李成剛 尤晶晶 吳洪濤

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

在微小型設(shè)備中，對(duì)實(shí)現(xiàn)小范圍內(nèi)偏轉(zhuǎn)的支承，不僅要求分辨率高，而且要求尺寸微型化。彈性鉸鏈符合上述要求，其中部較為薄弱，在彎矩的作用下可以產(chǎn)生彈性角變形，彎矩去除后又能恢復(fù)到原形。與傳統(tǒng)鉸鏈相比，彈性鉸鏈具有體積小、無機(jī)械摩擦、無間隙、無回退空程等優(yōu)點(diǎn)［1］。1965年，Paros等［2］首次給出了圓弧形彈性鉸鏈的簡化計(jì)算公式。基于不同的運(yùn)動(dòng)精度和運(yùn)動(dòng)范圍，目前國內(nèi)外研究的彈性鉸鏈幾何轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)除圓弧形外還有直梁形［3］、橢圓形［4］、拋物線形［5］、雙曲線形［6］等。

目前，彈性鉸鏈的研究方法普遍采用數(shù)值積分法和有限元方法，研究對(duì)象主要集中在單軸和雙軸轉(zhuǎn)動(dòng)［7－8］。由于橫截面慣性矩、極慣性矩等幾何量的不同，單軸或雙軸彈性鉸鏈的理論推導(dǎo)結(jié)論對(duì)三軸彈性鉸鏈一般不適用；而球鉸鏈在科學(xué)研究以及工業(yè)生產(chǎn)中被使用的頻率相當(dāng)高。本文系統(tǒng)地對(duì)橢圓形彈性球鉸鏈的柔度、精度以及疲勞強(qiáng)度進(jìn)行理論推導(dǎo)和分析，旨在為彈性球鉸鏈材料的選擇以及結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)等提供理論依據(jù)。

1 柔度計(jì)算

柔度是評(píng)價(jià)彈性鉸鏈最重要的性能參數(shù)之一，在保證強(qiáng)度的前提下，通常希望鉸鏈具有大的柔度以確保較少的能量損耗。橢圓形彈性球鉸鏈的模型如圖1所示，其任一軸切面如圖2所示。其中，a、b分別為橢圓的長短半軸長；e為彈性鉸鏈中柔性部分長度的一半；t為彈性鉸鏈中厚度的最小值；θm為鉸鏈中橢圓廣角的一半；O點(diǎn)、B點(diǎn)所在的橫截面分別是鉸鏈柔性部分的起始面和終止面，將它們分別看作為固定端和自由端；球鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)中心A點(diǎn)所在的橫截面是鉸鏈上柔性部分的最薄處。

圖1 橢圓形彈性球鉸鏈

圖2 橢圓形彈性球鉸鏈軸切面

設(shè)鉸鏈的軸線為X軸，原點(diǎn)選在O點(diǎn)。過鉸鏈上任意點(diǎn)P的橫截面的直徑h（φ）以及面積A（φ）、慣性矩I（φ）、極慣性矩IP（φ）可以分別表示為

在彈性球鉸鏈的自由端作用彎矩M時(shí)，鉸鏈會(huì)發(fā)生彎曲變形，表現(xiàn)為橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)；作用扭矩T時(shí)，鉸鏈會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，表現(xiàn)為各橫截面之間繞鉸鏈軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。為了定量地考察彈性球鉸鏈的柔度特性，定義A、B兩個(gè)橫截面在單位彎矩下的轉(zhuǎn)角差θAB表征彎曲柔度，截面B在單位扭矩下的轉(zhuǎn)角φB表征扭轉(zhuǎn)柔度。

應(yīng)用卡氏第二定理，可以分別計(jì)算在彎矩M的作用下A、B截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移θA和θB：

式中，E為鉸鏈材料的彈性模量；MA為在A截面虛加的彎矩。

根據(jù)定義，計(jì)算彈性球鉸鏈的彎曲柔度：

應(yīng)用卡氏第二定理，求解在扭矩T作用下截面B相對(duì)于固定端的扭轉(zhuǎn)角：

式中，G為鉸鏈材料的切變模量。

計(jì)算彈性球鉸鏈的扭轉(zhuǎn)柔度：

2 精度計(jì)算

由于彈性鉸鏈?zhǔn)峭ㄟ^彈性變形來實(shí)現(xiàn)鉸鏈運(yùn)動(dòng)的，施加在鉸鏈上的廣義力會(huì)導(dǎo)致鉸鏈中心點(diǎn)偏離其幾何中心，進(jìn)而影響彈性鉸鏈的精度。當(dāng)在鉸鏈的自由端作用彎矩M時(shí)，中心點(diǎn)A會(huì)產(chǎn)生一個(gè)撓度ωA，定義單位彎矩下的撓度為彎曲精度；當(dāng)在鉸鏈的自由端作用拉力F時(shí)，中心點(diǎn)A會(huì)偏移一段距離ΔA，定義單位拉力下的偏移為拉伸精度。

