鄭戰(zhàn)光 蔡敢為 李兆軍 徐細(xì)勇

廣西大學(xué)，南寧，530004

0 引言

19世紀(jì)60年代，Manson和Coffin在研究金屬材料疲勞的過程中注意到，當(dāng)利用塑性應(yīng)變幅εpa的對(duì)數(shù)與疲勞載荷反向次數(shù)2 Nf的對(duì)數(shù)進(jìn)行作圖時(shí)，存在直線關(guān)系。于是他們提出了一種以塑性應(yīng)變幅為參量的疲勞壽命描述法［1］，即

式中，m為疲勞延性指數(shù)；C為疲勞延性系數(shù)；Nf為以反向計(jì)數(shù)的疲勞壽命。

這就是著名的Manson－Coffin低周疲勞模型。它是建立在大量低周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式；同時(shí)，疲勞延性系數(shù)與疲勞延性指數(shù)也均是Manson－Coffin公式擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)果。因此，不僅無法解釋其力學(xué)含義，而且還需要大量的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

低周疲勞破壞是工程結(jié)構(gòu)中常見的一種失效形式。疲勞失效先在最不利的薄弱晶?；驃A雜等缺陷處發(fā)生損傷積累而演化，是一個(gè)能量耗散的過程。疲勞破壞的物理本質(zhì)與損傷力學(xué)基礎(chǔ)理論是一致的。因此，本文旨在損傷力學(xué)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)建立低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型，并揭示Manson－Coffin公式所包含的力學(xué)意義。

1 基于損傷力學(xué)的低周疲勞損傷模型

1．1 損傷力學(xué)基礎(chǔ)理論

由于疲勞失效過程伴隨著熱量的產(chǎn)生與熱量的流動(dòng)，而并非僅僅涉及機(jī)械能的轉(zhuǎn)換，同時(shí)在該過程中所發(fā)生的介質(zhì)劣化與塑性應(yīng)變均具有不可逆性，所以疲勞失效就屬于不可逆的熱力學(xué)過程。因此，由熱力學(xué)第二定律得出的Clausius－Duha mel不等式可得［2］：

式中，σij、εij分別為Cauchy應(yīng)力與無窮小應(yīng)變張量；ρ為質(zhì)量密度；g為單位質(zhì)量的Hel mholtz自由能；qi為熱流密度矢量；θ為絕對(duì)溫度；θi為溫度梯度。

對(duì)于一個(gè)等溫的小變形過程，材料的局部熵產(chǎn)生的不等式（2）可以簡化為［3］

式中，ψ為單位體積的Hel mholtz比自由能。

材料在損傷過程中可以采用細(xì)觀定義的標(biāo)量損傷變量D來描述材料的細(xì)觀損傷，那么Hel mholtz比自由能ψ是與應(yīng)變和損傷有關(guān)的［4］，即

將式（5）代入式（3），可得

損傷過程是一個(gè)能量耗散過程，而耗散特性也可用另一個(gè)被稱為耗散勢(shì)或損傷流動(dòng)勢(shì)的熱力學(xué)勢(shì)ψ＊來描述，它是關(guān)于體積能密度Y的凸函數(shù)，并由熱力學(xué)的對(duì)偶關(guān)系可得［5］

同時(shí)，由內(nèi)變量的正交流動(dòng)法則可得

由式（9）可知，一旦給出了耗散勢(shì)就可以得到損傷演化方程。

1．2 延性損傷模型

為了推導(dǎo)損傷演化方程，基于式（9）并參考文獻(xiàn)［6］給出的耗散勢(shì)ψ＊，可將其表示為［6］

式中，Rv為三軸應(yīng)力比；E為彈性模量；S0、b為材料常數(shù)；p·為累積塑性應(yīng)變率。

將式（10）代入式（9）可得

由損傷力學(xué)的有效應(yīng)力概念［7］，可得

將式（13）代入式（12）可得在單調(diào)載荷作用下推導(dǎo)的延性損傷力學(xué)模型：

1．3 低周疲勞的損傷力學(xué)模型

由于低周疲勞是以塑性應(yīng)變幅為控制變量，同時(shí)，在塑性應(yīng)變循環(huán)載荷作用下，金屬材料一般遵循Ramberg－Osgood冪率強(qiáng)化準(zhǔn)則，因此，含損傷金屬材料應(yīng)變疲勞的循環(huán)應(yīng)力－應(yīng)變行為可描述為［9］

