宋方臻，馮會(huì)民，劉 慧

(濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南 250022)

0 引言

并聯(lián)機(jī)床作為機(jī)床技術(shù)和機(jī)器人技術(shù)結(jié)合的產(chǎn)物，受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。制約并聯(lián)機(jī)床發(fā)展的主要因素是精度問題，影響并聯(lián)機(jī)床加工精度的因素有多種，已有許多的學(xué)者針對(duì)各影響因素進(jìn)行了深入的研究［1-5］。Wang［1］建立了實(shí)際 Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)的反向和前向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，用仿真的方法研究了機(jī)構(gòu)制造誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)精度的影響;Patel和Ehmann［2］建立了Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)的微分誤差模型。王海軍［3］運(yùn)用ADMAS軟件建立了并聯(lián)機(jī)床的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)，通過運(yùn)動(dòng)仿真研究了關(guān)節(jié)間隙對(duì)并聯(lián)機(jī)床加工精度的影響規(guī)律;徐軼軻［4］根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型提出了一種控制補(bǔ)償策略來減小系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差;史長(zhǎng)虹［5］根據(jù)虛擬軸數(shù)控機(jī)床與傳統(tǒng)數(shù)控機(jī)床的本質(zhì)區(qū)別，擬訂了新型變軸數(shù)控機(jī)床定姿態(tài)工作精度檢驗(yàn)方案，并對(duì)變姿態(tài)工作精度檢驗(yàn)提出建議。杜兆才［6］運(yùn)用彈性動(dòng)力學(xué)理論和 Lagrange方程推導(dǎo)出了平面柔性并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程，研究了桿件的彈性變形對(duì)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的位置誤差和方向誤差的影響。何雪浤［7］等人研究了3-TPT型并聯(lián)機(jī)床工作空間內(nèi)桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈間隙誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)精度的影響規(guī)律。但是，上述研究主要是針對(duì)并聯(lián)機(jī)床的靜態(tài)誤差和準(zhǔn)靜態(tài)誤差進(jìn)行的，關(guān)于動(dòng)態(tài)誤差的研究還很不充分。實(shí)際上，并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能是影響其精度的主要因素之一，有必要進(jìn)行深入探討。平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)、電主軸和控制系統(tǒng)是平面并聯(lián)機(jī)床的重要組成部分。在加工過程中，平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)和電主軸形成耦合的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。因此，必須從平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)的角度出發(fā)，研究動(dòng)力學(xué)參數(shù)變化對(duì)平面并聯(lián)機(jī)床動(dòng)態(tài)性能的影響，從而提出降低平面并聯(lián)機(jī)床加工誤差的有效措施。

1 耦合系統(tǒng)的分析模型

圖1為平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖(主軸置于節(jié)點(diǎn)C)

在文獻(xiàn)［8］中，我們已建立了平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:

篇幅所限，動(dòng)力學(xué)方程(1)中的參數(shù)和變量詳見文獻(xiàn)［8］，這里不再贅述。

描述平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的重要參數(shù)有剛度和阻尼。平面并聯(lián)機(jī)床主要由平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)和電主軸構(gòu)成，因此分別研究剛度和阻尼參數(shù)變化對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。

根據(jù)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(1)，就可以利用數(shù)值分析的方法研究參數(shù)變化對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。本文研究的耦合系統(tǒng)實(shí)例的具體參數(shù)如下:

桿件橫截面邊長(zhǎng)為a0=25mm，b0=25mm，各桿的長(zhǎng)度為l1=l4=40mm，l2=l3=200mm，彈性模量E=210Gpa，轉(zhuǎn)子質(zhì)量 m=1.3kg，轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度 l=210mm，轉(zhuǎn)子兩端軸承到轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離a=b=105mm。

2 剛度變化對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響

通常以幅頻特性作為評(píng)價(jià)機(jī)床動(dòng)態(tài)性能的依據(jù)。因此，本文通過MATLAB［9］編程來研究剛度和阻尼變化對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。

(1)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響

桿件尺寸是反映桿件剛度的重要參數(shù)，因此可以通過改變并聯(lián)桿件的截面尺寸來調(diào)節(jié)并聯(lián)桿件的剛度，從而研究平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。

由于只考慮平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的面內(nèi)變形，主軸在A0、B0端的振動(dòng)情況是相同的［8］，故僅對(duì)主軸一端的幅頻特性進(jìn)行研究。圖2、3為并聯(lián)桿件截面高度分別為25mm、35mm和45mm時(shí)，主軸在x、y方向上的幅頻特性曲線。

從以上兩圖可以看出，截面尺寸變化對(duì)主軸A0端的振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生了顯著的影響。當(dāng)截面高度由25mm增加到35mm時(shí)，A0端在 x方向的振幅由原來的0.32μm減小到0.25μm，即振幅減小了21.9%，在y方向上的振幅減少到0.18μm，減小了10%;同時(shí)可以看出，截面尺寸的變化對(duì)耦合系統(tǒng)的固有頻率也有一定影響。

(2)主軸剛度對(duì)耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響

主軸的剛度kxa變化對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響如圖4、5 所示(圖中 kxa1、kxa2、kxa3為 kxa的三個(gè)不同取值):

從圖4、5中的數(shù)據(jù)可以看到，主軸剛度kxa變化對(duì)耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響不明顯。當(dāng)主軸剛度增加到原來的1.2倍、1.4倍的時(shí)候，其振幅基本不變，僅在頻率為100Hz時(shí)略有變化。

