程 躍 ，程文明，鄭 嚴(yán)，張則強

(1. 西南交通大學(xué) 機械工程研究所，四川 成都，610031；2. 成都大學(xué) 工業(yè)制造學(xué)院，四川 成都，610106)

結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域的一個新分支，人們對該設(shè)計方法的研究有約30 a，如今該方法已經(jīng)發(fā)展成以可靠度與優(yōu)化設(shè)計問題的目標(biāo)相結(jié)合的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。目前，結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法主要有寬界限法、窄界限法、概率網(wǎng)絡(luò)估算法和最佳矢量法等，但這些方法存在缺乏工程實用價值、計算復(fù)雜、存儲量大、對全局最優(yōu)解判定困難等缺點[1-2]，國內(nèi)外學(xué)者正在尋求更適合的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法。粒子群算法(Particle swarm optimization, PSO)模擬鳥群飛行覓食行為，通過鳥之間的集體協(xié)作使群體達(dá)到最優(yōu)。此算法由 Eberhart和 Kennedy于 1995年提出，簡潔且易于實現(xiàn)，需要調(diào)整的參數(shù)較少，不需要梯度信息。PSO是非線性連續(xù)優(yōu)化問題、組合優(yōu)化問題和整數(shù)非線性優(yōu)化問題的有效優(yōu)化工具，但該算法具有易陷入局部極值點、進化后期收斂速度慢、精度較低等不足[3-5]?；煦?Chaos)是一種普遍存在的非線性現(xiàn)象，是由確定方程得到的非確定隨機運動狀態(tài)[6]。利用混沌變量的隨機性、遍歷性和規(guī)律性，將混沌優(yōu)化思想引入粒子群算法中，防止某些粒子在迭代中出現(xiàn)停滯，從而解決了算法早熟問題[7-8]。近年來，PSO算法初步應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域。張義民等[9]將 PSO算法與小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法(MCS-WNN)相結(jié)合，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)的可靠性優(yōu)化；劉仁云等[10]將灰色理論引入PSO算法，提出了基于多目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)構(gòu)可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。目前，未見混沌粒子群算法在結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方面的研究報道。在此，本文作者將混沌粒子群算法(Chaos particle swarm optimization, CPSO)應(yīng)用到結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計理論中，建立在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度約束下最小化結(jié)構(gòu)質(zhì)量的優(yōu)化模型，提出基于混沌粒子群算法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法。最后，通過框架結(jié)構(gòu)算例，驗證該可靠性優(yōu)化設(shè)計方法的理論指導(dǎo)意義和工程實用價值。

1 混沌粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

在PSO算法中，每個優(yōu)化問題的解都被抽象為沒有質(zhì)量和體積的粒子，并延伸到D維空間。設(shè)粒子群由m個粒子構(gòu)成，第i個粒子(i=1, 2, …, m)在D維空間里的位置和速度分別表示為矢量 zi=(zi1,zi2, …,zid, …, ziD)和矢量 vi=(vi1, vi2, …, vid, …, viD)，每個粒子都有1個適應(yīng)值函數(shù)fitness(zi)來計算zi當(dāng)前的適應(yīng)值，由此衡量粒子位置的優(yōu)劣。pi=(pi1, pi2, …,pid, …, piD)為粒子到目前為止搜索到的最優(yōu)位置，pg=(pg1, pg2, …, pgd, …, pgD)為整個粒子群到目前為止搜索到的最優(yōu)位置。

PSO算法首先隨機初始化粒子群，然后，粒子在解空間中通過迭代找到全局最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子根據(jù)式(1)和(2)更新自身的速度和位置：

式中：d=1, 2, …, D；w為慣性權(quán)重；k為迭代次數(shù)；r1和r2為[0, 1]之間的隨機數(shù)；c1和c2為學(xué)習(xí)因子。據(jù)式(1)和(2)，計算每個粒子的個體適應(yīng)值 f itness，通過與上一次比較對個體極值和全局極值更新。當(dāng)滿足停止條件(預(yù)設(shè)的運算精度或迭代次數(shù))時，迭代停止，找到全局最優(yōu)解[11-13]。PSO算法的流程如圖1所示。

圖1 粒子群算法流程圖Fig.1 Flow chart of particle swarm optimization

1.2 混沌粒子群算法

1個典型的混沌系統(tǒng)是Logistic方程[14]：

式中：yn為混沌變量；μ為控制參數(shù)；n為混沌優(yōu)化迭代次數(shù)；k為CPSO優(yōu)化迭代次數(shù)。當(dāng)μ屬于[3.57, 4.00]時，Logistic方程解的變化周期為無窮大，每次迭代方程的解都不是確定的，此時，Logistic方程成為一個混沌系統(tǒng)。

