張新剛 吳 剛 鐘 鷹

(中國空間技術(shù)研究院西安分院，陜西 西安 710100)

1.引 言

為提高天線的效率,減少對服務(wù)區(qū)相鄰區(qū)域的信號干擾，在衛(wèi)星直播系統(tǒng)及宇宙通信中要求飛行器天線的輻射方向圖能與服務(wù)區(qū)形狀匹配，此即所謂的賦形。賦形反射面天線應(yīng)用一個饋源照射一個表面形狀發(fā)生變化的拋物反射面天線來產(chǎn)生賦形波束。由于物理結(jié)構(gòu)簡單、重量輕，此類天線在通訊衛(wèi)星、雷達(dá)、偵察和干擾等方面具有廣泛的應(yīng)用前景。

目前有很多的算法可以實現(xiàn)對賦形反射面天線的優(yōu)化設(shè)計[1-3]，在眾多的算法中Minimax算法在實際工程應(yīng)用中更加適用[4-5]，因為假如能夠?qū)崿F(xiàn)的話，極小極大值(Minimax)算法能夠保證即使在性能最差的評估站點所得到的性能也滿足設(shè)計要求。

本文首先對計算反射面天線遠(yuǎn)場時所用的物理光學(xué)(PO)和物理繞射(PTD)方法進(jìn)行了簡單介紹，然后在用雅可比-貝塞爾(Jacobi-Bessel)函數(shù)表示反射面形狀的基礎(chǔ)上，以表征反射面形狀的展開系數(shù)作為變量，建立了用Minimax算法對賦形反射面天線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，并指出了在求解時應(yīng)注意的問題，最后通過一個實際的設(shè)計例子來說明此算法在工程應(yīng)用中的有效性和可行性。

2.問題的數(shù)學(xué)模型

由于反射面天線尺寸相對于工作波長(λ)屬于電大尺寸，一般采用PO法進(jìn)行分析計算[6-7]，根據(jù)PO可得反射面的遠(yuǎn)區(qū)場表達(dá)式為

(1)

Je=2(n×Hi)

(2)

式中：Hi是饋源在反射面上的入射磁場；Je是反射面表面的感生電流；n是反射面上法線的單位矢量；μ0是自由空間的磁導(dǎo)率；ω是角頻率；k是波數(shù)，k=2π/λ；r是觀察點所在的位置矢量；r=|r|；r0=r/r；r′是場源所在的位置矢量；S′代表反射面表面。

如果要考慮交叉極化增益或遠(yuǎn)區(qū)旁瓣，PO法的計算精度就不能滿足要求，必須把反射面邊緣的繞射作用考慮進(jìn)去。本文采用物理繞射理論[8-10]對PO方法的計算結(jié)果進(jìn)行修正，以提高計算結(jié)果的精度。

(3)

式中：IT和MT分別是反射面邊緣等效電流和磁流；s是散射波單位矢量；t是反射面邊緣切向單位矢量；R=|r-r′|；Z0是自由空間特征阻抗；C是反射面邊緣的閉合曲線。

用Minimax算法對賦形反射面天線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的一個重要前提條件就是在對反射面建模時，必須用一組完備的正交基函數(shù)來表示其形狀。應(yīng)用正交基函數(shù)展開法可以保證反射面具有全局的光滑性，滿足物理光學(xué)的光滑性假設(shè)，減少優(yōu)化過程中變量的數(shù)目。經(jīng)常用到的有Jacobi-Bessel函數(shù)、Zernike函數(shù)、B-樣條函數(shù)等,可以根據(jù)具體需要加以選擇。

為了實現(xiàn)特定的設(shè)計目標(biāo)而調(diào)整的變量就是設(shè)計參數(shù)，它可能包括反射面的尺寸、焦距、饋源尺寸、反射面的展開系數(shù)等。在對賦形反射面天線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，通常把表征反射面形狀的展開系數(shù)作為設(shè)計參數(shù)。因為展開系數(shù)是影響天線系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)，所以賦形反射面天線的優(yōu)化問題是一個非線性問題。

把所有展開系數(shù)合成起來構(gòu)成N維變量x=(x1,x2,…,xN)T，理論上xi可以取任何值，但是在實際應(yīng)用中為了滿足特定的加工要求，對參數(shù)的取值必須加以限制。這一限制可以通過反射面的表面曲率或者反射面的形變量來加以體現(xiàn)。

