李清峰 ，彭文峰，何 靜

(1. 湖南商學(xué)院 計(jì)算機(jī)與電子工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410205；2. 中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

通過對(duì)股市價(jià)格波動(dòng)規(guī)律的研究有助于揭示金融市場(chǎng)的運(yùn)行規(guī)律，為證券組合的選擇、金融資產(chǎn)定價(jià)、期貨和期權(quán)等金融衍生工具定價(jià)以及風(fēng)險(xiǎn)管理提供理論基礎(chǔ)。然而，股市投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)往往是成正比的，即投資收益越高，可能冒的風(fēng)險(xiǎn)越大；因此，對(duì)股市預(yù)測(cè)方法的研究具有極其重要的應(yīng)用價(jià)值和理論意義。隨著越來越多的人進(jìn)入股市進(jìn)行投資活動(dòng)，人們迫切需要一種有效的分析方法，能夠最大限度地增加收益，降低風(fēng)險(xiǎn)。徐梅[1]研究基于小波變換的LMSV(Long memory stochastic volatility)模型的估計(jì)方法，根據(jù)LMSV過程同一尺度和不同尺度下DWT(Discrete wavelet transform)系數(shù)的近似不相關(guān)性，提出了基于小波變換的LMSV模型參數(shù)的偽極大似然估計(jì)方法以及潛在波動(dòng)過程的估計(jì)方法。鄭宇泉等[2]在期望均值收益與收益方差模型基礎(chǔ)上，采用數(shù)據(jù)挖掘中聚類的方法，定義一種衡量時(shí)間序列樣本之間相似程度的指標(biāo)，這個(gè)指標(biāo)反映了股票間波動(dòng)行情趨勢(shì)的異同。夏卿卿[3]設(shè)計(jì)了將股票行情時(shí)間序列數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)移為多階均線形態(tài)多維度層次結(jié)構(gòu)挖掘模型，分析了形態(tài)走勢(shì)分析中預(yù)測(cè)目標(biāo)與輸入狀態(tài)的相關(guān)性。呂淑萍[4]研究了小波分析與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合，通過小波分解與重構(gòu)，把原始價(jià)格時(shí)間序列分解為規(guī)律相對(duì)簡(jiǎn)單、不同頻率范圍內(nèi)的子波動(dòng)序列來提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度。這些研究主要是分析股票間波動(dòng)行情趨勢(shì)，或?qū)善眱r(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，但對(duì)股票間波動(dòng)周期的定量分析不足。在此，本文作者通過對(duì)股票波浪圖形的時(shí)域參數(shù)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)頻域系數(shù)進(jìn)行分解，來分析股市價(jià)格波動(dòng)周期，幫助投資者在進(jìn)行買進(jìn)賣出決策時(shí)提供有益的參考和指導(dǎo)。

1 相關(guān)理論

1.1 波浪理論

波浪理論是艾略特[5]最先提出來的，因此，也被稱為艾略特波浪理論。艾略特理論認(rèn)為，股市價(jià)格波動(dòng)就如同大自然的潮汐一樣，一浪跟著一浪，并且周而復(fù)始，具有一定的規(guī)律性。艾略特波浪理論將股票變動(dòng)循環(huán)周期分為8個(gè)浪，其中5個(gè)是上升(或是下跌)浪，3個(gè)是下跌(或上升)浪。

該理論還認(rèn)為，每一波浪之間的比例包括波動(dòng)時(shí)間和幅度都接近各自的費(fèi)波納奇比率，例如，上升浪的時(shí)間周期與下降浪的時(shí)間周期、第3浪波動(dòng)的幅度與第1浪起始點(diǎn)至第1浪最高點(diǎn)之間的距離都符合費(fèi)波納奇比率的關(guān)系。

1.2 傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉理論[6-7]認(rèn)為1個(gè)周期為T的周期信號(hào)f(T)可分解成若干正弦信號(hào)的疊加，即：

從 f(t)的展開式可看到：其分解式中除直流分量外，還包含1，2，3等整數(shù)諧波分量，諧波次數(shù)越高，其對(duì)應(yīng)的幅值越小。其波形的主要變化趨勢(shì)由前幾項(xiàng)低次諧波確定，高次諧波體現(xiàn)波形的細(xì)節(jié)變化。