應(yīng)用卡氏第二定理，計(jì)算在彎矩M作用下A點(diǎn)撓度：

計(jì)算彈性球鉸鏈的彎曲精度：

在拉力F作用下，計(jì)算A點(diǎn)偏移量：

3 柔度精度比

由式（7）、式（9）、式（11）、式（13）可以看出：彈性球鉸鏈的柔度和精度往往是矛盾的，很難同時(shí)保證兩個(gè)指標(biāo)都高。例如，橢圓的長短半軸之比越大，則鉸鏈的柔度越大，但精度會(huì)越低。為了兼顧柔度和精度，本文提出一個(gè)全新的概念：將彈性球鉸鏈的柔度精度比作為評(píng)價(jià)彈性球鉸鏈性能的綜合指標(biāo)，并記作V。定義

顯然，V值越大，表征彈性球鉸鏈的綜合性能越好。將式（7）、式（9）、式（11）、式（13）代入式（14），得到彈性球鉸鏈柔度精度比的解析表達(dá)式：

借助于Mat hematica軟件強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算以及繪圖功能，繪制二元函數(shù)J（ε，θm）的曲面圖，如圖3所示，其中，ε、J（ε，θm）均是量綱一參量。

在保證強(qiáng)度的前提下，根據(jù)式（15）和圖3可以分析得到，橢圓形彈性球鉸鏈的材料特性以及結(jié)構(gòu)參數(shù)與其綜合性能滿足如下關(guān)系：

（1）材料的彈性模量越大、切變模量越小，則彈性球鉸鏈的綜合性能越好。

（2）橢圓長短半軸之比越小，則鉸鏈的綜合性能越好，即圓弧形彈性球鉸鏈的綜合性能比橢圓形的綜合性能好。

（3）鉸鏈最小厚度與橢圓短半軸之比越大，則其綜合性能越差；但當(dāng)此比例大于0．8時(shí)，最小厚度對(duì)球鉸鏈性能的影響不再明顯。

（4）鉸鏈的廣角越大，則其綜合性能越差；但當(dāng)廣角大于2．5rad（即θm＞1．25rad）時(shí)，其對(duì)球鉸鏈性能的影響不再明顯。

（5）彈性球鉸鏈的幾何尺寸越小，則其綜合性能越好。

圖3 二元函數(shù)J（ε，θm）的曲面圖

4 疲勞強(qiáng)度校驗(yàn)

上文通過理論推導(dǎo)，在滿足強(qiáng)度的前提下，得到了關(guān)于橢圓形彈性球鉸鏈優(yōu)化設(shè)計(jì)的5個(gè)結(jié)論。然而，彈性球鉸鏈通常工作于交變應(yīng)力環(huán)境下，為了使其不發(fā)生疲勞破壞，有必要推導(dǎo)出鉸鏈疲勞強(qiáng)度的校驗(yàn)公式。顯然，鉸鏈的危險(xiǎn)截面是厚度最小的橫截面A。在自由端同時(shí)作用彎矩M、拉力F和扭矩T時(shí)，危險(xiǎn)截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處的應(yīng)力值最大，其最大正應(yīng)力σmax和最大切應(yīng)力τmax分別為

根據(jù)第三強(qiáng)度理論以及疲勞強(qiáng)度的經(jīng)驗(yàn)公式［9］，可以推導(dǎo)出在同步的拉彎扭組合對(duì)稱循環(huán)交變應(yīng)力作用下彈性球鉸的疲勞強(qiáng)度校驗(yàn)公式：

式中，nστ、nσ、nτ分別為彈 性 鉸 鏈在組合 交 變 應(yīng)力、正應(yīng)力、切應(yīng)力下的工作安全系數(shù)；n為人為規(guī)定的彈性鉸鏈工作安全系數(shù)；σ－1、τ－1分別為正應(yīng)力和切應(yīng)力的疲勞極限；kσ、kτ分別為應(yīng)力集中對(duì)正應(yīng)力和切應(yīng)力的影響系數(shù)；εσ、ετ分別為彈性鉸鏈的幾何尺寸對(duì)正應(yīng)力和切應(yīng)力的影響系數(shù)，β為材料表面加工的影響系數(shù)。

由式（16）～式（18），可以計(jì)算得到彈性球鉸鏈疲勞強(qiáng)度的校驗(yàn)公式：

施加在彈性球鉸鏈自由端的廣義力、鉸鏈的材料特性、最小厚度以及加工工藝等滿足不等式（19）時(shí)，鉸鏈才能夠經(jīng)受至少107次交變載荷的作用而不產(chǎn)生斷裂現(xiàn)象?？梢姡谠O(shè)計(jì)彈性球鉸鏈時(shí)不能只是一味地追求柔度、精度等性能，而不考慮其疲勞強(qiáng)度。