步驟1：確定算法參數(shù)，初始化粒子。

步驟2：由式(1)和(2)更新粒子的速度和位置，計算每個粒子的目標(biāo)函數(shù)值，并保留群體中性能最好的20%的粒子。

結(jié)合上述“地平線歐洲”和“地平線2020”比較分析，可以看出“地平線歐洲”的四大重大轉(zhuǎn)變同中歐科技合作的共識契合度高，是支持未來中歐科技合作的有力政策執(zhí)行工具。對歐科技合作中，中國科技界可以在中歐科技合作共識基礎(chǔ)上，結(jié)合中國科技發(fā)展自身利益需求，充分利用“地平線歐洲”這一歐盟科技政策執(zhí)行工具，特別是該計劃下的資金、資源和政策，推動和實現(xiàn)雙方在共同利益領(lǐng)域互利互惠的科技合作。啟示建議如下：

步驟7：由式(6)收縮搜索區(qū)域，在收縮后的空間內(nèi)隨機產(chǎn)生群體中剩余的80%的粒子，轉(zhuǎn)回步驟2。

2 基于CPSO的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法

2.1 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型

在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度約束下，合理選擇各元件截面尺寸使結(jié)構(gòu)總質(zhì)量最小，這是結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計的一類關(guān)鍵問題。通常，結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量可由結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各元件的質(zhì)量求和所得，而結(jié)構(gòu)各元件的質(zhì)量可表示為該元件截面尺寸(即設(shè)計變量)的線性函數(shù)。對于由 n個元件組成的拉壓桿、梁元或板元，各元件質(zhì)量 Mi可表示為：

式中：對于拉壓桿和梁元，iρ，il和iA分別為第i個元件的密度、長度和橫截面積；對于板元，iρ，il和iA分別為第i個元件的密度、厚度和表面積。

通常，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)不能簡單地視為串聯(lián)、并聯(lián)的逐級組合，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的破壞是由任一失效模式引起，形成1個失效模式需要一系列元件達(dá)到臨界。在計算結(jié)構(gòu)可靠度時，必須考慮結(jié)構(gòu)各元件和各失效模式間的相關(guān)性。因此，結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計應(yīng)以結(jié)構(gòu)整體來考慮，應(yīng)只有1個整體結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計準(zhǔn)則，即

式中：A=[A1, A2, …, An]為截面設(shè)計尺寸；Al為A的下限；Au為A的上限；U為預(yù)先定義的1個大數(shù)；λ為罰函數(shù)因子。

在計算整個結(jié)構(gòu)的可靠度時，通常希望利用一種既考慮失效模式之間的相關(guān)性、計算較簡單、計算精度較高的方法。本文利用概率網(wǎng)絡(luò)估算技術(shù)(Probabilistic network evaluation technique, PNET)對結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)進行計算。PNET法將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各主要失效模式按一定規(guī)則分成G個代表模式，每個代表模式的失效概率為Pi(i=1, 2, …, G)，則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度R可近似表示為[17]：

式中：)(sβΦ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

2.2 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計的收斂準(zhǔn)則

由于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析及優(yōu)化問題通常是相當(dāng)復(fù)雜和困難的，對于相同的算法，不會像傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化一樣平穩(wěn)和快速地收斂，因此，將下列組合收斂準(zhǔn)則應(yīng)用于基于CPSO的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化中，收斂準(zhǔn)則如下[2]：

當(dāng)隨機變量均服從正態(tài)分布時，可靠度R與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)βs之間可通過下式進行轉(zhuǎn)換：

式中：1ε，2ε和3ε都是比1小很多的規(guī)定值，如10-3～10-4。

2.3 基于CPSO的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程

將混沌粒子群優(yōu)化算法與結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計理論相結(jié)合，充分利用混沌優(yōu)化和粒子群優(yōu)化的特性，進行了結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計。其優(yōu)化步驟如下。

(2) 設(shè)定程序參數(shù)，初始化粒子的位置和速度，確定 P(0)和 P(0)。

(3) 運用分支限界法判別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)主要失效模式，并利用PNET法進行結(jié)構(gòu)可靠性分析，分析各粒子是否滿足約束條件。對于滿足約束條件的粒子，λ=0，否則，λ=1。

(4) 由式(1)和(2)更新粒子的速度和位置，計算每個粒子的目標(biāo)函數(shù)值，并保留群體中性能最好的20%的粒子。

(7) 在收縮后的空間內(nèi)隨機產(chǎn)生群體中剩余的80%的粒子，轉(zhuǎn)回步驟(3)。

基于CPSO的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程圖見圖2。

圖2 基于CPSO的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程圖Fig.2 Flow chart of structural reliability optimization based on CPSO