1.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15]可以看作是一個(gè)多輸入單輸出的信息處理系統(tǒng)。根據(jù)神經(jīng)元的特性和功能，可以把神經(jīng)元抽象為一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，它對(duì)信息的處理是非線性的。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有3個(gè)要素：拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、連接方式和學(xué)習(xí)規(guī)則。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于股票預(yù)測(cè)正得到越來越多的關(guān)注，尤其是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性映像能力以及自學(xué)習(xí)能力，不用像基于時(shí)間序列的預(yù)測(cè)那樣主觀設(shè)定模型，因此，在金融時(shí)間序列的預(yù)測(cè)上具有很大的實(shí)用性。

2 波形分析

波浪理論考慮的因素主要有 3個(gè)：(1) 股價(jià)走勢(shì)所形成的形態(tài)；(2) 股價(jià)走勢(shì)圖中各個(gè)高點(diǎn)和低點(diǎn)所處的相對(duì)位置；(3) 完成某個(gè)形態(tài)所經(jīng)歷的時(shí)間。這三者簡(jiǎn)單地概括為形態(tài)、幅度和時(shí)間，是波浪理論首先應(yīng)考慮的，其中，以形態(tài)最為重要。

股價(jià)的波浪圖與正弦函數(shù)i(t)=Icos (ωt+φ)曲線相似，見圖1。

圖1 與股票波浪理論對(duì)應(yīng)的正弦波Fig.1 Sine wave correspondence stock wave theory

正弦函數(shù)i(t)與股價(jià)的波動(dòng)一樣是起伏變化的，其中也包含3個(gè)要素：初相φ、振幅I和角速度ω，如圖1所示。其中初相φ代表信號(hào)的起始時(shí)間，即信號(hào)開始變化的時(shí)間，它對(duì)應(yīng)股價(jià)走勢(shì)所形成的形態(tài)起點(diǎn)(即上升浪抑或下降浪的起始時(shí)間)；振幅I對(duì)應(yīng)股價(jià)走勢(shì)圖中各個(gè)高點(diǎn)和低點(diǎn)所處的相對(duì)位置；角速度ω(ω=2π/T)代表信號(hào)的周期，其對(duì)應(yīng)股價(jià)波動(dòng)完成某個(gè)形態(tài)所經(jīng)歷的時(shí)間。因此，采用正弦函數(shù)來分析股價(jià)的波動(dòng)是比較恰當(dāng)?shù)?，由于股價(jià)波動(dòng)復(fù)雜，其對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)i(t)的初相φ、振幅I和角速度ω都是變化的函數(shù)。

將股票變動(dòng)循環(huán)周期作為正弦函數(shù)的1個(gè)周期，則股票變動(dòng)波形中包含了正弦函數(shù)的若干次諧波。1次諧波對(duì)應(yīng)股票變動(dòng)的整個(gè)周期，3次諧波對(duì)應(yīng)股票變動(dòng)的3個(gè)下跌(或上升)浪，5次諧波對(duì)應(yīng)股票變動(dòng)的5個(gè)上升(或下跌)浪。按傅里葉級(jí)數(shù)分解的逆過程(即信號(hào)合成)，將正弦函數(shù)的1次、3次和5次諧波信號(hào)合成便得到與圖2所示矩形波圖形相似的雛形。當(dāng)然，由于3次和5次諧波分量隨實(shí)際股價(jià)的波動(dòng)圖變化而不同，因此，得矩形波圖形不對(duì)稱，如圖2所示。圖2 中，t1≠t2，即矩形波的占空比 σ(σ=t1/T, T=t1+t2)將發(fā)生變化。從圖2可以看到：高電平代表股市上升浪，是多頭市場(chǎng)；低電平代表股市下跌浪，是空頭市場(chǎng)。矩形波的上升沿代表股市的空多逆轉(zhuǎn)信號(hào)，矩形波的下降沿代表股市的多空逆轉(zhuǎn)信號(hào)。若能計(jì)算上升沿和下降沿持續(xù)的時(shí)間，則能幫助投資者在決策何時(shí)買進(jìn)和賣出時(shí)提供有益的參考指導(dǎo)。

圖2 與股票漲跌對(duì)應(yīng)的矩形波Fig.2 Increase and decrease of rectangular wave correspondence stock

3 系統(tǒng)的構(gòu)造及分析

根據(jù)股票時(shí)域波形周期前期的重要參數(shù)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性映射能力，分析時(shí)域波形的頻譜參數(shù)，擬合整個(gè)時(shí)域波形，以預(yù)測(cè)周期后期(下降浪或上升浪)的延續(xù)時(shí)間，即預(yù)測(cè)下半個(gè)周期達(dá)到谷底(下降浪)或峰頂(上升浪)的時(shí)間。系統(tǒng)整個(gè)信號(hào)處理過程見圖3。