天線的主要性能指標(biāo)有增益、交叉極化隔離度、副瓣電平等。為了獲得高性能的天線，在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時通常把指標(biāo)中的一項或者幾項作為必須滿足的主要評判標(biāo)準(zhǔn)[11-12]。在服務(wù)區(qū)范圍內(nèi)放置M個觀測站點來形成觀測變量y=(y1,y2,…,yM)T，然后利用反射面天線的散射場模型計算每個觀測站點的電場值，并與設(shè)計指標(biāo)進(jìn)行對比構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)F(x,y).當(dāng)以主極化增益和交叉極化隔離度作為主要評判標(biāo)準(zhǔn)時，具體形式如下式所示

F(x,y)= (F1(x,y1),…F1(x,yM),

F2(x,y1),…F2(x,yM))T

(4)

F1(x,yi)=wi[D1(yi)-fco(x,yi)]

1≤i≤M

(5)

式中：wi是第i個觀測站點的權(quán)重系數(shù)；D1(yi)、D2(yi)分別是第i個觀測站點設(shè)計要求的主極化電場值和交叉極化隔離度值,fco(x,yi)、fcross(x,yi)分別是設(shè)計參量為x的情況下第i個觀測站點的主極化和交叉極化電場的計算結(jié)果。

Minimax方法就是通過優(yōu)化變量x來使得目標(biāo)函數(shù)F(x，y)的最大值最小化，可以寫成如下的形式

(6)

(7)

即在x的某個限定范圍內(nèi)，尋找能夠使函數(shù)ψ(x)取值最小的點x*.基于一種限步長的梯度迭代算法[13]，以Matlab作為編程工具，自編了一個求解Minimax問題的優(yōu)化程序來進(jìn)行仿真計算，得到了比較理想的結(jié)果。

另外一個值得注意的問題是由于賦形反射面天線的設(shè)計問題是凹的最優(yōu)化問題，梯度算法并不能保證所得到的結(jié)果是全局最優(yōu)解。在實際設(shè)計過程中，為了使設(shè)計結(jié)果盡可能接近全局最優(yōu)解，必須選擇合適的初始狀態(tài)，防止觀測站點正好位于副瓣上。

3.設(shè)計實例

通過一個設(shè)計實例來說明Minimax算法在賦形反射面天線設(shè)計問題中的有效性。

此設(shè)計的目標(biāo)是設(shè)計一個波束覆蓋巴西全部領(lǐng)土的單偏置拋物反射面天線，衛(wèi)星位于地球靜止軌道，定點西經(jīng)55°上空。在此設(shè)計中，把主極化增益和交叉極化隔離度作為主要的評判指標(biāo)，要求在服務(wù)區(qū)范圍內(nèi)，主極化增益至少要達(dá)到28 dBi，交叉極化隔離度要在21 dB以上，服務(wù)區(qū)形狀及其觀測站點如同圖1所示。

圖1 服務(wù)區(qū)形狀及其站點位置示意圖

單偏置拋物反射面天線結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在本次設(shè)計過程中，所采用的具體設(shè)計參數(shù)如下：單偏置拋物反射面口徑投影的直徑D=2a=1.524 m，焦距f=1.506 m，H=1.245 m，θ=42.77° ，饋源采用x極化的 (cosθ)q式饋源，在反射面邊緣有-12 dB(q=14.28)的凋落，設(shè)計的工作頻率為11.95 GHz.

圖2 單偏置拋物反射面天線結(jié)構(gòu)示意圖

反射面表面用Jacobi-Bessel函數(shù)來對反射面表面進(jìn)行展開，具體形式如下

(8)

標(biāo)準(zhǔn)的單偏置拋物反射面天線在遠(yuǎn)區(qū)場等值線圖如圖3所示。從圖中可以看出：在服務(wù)區(qū)域內(nèi)，其輻射能量分布是十分不均勻的，在中心區(qū)域高達(dá)44 dBi，而在邊緣區(qū)域則低于10 dBi.天線的輻射方向圖與服務(wù)區(qū)形狀不匹配，因此，在實際衛(wèi)星通信系統(tǒng)中不能直接采用此類天線，必須對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