式中，K為材料循環(huán)強(qiáng)度系數(shù)；n為材料循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)。

將式（16）代入式（15）可得

對(duì)一個(gè)循環(huán)的損傷進(jìn)行計(jì)算：

式中，1x表示一個(gè)循環(huán)。

在恒幅應(yīng)變循環(huán)載荷作用下，整個(gè)疲勞損傷過程中的εpa是一個(gè)常量，則損傷D與疲勞壽命N之間的關(guān)系為

當(dāng)疲勞損傷累積到D＝1時(shí)，其相應(yīng)的疲勞壽命Nf可表示為

比較式（1）與式（20），如果要使兩式等價(jià)，就應(yīng)該滿足條件：

2 討論

如果要使式（21）成立，就必須使三軸應(yīng)力比Rv為常數(shù)。這是因?yàn)槭剑?1）中的系數(shù)E、K、C、b、S0均為常數(shù)，而三軸應(yīng)力比Rv與加載方式有關(guān)，是一個(gè)不確定值。由文獻(xiàn)［2］可知：只有在比例加載的情況下，三軸應(yīng)力比Rv才是常數(shù)，方能滿足式（21）成立的條件。這就證實(shí)了 Manson－Coffin公式是假設(shè)疲勞試樣在承受單軸載荷的條件下所提出來的。由此分析可得：Manson－Coffin公式僅僅是低周疲勞損傷力學(xué)模型在一定條件下的一種退化形式。

在Manson－Coffin低周疲勞模型中，材料的疲勞延性系數(shù)C由相應(yīng)的疲勞試驗(yàn)進(jìn)行確定，由此可見，它是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值，缺乏明確的物理含義。假如式（21）成立的話，那么疲勞延性系數(shù)C就有自己的表達(dá)式，它不僅與彈性模量E、材料循環(huán)強(qiáng)度系數(shù)K和材料常數(shù)b、S0有關(guān)，還跟反映加載方式的三軸應(yīng)力比Rv有關(guān)。因此，損傷力學(xué)模型不僅具有豐富的物理內(nèi)涵，而且其參數(shù)的確定也無需大量試驗(yàn)參數(shù)來擬合。

至于式（22），由于系數(shù)m、n、S0均為常數(shù)，為了實(shí)現(xiàn)式（1）與式（20）之間的相互溝通，式（22）是可以恒成立的。在Manson－Coffin公式中，材料的疲勞延性指數(shù)m是通過疲勞試驗(yàn)確定的，而式（22）卻充分表達(dá)了疲勞延性指數(shù)m的含義，它再不是一個(gè)孤立的常數(shù)，而是與材料的循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)n和材料常數(shù)S0的乘積有關(guān)的數(shù)。

3 結(jié)論

（1）傳統(tǒng)的疲勞經(jīng)驗(yàn)公式可由損傷力學(xué)的理論導(dǎo)出，由此賦予了疲勞經(jīng)驗(yàn)公式在損傷力學(xué)意義下的解釋，使得疲勞經(jīng)驗(yàn)公式有了明確的物理內(nèi)涵。

（2）給出了Manson－Coffin公式與低周疲勞損傷力學(xué)模型的等價(jià)條件。在比例加載的情況下，低周疲勞損傷力學(xué)模型可退化為Manson－Coffin公式，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了低周疲勞Manson－Coffin公式適用于比例加載的理想條件。

（3）探明了Manson－Coffin公式中的疲勞延性系數(shù)與疲勞延性指數(shù)分別與低周疲勞損傷力學(xué)模型中的各常數(shù)之間的關(guān)系。通過損傷力學(xué)推導(dǎo)，不僅使Manson－Coffin公式具有豐富的物理內(nèi)涵，而且其參數(shù)也僅需要少量的力學(xué)性能試驗(yàn)就可以確定。

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