圖3 分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure block of analytic system

3.1 輸入和輸出參數(shù)的選擇

選取股票時(shí)域波形周期前期的主要參數(shù)時(shí)，由于該波形不完整，選前5個(gè)上升(或是下跌)浪的特征值，如每個(gè)浪的延續(xù)時(shí)間(t1～t5，單位為 h)和相對(duì)幅值(h1～h5，單位為元)，以及變化周期前期每天的威廉指標(biāo)(S)。其中：

其中：d=1, 2, …, int [(t1+t2+t3+t4+t5)/24], int [(t1+t2+t3+t4+t5)/24]表示變化周期前期的總時(shí)間(單位為 d)；Cn為當(dāng)天的收盤價(jià)；Hn和Ln分別為最近n日內(nèi)(包括當(dāng)天)出現(xiàn)的最高價(jià)和最低價(jià)。

指標(biāo)S表示的涵義是當(dāng)天的收盤價(jià)在過去的n日中全部?jī)r(jià)格范圍內(nèi)所處的相對(duì)位置。

輸出參數(shù)對(duì)股票波動(dòng)周期的精度有其特殊要求。用戶往往將精度確定到0.05 d，這里將精度定為0.01 d。這樣，在頻譜分析中，選取1個(gè)股票變動(dòng)循環(huán)周期波形的前7次諧波分量。由于波形的形態(tài)與諧波的分量系數(shù)和頻譜系數(shù)都有關(guān)，為此，將1次諧波系數(shù)定為1，后6次諧波的分量系數(shù)分別設(shè)為a2，a3，a4，a5，a6和 a7；頻譜系數(shù)分別設(shè)為 b2，b3，b4，b5，b6和 b7作為輸出參數(shù)，因此，可以得到相應(yīng)的頻譜函數(shù)X(ω)：

式中：ω0=2π/T；T為股票變動(dòng)循環(huán)周期；δ(ω)為頻域分析中的單位沖激函數(shù)。

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

由于求解的問題是復(fù)雜的非線性問題，系統(tǒng)采用三層(即輸入層、隱藏層和輸出層)模型結(jié)構(gòu)。其中，隱藏層可以有任意多層，每層單元的輸出是下一層的輸入。同時(shí)，為使系統(tǒng)自主學(xué)習(xí)并不斷提高精度，采用反向傳播算法(Back-propagation, BP算法)。該算法過程如下。

輸入：層次為m的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中第i層結(jié)點(diǎn)數(shù)為ni，訓(xùn)練樣本集為T。

輸出：經(jīng)過訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Y={a2, …, a7, b2, …,b7, T}

(1) 初始化各層的權(quán)系數(shù)和偏置。為了加快系統(tǒng)的訓(xùn)練時(shí)間，保證系統(tǒng)的收斂性，根據(jù)艾略特波浪理論中各次波浪的時(shí)間和幅度具有費(fèi)波納奇數(shù)列和黃金分割的關(guān)系特點(diǎn)，初始權(quán)系數(shù)取0.618或1.618。

(2) 輸入訓(xùn)練樣本。輸入 T中的 1個(gè)樣本 X=(X1, X2, …, Xn)和期望輸出Y=(Y1, Y2, …, Ym)。

(3) 正向傳播。從第2層開始到第m層，計(jì)算每層單元的輸出。令第k層第j個(gè)單元的輸出記為kjO 。其計(jì)算公式如下：

其中：Wij(t)為t時(shí)刻單元與下層單元j間的權(quán)系數(shù)；Ψj( t)為t時(shí)刻單元j的偏值；為t時(shí)刻第k-1層單元i的輸出。對(duì)于輸入單元，輸出就等于輸入，即=。

(4) 反向傳播。輸出的誤差主要是比較擬合的股票波形與實(shí)際波形的吻合程度，這里采用明考斯基距離來確定。由于這里主要考慮波形周期，因此，以明考斯基距離水平誤差來表示：

其中：xip為實(shí)際波形主要點(diǎn)的水平坐標(biāo)值，如峰值點(diǎn)、谷值點(diǎn)、過均值點(diǎn)等；Xjp為擬合波形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的水平坐標(biāo)值；q根據(jù)分析的艾略特波浪層次來取值，層次越多，q取值越小，層次越少，q取值越大(q為正整數(shù))。