采用Minimax算法對反射面天線進(jìn)行優(yōu)化時，標(biāo)準(zhǔn)的單偏置拋物面不能選為初始狀態(tài)。從圖3中可以看到：此時天線的副瓣位于要求的服務(wù)區(qū)內(nèi)。假如某個采樣站點正好位于副瓣上，用Minimax算法進(jìn)行優(yōu)化時，無論如何調(diào)節(jié)都會造成此站點增益的降低，優(yōu)化就有可能困于這個錯誤結(jié)果而無法進(jìn)行下去。因此，必須在標(biāo)準(zhǔn)單偏置拋物面的基礎(chǔ)上疊加一個形變來防止上面情況的出現(xiàn)，所疊加型變量的具體計算公式如下式所示[14]

(9)

x1=(x-x0)cos(α)+(y-y0)sin(α)

y1=-(x-x0)sin(α)+(y-y0)cos(α)

(10)

式中：μ0、ν0是在(μ,ν)坐標(biāo)系下環(huán)繞覆蓋區(qū)域橢圓的中心坐標(biāo)，ω1、ω2是橢圓的半軸長度；α是橢圓的旋轉(zhuǎn)角度。x0、y0是天線口徑的中心坐標(biāo)，D、f分別是天線的口徑和焦距。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)偏置拋物反射面遠(yuǎn)區(qū)場等值線圖(單位:dBi)

仿真中參數(shù)μ0、ν0、ω1、ω2、α的取值分別為-0.00349、-0.00175、0.0995、0.0436、54.46°，在標(biāo)準(zhǔn)單偏置拋物反射面的基礎(chǔ)上疊加此形變量后，得到天線的遠(yuǎn)區(qū)場等值線圖如圖4所示。由圖可見：在服務(wù)區(qū)內(nèi)不存在副瓣，可以避免采樣站點正好位于副瓣上的情況出現(xiàn)，保證優(yōu)化程序順利進(jìn)行。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)偏置拋物反射面疊加形變量后遠(yuǎn)區(qū)場等值線圖 (單位:dBi)

在天線的基本參數(shù)和初始狀態(tài)確定以后，用Minimax算法對反射面表面展開系數(shù)Cnm和Dnm進(jìn)行優(yōu)化，經(jīng)過150次迭代后，得到如圖5所示的主極化增益等值線圖。如果所疊加的形變量不合適，優(yōu)化開始時服務(wù)區(qū)內(nèi)存在副瓣，即使經(jīng)過更多次的迭代，也無法收斂到較好的結(jié)果。相反，只要保證服務(wù)區(qū)內(nèi)沒有旁瓣，疊加不同的形變量對算法收斂性無明顯影響。因此，在對參數(shù)μ0、ν0、ω1、ω2、α進(jìn)行取值時，只要使所確定的橢圓基本上能把服務(wù)區(qū)包含在內(nèi)，保證服務(wù)區(qū)沒有旁瓣即可，對橢圓的具體大小和位置不必過分關(guān)注。

圖5 優(yōu)化后主極化增益等值線圖 (單位:dBi)

從圖5中可以看到：在巴西所有的領(lǐng)土范圍內(nèi)，主極化增益都在28.5 dBi以上,并且在約30%的區(qū)域內(nèi)高于30 dBi，比設(shè)計要求的28 dBi至少高出0.5 dB.能量在整個服務(wù)區(qū)內(nèi)分布比較均勻，與服務(wù)區(qū)形狀匹配。應(yīng)用于衛(wèi)星通信系統(tǒng)中作為發(fā)射天線時，只需要生產(chǎn)一種型號的地面接收設(shè)備(能接收到增益為28.5 dBi的信號)，就可以在整個巴西領(lǐng)土范圍內(nèi)任意一點接收到衛(wèi)星信號。圖6給出了優(yōu)化后服務(wù)區(qū)的交叉極化隔離度等值線圖，由圖可見：在服務(wù)區(qū)內(nèi)任何一點交叉極化隔離度都在21 dB以上，并且在60%以上的區(qū)域，交叉極化隔離度在25 dB以上。

圖6 優(yōu)化后交叉極化隔離度等值線圖(單位:dB)