3 算例

3.1 算例概況

二跨二層框架結(jié)構(gòu)及其受載情況如圖3所示，其中結(jié)構(gòu)強度及載荷均為獨立正態(tài)隨機變量。結(jié)構(gòu)材料及載荷的相關(guān)參數(shù)見表 1。二跨二層框架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的容許可靠性指標(biāo)=3.4，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中各元件的橫截面為正方形。初始點的各元件截面面積為0.2 m×0.2 m，給定A的下限Al=0.019 m2，A的上限Au=0.045 m2。要求在滿足結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)βs≥的條件下，利用本文優(yōu)化方法得出最小化結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量 M 并求出各元件的橫截面積A。

圖3 框架結(jié)構(gòu)及受載情況Fig.3 Frame construction and loading cases

表1 結(jié)構(gòu)材料有關(guān)參數(shù)Table1 Parameters of structure material

3.2 優(yōu)化模型與參數(shù)設(shè)置

由題意可得該結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型：

優(yōu)化模型中，ρ=7.85×103kg/m3，U=5 000，l1=l2=l7=l8=l11=3.6 m，l3=l4=l5=l6=l9=l10=3.0 m。CPSO算法中，取粒子數(shù)為50，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，慣性權(quán)重W=0.8，最大迭代次數(shù)為1 000，混沌搜索最大步數(shù)為10，問題維數(shù)為11。取本算例結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計流程中的收斂準(zhǔn)中，則參數(shù) ε1=ε3=0.3×10-3，ε2=0.2×10-3。

圖4 基于CPSO算法的可靠性優(yōu)化收斂曲線Fig.4 Convergence curves of reliability optimization based on CPSO

表2 最佳矢量型算法優(yōu)化迭代歷程Table2 Optimization process of best vector method

表3 框架優(yōu)化截面積Table3 Optimal solutions of frame construction 10-2 m2

3.3 算例結(jié)果與分析

將混沌粒子群優(yōu)化算法與結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化理論相結(jié)合，運用基于CPSO的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程，利用MATLAB7.0編制程序，對本算例的結(jié)構(gòu)可靠性進行優(yōu)化設(shè)計。在相同的優(yōu)化模型和參數(shù)取值條件下，對本框架結(jié)構(gòu)分別結(jié)合CPSO算法和PSO算法隨機進行5次結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化，其優(yōu)化收斂曲線分別見圖4和圖 5。用最佳矢量型算法對本框架結(jié)構(gòu)的可靠性進行優(yōu)化，其優(yōu)化迭代歷程如表2所示。將基于CPSO算法的優(yōu)化結(jié)果與基于 PSO算法和最佳矢量型算法的優(yōu)化結(jié)果進行對比，如表3所示。其中，PSO算法的收斂準(zhǔn)則與CPSO算法的一致，最佳矢量型算法的收斂準(zhǔn)則為：

通過比較圖4和圖5可知：基于PSO算法的框架可靠性優(yōu)化早期收斂速度較快，但在其尋優(yōu)后期收斂速度變慢，最終所能得到的優(yōu)化結(jié)果比CPSO算法的優(yōu)化結(jié)果差?；贑PSO算法的框架可靠性優(yōu)化設(shè)計，借助混沌變量的特性，防止了某些粒子在迭代中出現(xiàn)停滯而導(dǎo)致的算法早熟現(xiàn)象，其收斂速度較慢，但搜索范圍較廣，最終所能得到的優(yōu)化結(jié)果較理想。綜合表2和表3可得：基于CPSO算法的二跨二層框架結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化結(jié)果顯著優(yōu)于 PSO算法和最佳矢量型算法優(yōu)化結(jié)果，在滿足本框架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度指標(biāo)及橫截面積要求的約束下，優(yōu)化了結(jié)構(gòu)各元件橫截面積，節(jié)省了材料，使本框架結(jié)構(gòu)總質(zhì)量下降。

4 結(jié)論

(1) 針對基本粒子群算法容易早熟的問題，充分利用基本粒子群算法的全局搜索能力和混沌優(yōu)化的局部搜索能力，動態(tài)收縮搜索區(qū)域，防止了某些粒子在迭代中出現(xiàn)停滯而導(dǎo)致算法早熟的現(xiàn)象。

(2) 針對在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度約束下最小化結(jié)構(gòu)質(zhì)量的優(yōu)化問題，將混沌粒子群算法融入結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計理論中，建立了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化模型，提出了基于混沌粒子群算法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法。

(3) 基于 CPSO算法的框架結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法穩(wěn)定性好，易于實現(xiàn)，并克服了其他算法的早熟現(xiàn)象，其優(yōu)化結(jié)果明顯比 PSO算法和最佳矢量型算法的優(yōu)化結(jié)果優(yōu)。該優(yōu)化設(shè)計方法適用于較復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計，具有較好的工程實用價值和較強的探索開發(fā)能力。

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