若用戶同時(shí)對(duì)股價(jià)波動(dòng)幅度關(guān)注，則可將垂直方向的誤差引入：

合成誤差d(i, j)=[dx(i,j)+0.618dy(i, j)]/(1+0.618)。其中：0.618是體現(xiàn)艾略特波浪具有費(fèi)波納奇比率關(guān)系的特征值。

從輸出到第2層，其反饋誤差為d(i, j)，然后，從第m層開始直到第2層，計(jì)算每層單元的誤差。將第k層第j個(gè)單元的誤差記為kje，對(duì)于輸出層單元，誤差為：

對(duì)于各隱藏層單元，誤差為

(5) 修正權(quán)系數(shù)和各單元的偏置為：

(6) 根據(jù)給定的結(jié)束條件判斷是否滿足。若滿足，則算法結(jié)束，否則，返回步驟(2)繼續(xù)執(zhí)行。這里的結(jié)束條件參數(shù)可以是d(i, j)，也可以是周期的誤差。

3.3 波形的擬合

后6次諧波的分量系數(shù)分別設(shè)為a2，a3，a4，a5，a6和 a7；頻譜系數(shù)分別為 b2，b3，b4，b5，b6和 b7，將它們作為輸出參數(shù)，則可以得到相應(yīng)的頻譜函數(shù)X(ω)。

采用傅里葉逆變換：

上述變換公式將頻譜函數(shù) X(ω)變換成對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式X(t)，然后，根據(jù)X(t)得出對(duì)應(yīng)的時(shí)域波形。從該波形的上升沿和下降沿就可以拾取股票變動(dòng)中空多逆轉(zhuǎn)信號(hào)和多空逆轉(zhuǎn)信號(hào)。

4 實(shí)驗(yàn)解釋及驗(yàn)證

對(duì)上面的理論分析進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。選取上海電力2009—11—27至2009—12—22共18個(gè)工作日的股票行情[16]，如表 1所示；用信息分析與處理軟件MATLAB語言工具箱函數(shù)來進(jìn)行運(yùn)算。以日收盤價(jià)繪出其波動(dòng)圖，如圖4中實(shí)線所示，其中，5個(gè)上升浪和3個(gè)下跌浪構(gòu)成1個(gè)波動(dòng)周期。圖4中縱坐標(biāo)表示日收盤價(jià)(單位為元)，橫坐標(biāo)表示 2009—11—27至2009—12—22共18個(gè)工作日。從圖4可以看出：從2009—11—27至2009—12—10共10個(gè)工作日完成了5個(gè)浪的多頭市場(chǎng)，故 0.618×5ω0=2π/0.9，得出 ω0=0.226。。

由a2=0.534, a3=0.124, a4=0.032, a5=0.012, a6=a7=0, b2=1.12, b3=1.21, b4=1.34, b5=1.56可得頻譜函數(shù)：

表1 上海電力股票行情Table1 Data of Shanghai power stock

圖4 擬合的上海電力股票波形曲線Fig.4 Composition wave curve of Shanghai power stock

該函數(shù)擬合的波形如圖4中虛線所示。從圖4可見：擬合波形的低電平大約在16.9個(gè)工作日結(jié)束，其價(jià)格與實(shí)際由a～c波構(gòu)成的空頭市場(chǎng)在第18個(gè)工作日結(jié)束的價(jià)格誤差為6.1%；擬合波形的多空翻轉(zhuǎn)時(shí)間為10.1個(gè)工作日，其價(jià)格與實(shí)際由1～5波構(gòu)成的多頭市場(chǎng)在第9.3個(gè)工作日結(jié)束的價(jià)格誤差為8.6%。誤差主要來源于以下幾方面：(1) 在實(shí)驗(yàn)過程中只分析了幅頻函數(shù)X(ω)，沒有對(duì)相對(duì)應(yīng)的相頻函數(shù)進(jìn)行分析；(2)實(shí)線以整數(shù)“天”進(jìn)行描繪，精度不高；(3) 與 π的取值精度有關(guān)；(4) X(t)函數(shù)擬合過程的準(zhǔn)確度。