優(yōu)化后反射面相對于標(biāo)準(zhǔn)單偏置拋物面形變量的等值線圖如圖7所示。可見優(yōu)化后反射面形變量在(-0.8λ，0.4λ)范圍內(nèi)，而且沒有發(fā)生突變的區(qū)域，整個表面比較光滑，滿足實際加工要求。

圖7 優(yōu)化后反射面形變量等值線圖 (單位:λ)

4.結(jié) 論

為得到覆蓋整個巴西領(lǐng)土的對主極化增益和交叉極化隔離度都有嚴(yán)格要求的賦形波束，本文建立了用Minimax算法對單偏置拋物反射面天線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了仿真計算。從數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，在服務(wù)區(qū)內(nèi)主極化增益都在28.5 dBi以上,交叉極化隔離度都在21 dB以上，完全滿足設(shè)計指標(biāo)要求。優(yōu)化得到的反射面表面比較光滑，滿足實際加工要求。優(yōu)化結(jié)果對工程應(yīng)用具有重要的參考價值，此優(yōu)化方法還可以用于星載多波束賦形和在軌重構(gòu)方面。

[1] CHOU H, CHOU H T. Fast SDM for shaped reflector antenna synthesis via patch decompositions in PO integrals[J]. Progress In Electromagnetic Research, PIER, 2009, 92:135-151.

[2] DUAN D W, RAHMAT-SAMII Y. A generalized diffraction synthesis technique for high performance reflector antenna[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1995, 43( 1):27-39.

[3] AVILA S L, CARPES W P, VASCONCELOS J A. Optimization of an offset Reflector Antenna Using Genetic Algorithms[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40(2): 1256-1259.

[4] JACOBSEN H S, MADSEN K. Synthesis of nonuniformly spaced arrays using general nonlinear minimax optimization method[J]. IEEE Trans, 1976,24:501-506.

[5] KLEIN C A. Design of shaped-beam antennas through minimax gain optimization[J]. IEEE Trans, 1984, 32: 963-968.

[6] 李 鵬，張志華，王 為，等. 基于不同網(wǎng)格形式的反射面天線方向圖分析[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2009,31(2):347-351.

LI Peng, ZHANG Zhihua, WANG Wei, et al. Far field pattern numerical analysis of reflector antenna based on different grid forms[J]. Systems Engineering and Electronics, 2009, 31(2):347-351.(in Chinese)

[7] 王 偉，段寶巖，馬伯淵. 重力作用下天線反射面形變及其調(diào)整角度的確定[J]. 電波科學(xué)學(xué)報，2008，23(4):645-650.

WANG Wei, DUAN Baoyan, MA Boyuan. Gravity deformation and best rigging angle for surface adjustment of large reflector antennas[J]. Chinese Journal of Radio Science,2008,23(4):645-650.(in Chinese)

[8] JOHANSEN P M. Uniform physical theory of diffraction equivalent edge currents for truncated wedge strips[J]. IEEE Trans, 1996, 44:989-995.

[9] 馮 林，鄧書輝，阮穎錚. 反射面天線帶內(nèi)雷達(dá)散射截面[J]. 電波科學(xué)學(xué)報，1996，11(2):18-21.

FENG Lin, DENG Shuhui, RUAN Yingzheng. Reflector antenna's RCS in operating band[J]. Chinese Journal of Radio Science, 1996, 11(2):18-21.(in Chinese)

[10] 肖 疆，徐曉文，董 濤. 多孔毀傷時賦形反射面天線輻射特性的研究[J]. 電波科學(xué)學(xué)報，2003，18(6):648-651.

XIAO Jiang, XU Xiaowen, DONG Tao. Study on the radiation characteristics of a shaped beam reflector antenna under the multi-hole damnification[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2003, 18(6):648-651. (in Chinese)

[11] BENDIMERAD M F, MERIAH S. Design of linear antenna arrays for side lobe reduction using the tabu search method[J]. The International Arab Journal of Information Technology, 2008, 5(3): 219-222.

[12] PUJARA D A. Improving the beam efficiency of an offset parabolic reflector antenna for space-borne radiometric application[J]. Progress In Electromagnetic Research C, 2009, 10:143-150.

[13] MADSEN K. An algorithm for minmax solution of over determined systems of non-linear equations[J]. J. Inst. Math Applics,1975,16: 321-328.

[14] HAYES S G. Shapes for Reflector Antennas[D]. Brisbane Australia: University of Queensland, 1993.