3 阻尼對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響

(1)平面并聯(lián)桿件的阻尼對(duì)耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖6、7為平面并聯(lián)桿件的阻尼c變化時(shí)，主軸在x、y方向上的振動(dòng)響應(yīng)曲線(圖中c1、c2、c3為c的三個(gè)不同取值，c為比例阻尼，［k］為并聯(lián)桿件系統(tǒng)的剛度矩陣)。

從上面兩圖中可以看出，并聯(lián)桿件的阻尼參數(shù)c對(duì)耦合系統(tǒng)振動(dòng)的影響非常顯著。阻尼增大為原來1倍的情況下，主軸在x方向上的振幅由原來的0.32μm減小到0.16μm，減小了50%，在y方向上的振幅也由原來的0.195μm減小到0.13μm，減小了33.3%。

(2)主軸阻尼對(duì)耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響

下面研究主軸的阻尼cxa變化對(duì)耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生的影響。圖8、9為主軸的阻尼發(fā)生變化時(shí)，主軸在x、y方向上的振動(dòng)響應(yīng)(這兩幅圖中c1、c2、c3為cxa的三個(gè)不同取值)。

從上面兩圖中的數(shù)據(jù)顯示可以看出，主軸阻尼cxa變化對(duì)耦合系統(tǒng)的振動(dòng)影響不是很明顯，尤其是主軸在x方向上的振幅基本沒有發(fā)生變化，僅在頻率大于100Hz時(shí)略微有些差距;在y方向上主軸的振幅變化比x方向上要明顯，主軸阻尼增大1倍情況下，幅值大約降低0.03μm，即降低了15.4%。

由此可以得出，平面并聯(lián)桿件系統(tǒng)的阻尼變化對(duì)耦合系統(tǒng)的振動(dòng)影響較為明顯，主軸阻尼變化對(duì)耦合系統(tǒng)振動(dòng)的影響不如桿件系統(tǒng)阻尼的影響大。因此選擇增大平面并聯(lián)桿件系統(tǒng)的阻尼參數(shù)是提高平面并聯(lián)機(jī)床加工精度的另外一條可行措施。例如，可以采用阻尼層技術(shù)，這樣即不會(huì)使桿件尺寸顯著增大，又能使機(jī)床主軸達(dá)到減振的效果。

4 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

結(jié)構(gòu)在給定載荷激勵(lì)下的瞬態(tài)響應(yīng)是評(píng)價(jià)其動(dòng)態(tài)性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)。在不同的剛度和阻尼情況下，觀察脈沖信號(hào)激勵(lì)作用下主軸的運(yùn)動(dòng)軌跡，更能直觀體現(xiàn)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

(1)剛度變化對(duì)主軸運(yùn)動(dòng)的影響

當(dāng)桿件截面高度為25mm，主軸剛度為428750N/m時(shí)主軸的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示。僅將桿件截面高度改變?yōu)?5mm，保持主軸剛度不變，得到的主軸運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示。而保持桿件截面高度為25mm不變，將主軸剛度改變?yōu)閳D10所對(duì)應(yīng)剛度的1.2倍，得到的主軸運(yùn)動(dòng)軌跡如圖12所示。

圖12 桿件截面高度為25mm，主軸剛度增大1.2倍后主軸的運(yùn)動(dòng)軌跡

從圖10、11、12可以看出，當(dāng)截面高度由25mm增大到35mm時(shí)，主軸的振動(dòng)范圍有了明顯的降低:在x方向上由原來的0.065μm減小到0.05μm，振幅降低了23%，在 y方向上由原來的 0.036μm降低到0.03μm，降幅為16.7%;而當(dāng)主軸剛度變化時(shí)，主軸的振動(dòng)范圍變化不明顯，振幅在x方向僅減小0.002μm，在y方向上僅減小0.001μm。

(2)阻尼變化對(duì)主軸運(yùn)動(dòng)的影響

當(dāng)將桿件阻尼增大到圖10所對(duì)應(yīng)阻尼一倍，保持系統(tǒng)其它參數(shù)不變，得到的主軸運(yùn)動(dòng)軌跡如圖13所示。而保持系統(tǒng)其它參數(shù)不變，僅將主軸阻尼改變?yōu)閳D10所對(duì)應(yīng)阻尼的一倍，得到的主軸運(yùn)動(dòng)軌跡如圖14所示。

將圖13、14與圖10中的數(shù)據(jù)對(duì) 比可以看出，當(dāng)桿件阻尼增大為原來的一倍時(shí)，主軸的振動(dòng)范圍變化明顯:在x方向上振幅減小了0.004μm，減幅比為6%，在y方向上的振幅減少了8%;相比較而言，當(dāng)主軸阻尼增大為原來的一倍時(shí)，主軸的振動(dòng)范圍變化不大，振幅在x方向僅減小了0.003μm，在y方向上幾乎無變化。

5 結(jié)束語

在平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與電主軸耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分別研究了平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)及主軸的剛度和阻尼參數(shù)變化對(duì)耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能響應(yīng)規(guī)律。結(jié)果表明，耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能主要受平面并聯(lián)桿件的剛度和阻尼的影響，平面并聯(lián)機(jī)床的加工精度隨并聯(lián)桿件截面尺寸(剛度)的增大而提高，相比較而言，受主軸的剛度和阻尼變化的影響較小。因此，在提高平面并聯(lián)機(jī)床的加工精度和動(dòng)態(tài)性能時(shí)，應(yīng)該著重考慮平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，適當(dāng)?shù)卦龃蟛⒙?lián)桿件的剛度(例如增大桿件的截面尺寸)和阻尼。

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