5 結(jié)論

(1) 在幅頻函數(shù)的分析過程中，若能同時(shí)分析相頻函數(shù)的變化關(guān)系，則能提高擬合波形的精確度。

(2) 波浪理論一個(gè)很明顯的不足之處在于投資者較難學(xué)習(xí)和掌握。從理論上講，波浪理論的1個(gè)完整過程只是1個(gè)8浪結(jié)構(gòu)，而且單純的8浪結(jié)構(gòu)也很簡(jiǎn)單。但在實(shí)際操作中，由于主浪和調(diào)整浪都會(huì)發(fā)生變異，而且存在大浪套小浪、浪中有浪的多層次現(xiàn)象，使得使用波浪理論的投資者在具體確定浪的數(shù)量時(shí)會(huì)發(fā)生偏差。波浪層次的確定以及每個(gè)浪的起始點(diǎn)的確認(rèn)是運(yùn)用頻譜分析的兩大難點(diǎn)。

(3) 頻譜分析只考慮了價(jià)格形態(tài)上的因素，忽略了交易量和股票基本面的影響。

[1] 徐梅. 金融波動(dòng)分析的小波和頻域方法研究[D]. 天津: 天津大學(xué)管理學(xué)院, 2003: 102-109.

XU Mei. Study on the wavelet and frequency domain methods of financial volatility analysis[D]. Tianjin: School of Management.Tianjin University, 2003: 102-109.

[2] 鄭宇泉, 姜青山, 管河山. 基于聚類的股票波動(dòng)分析及其應(yīng)用[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 39(S1): 192-195.

ZHENG YU-quan, JIANG Qing-shan, GUAN He-shan.Fluctuation analysis on base of clustering and application[J].Journal of Sichuan University: Engineering Science Edition,2007, 39(S1): 192-195.

[3] 夏卿卿. 基于股價(jià)均線形態(tài)序列的數(shù)據(jù)挖掘模型[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 4(6): 459-462.

XIA Qing-qing. Data-mining model based on move-average form series of stock prince[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology, 2007, 4(6): 459-462.

[4] 呂淑萍. 小波網(wǎng)絡(luò)建模預(yù)報(bào)方法研究及其在股市預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工程大學(xué)信息學(xué)院, 2004: 56-59.

Lü Shu-ping. The research on wavelet network prediction model and its application in stock market fForecasting[D]. Harbin:School of Information. Harbin Engineering University, 2004:56-59.

[5] Daigler R T. Financial futures and option markets: Concepts and strategies[M]. HarperCollins College Publishers, 1994: 283-291.

[6] 何孝星. 證券投資理論與實(shí)務(wù)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社,2004: 132-135.

HE Xao-xing. Securities investment theory and practice[M].Beijing: Tsinghua University Press, 2004: 132-135.

[7] 鄭君里. 信號(hào)與系統(tǒng)[M]. 北京: 人民教育出版社, 1980:312-316.

ZHENG Jun-li. Signal and system[M]. Beijing: People’s Education Press, 1980: 312-316.

[8] 丁玉美. 數(shù)字信號(hào)處理[M]. 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社,2004: 212-216.

DING Yu-mei. Digital signal proceding[M]. Xi’an: Xi’an University of Electronic Science and Technology, 2004:212-216.

[9] Shintani M, Linton O B. Is there chaos in the world economy: A nonparametric test using consistent standard errors[J].International Economic Review, 2008, 44(1): 331-357.

[10] Mandelbrot B B, Taqqu M S. Robust R/S analysis of long-run serial correlation[J]. Bulletin of the International Statistical Institute, 1979, 48(6): 69-99.

[11] Abry P, Veitch D. Wavelet analysis of long rang dependence traffic[J]. IEEE Trans Inform Theory, 1996, 44(1): 2-15.

[12] Kin K L, Lean Y. Mean variance skewness kurtosis based portfolio optimization[C]//Proceeding of the First International Muti-Symposiums on Computational Sciences(IMSCCS’06).Nova Scotia, 2007: 45-59.

[13] Baillie R T. Long memory process and fractional in econometrics[J]. Journal of Econometrics, 2007, 73: 54-59.

[14] Beran J. Estimation of dominating frequency for stationary and nonstationary fractional autoregressive models[J]. Journal of Time Series Analysis, 2009, 21(5): 212-219.

[15] HAN Jia-wei. Data mining: Concepts and techniques[M].Burnaby: Morgan Kaofmann Publishers Inc, 2006: 89-103.

[16] The stock network platform[EB/OL]. [2009-12-26].http://www.lh29.com.