5 應(yīng)用實(shí)例

為了使彈性球鉸鏈具有良好的轉(zhuǎn)動(dòng)性能，依據(jù)第3節(jié)最后所得到的第一個(gè)結(jié)論，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)選用彈性模量大而切變模量小的材料。在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)階段，除了材料的選擇之外，設(shè)計(jì)人員還面臨一個(gè)合理確定各尺寸參數(shù)的難題。例如，在設(shè)計(jì)橢圓形彈性球鉸鏈時(shí)，有幾組尺寸參數(shù)可供選擇，表1列出了其中的4組選擇方案。

表1 橢圓形彈性球鉸鏈尺寸參數(shù)的選擇方案

依據(jù)第3節(jié)最后所得到的后4個(gè)結(jié)論，可以對(duì)表1中的4組方案做出優(yōu)劣判斷，其中，方案4的彈性球鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)性能最優(yōu)。確定尺寸參數(shù)之后，再根據(jù)鉸鏈的材料特性、表面加工處理工藝、作用在鉸鏈上的載荷以及不等式（19）對(duì)彈性球鉸鏈的疲勞強(qiáng)度進(jìn)行校驗(yàn)。如果不等式成立，則該方案滿足設(shè)計(jì)要求；否則，應(yīng)增大最小厚度t，直到不等式（19）成立為止。這樣，設(shè)計(jì)出來的橢圓形彈性球鉸鏈一定是最優(yōu)的。

6 結(jié)束語

本文系統(tǒng)地研究了橢圓形彈性球鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)能力和轉(zhuǎn)動(dòng)精度，以力學(xué)卡氏第二定理為理論基礎(chǔ)，通過引入中間變量，并將橢圓的離心角作為積分變量，推導(dǎo)出彈性球鉸鏈彎曲柔度、扭轉(zhuǎn)柔度、彎曲精度以及拉伸精度的解析表達(dá)式。提出彈性球鉸鏈柔度精度比的概念，給出了其定義表達(dá)式，并以此作為評(píng)價(jià)彈性鉸鏈綜合性能的指標(biāo)；通過計(jì)算得到了在滿足強(qiáng)度的前提下提高該指標(biāo)的措施，即鉸鏈應(yīng)選用彈性模量大、切變模量小的材料；橢圓廣角、橢圓長短半軸之比以及鉸鏈最小厚度與橢圓短半軸之比都應(yīng)盡可能小。推導(dǎo)了彈性球鉸鏈疲勞強(qiáng)度的校驗(yàn)公式，用于檢驗(yàn)設(shè)計(jì)出的鉸鏈能否滿足工作需求。最后，通過一個(gè)應(yīng)用實(shí)例介紹了彈性球鉸鏈的詳細(xì)設(shè)計(jì)過程。

［1］ Yeh H C，Ni W T，Pan S S．Digital Closed－loop Nanopositioning Using Rectilinear Flexure Stage and Laser Interfer o metry［J］．Contr ol Engineering Practice，2005，13：559－566．

［2］ Paros J M，Weisboro L．How to Design Flexure Hinges［J］．Machine Design，1965，37：151－157．

［3］ 秦宇，馮之敬．直梁型柔性鉸鏈制造誤差對(duì)剛度性能影響的建模與分析［J］．中國機(jī)械工程，2008，19（18）：2182－2185．

［4］ 陳貴敏，韓琪．深切口橢圓柔性鉸鏈［J］．光學(xué)精密工程，2009，17（3）：570－575．

［5］ Nicolae L，Jeffrey S N，Ed ward O M，et al．Parabolic and Hyper bolic Flexure Hinges：Flexibility，Motion Precision and Stress Characterization Based on Co mpliance Closed－for m Equations［J］．Precision Engineering，2002，26：183－192．

［6］ Nicolae L，Jeffrey S N，Ephrahim G．Design of Sy mmetric Conic－section Flexure Hinges Based on Closed－for m Compliance Equations［J］．Mechanism and Machine Theory，2002，37：477－498．

［7］ 吳鷹飛，周兆英．柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)剛度計(jì)算公式的推導(dǎo)［J］．儀器儀表學(xué)報(bào)，2004，25（1）：125－128．

［8］ Awtar S，Slocu m A H，Sevincer E．Characteristics of Beam－based Flexure Modules［J］．ASME Journal of Mechanical Design，2007，129（6）：625－639．

［9］ 戴少度．材料力學(xué)［M］．北京：國防工業(yè)出版社，2000．