋結(jié)果平面異常的長(zhǎng)軸拐點(diǎn)間距。

采用式(16)對(duì)一模型異常進(jìn)行反演計(jì)算，其模型參數(shù)、共軛解釋結(jié)果、校正結(jié)果及校正誤差見(jiàn)表 1，可見(jiàn)：通過(guò)校正解釋后，解釋結(jié)果相對(duì)誤差不大于1%，6個(gè)模型參數(shù)均得到了精確解釋結(jié)果。

表1 理論模型磁異常共軛元反演解釋過(guò)程參數(shù)表Table1 Theoretical model of magnetic anomaly conjugate element inverse interpretation process parameter

實(shí)踐中，給定異常的參數(shù)都是未知的，解釋結(jié)果中不可能給出模型參數(shù)誤差水平；因此，可靠性的鑒別要靠異常剖面的擬合與平面圖的比照完成。

當(dāng)異常剖面擬合后出現(xiàn)明顯剩余異常時(shí)，表明尚未得到最佳解釋結(jié)果，這是ΔT磁異常共軛解釋法的剖面判別；當(dāng)進(jìn)行平面圖異常比照后，如果異常形態(tài)基本一致，但展布面積與異常極值有明顯差異，亦表明尚未得到最佳解釋結(jié)果，這是ΔT磁異常共軛元解釋法的平面鑒別。通過(guò)剖面判別與平面鑒別，采用ΔT磁異常共軛解釋法均可得到相對(duì)精確而可信的解釋結(jié)果。

5 實(shí)例

共軛元反演在廣東省、湖南省、青海省得到多次應(yīng)用，均取得了較好的應(yīng)用效果?，F(xiàn)以廣東某鐵礦[15]為例，闡明其應(yīng)用過(guò)程與效果。

區(qū)內(nèi)地磁傾角為34.4°，異常圈定基本完整(圖5)。異常的長(zhǎng)短軸比值約為3.5。利用N44線(xiàn)磁異常進(jìn)行共軛元反演解釋。異常曲線(xiàn)總體具有單體異常的曲線(xiàn)特征，但經(jīng)過(guò)逐步解釋后發(fā)現(xiàn)，異常由3個(gè)磁性體疊加引起。其解釋結(jié)果如表2及圖5所示。

表2 廣東某磁鐵礦N44線(xiàn)磁異常共軛元反演解釋結(jié)果Table2 A magnetite magnetic anomaly conjugate element inverse interpretation results for Line44

表2中，接觸帶指灰?guī)r與花崗巖接觸部位。剖面解釋結(jié)果表明：實(shí)測(cè)磁異常與反演結(jié)果模型磁異常的平面圖及剖面圖展示的異常形態(tài)、展布范圍、幅值特征基本吻合；鉆孔見(jiàn)礦深度與反演模型通過(guò)部位基本吻合，解釋結(jié)果得到的外接觸帶磁性體磁性強(qiáng)度更高且無(wú)鉆孔控制，為盲礦體的可能性大。實(shí)例反演結(jié)果較充分地體現(xiàn)了共軛元反演解釋方法的實(shí)用性、可靠性及在異常識(shí)別、異常分解等方面的優(yōu)越性。

圖5 廣東某磁鐵礦磁異常共軛元反演解釋結(jié)果Fig.5 Magnetite magnetic anomaly conjugate element inverse interpretation results

6 結(jié)論

(1) 共軛元反演解釋是通過(guò)提取磁異常剖面特征和平面特征實(shí)現(xiàn)磁異常的圖形轉(zhuǎn)換，在解釋過(guò)程中不斷細(xì)化對(duì)異常特征的認(rèn)識(shí)，最后得出磁性體幾何參數(shù)和磁場(chǎng)參數(shù)的反演方法。

(2) 在解釋過(guò)程中考慮了磁異常平面信息，但又不完全依賴(lài)于平面信息的完整程度，該方法在提高解釋結(jié)果可靠性的同時(shí)，較大限度地放寬了方法的應(yīng)用條件。在反演過(guò)程中沒(méi)有復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算和大型方程的求解，可以大大提高反演效率，減少反演期間的累加誤差。

(3) 雖然該方法是建立在薄板體磁異常的基礎(chǔ)之上，但由于該方法同樣滿(mǎn)足迭加原理，因而可以通過(guò)不同特征薄板體的迭加實(shí)現(xiàn)諸如二度體、三度體等模型體的反演。該方法具有較大的研究空間和廣闊的應(yīng)用前景。模型試算和實(shí)例結(jié)果表明：其解釋結(jié)果具有較高的精度和可靠性。

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