陳慶利 ，蒲亦非，黃 果，周激流

(1. 四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 成都 610065；2. 樂(lè)山師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 四川 樂(lè)山 614004)

圖像是記錄和傳遞信息的重要載體和手段，由于多種原因，圖像在生成、傳輸和變換的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生質(zhì)量下降和特征淹沒(méi)現(xiàn)象，對(duì)圖像分析和識(shí)別帶來(lái)困難。因此，改善圖像的視覺(jué)效果，提高圖像清晰度，豐富圖像信息量，加強(qiáng)圖像判讀和機(jī)器識(shí)別效果，是現(xiàn)代圖像處理的主要內(nèi)容。數(shù)字圖像鄰域內(nèi)，像素之間的灰度值具有很強(qiáng)的相關(guān)性，通常以復(fù)雜的紋理特征表現(xiàn)出來(lái)。采用基于空域的傳統(tǒng)整數(shù)階方法增強(qiáng)圖像的紋理信息，其整數(shù)階微分結(jié)果約等于零[1-3]，必然會(huì)使紋理細(xì)節(jié)大幅線性衰減，造成圖像的邊界輪廓、紋理細(xì)節(jié)等變得模糊不清[1,4-5]。因此，既要大幅提升圖像邊緣和加強(qiáng)紋理細(xì)節(jié)，又要非線性保留平滑區(qū)域，成為圖像增強(qiáng)研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。

分?jǐn)?shù)階微積分是描述分?jǐn)?shù)維空間的有力工具，是分析和處理許多“非”問(wèn)題、“非”現(xiàn)象，如非線性、非因果、混沌等的數(shù)學(xué)工具和建模工具，已在非線性動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)化控制以及材料力學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，特別是在信號(hào)的奇異性檢測(cè)和提取方面具有特殊的效用[6]。在頻域內(nèi)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分發(fā)現(xiàn)[7-10]：1) 圖像分?jǐn)?shù)階微分具有特殊的Mach現(xiàn)象[3,5,11]，其拮抗特性具有特殊的生物視覺(jué)感受野模型[1-2,4-5,12]；2) 直流或低頻信號(hào)的分?jǐn)?shù)階微分值一般不為零，這是分?jǐn)?shù)階微分與整數(shù)階微分的最大不同[2,4-5,12-14]。由于數(shù)字圖像相鄰像素之間的灰度值具有高度的自相似性，并以復(fù)雜的紋理細(xì)節(jié)特征作為其表現(xiàn)形式，對(duì)信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分處理既能大幅提升信號(hào)的高頻分量，又能在一定程度上非線性地加強(qiáng)信號(hào)的中頻分量，并非線性地保留信號(hào)的低頻和直流分量[1-6,12]。

本文根據(jù)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義推導(dǎo)出Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分方程，構(gòu)造出0～1階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分算子；給出8個(gè)不同方向上的n×n分?jǐn)?shù)階微分模板規(guī)則，并討論了其數(shù)值運(yùn)算規(guī)則；通過(guò)計(jì)算不同微分階次下圖像的熵，確定使圖像增強(qiáng)效果最好的微分階次范圍。實(shí)驗(yàn)表明，該分?jǐn)?shù)階微分算子能比較明顯地增強(qiáng)圖像的紋理和邊緣細(xì)節(jié)，使增強(qiáng)后的圖像清晰度提高，圖像視覺(jué)效果明顯，并且對(duì)高斯平滑后的圖像的增強(qiáng)效果也十分明顯。

1 Riemann-Liouville 0～1階分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)算子構(gòu)造

圖1 8個(gè)方向上的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分模板

圖1中的C0為覆蓋在感興趣點(diǎn)s0=s(x,y)上的模板系數(shù)值。根據(jù)式(6)，可推導(dǎo)出v階(0

由圖1可知，可逐點(diǎn)移動(dòng)圖像和Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分算子卷積模板，實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的分?jǐn)?shù)階微分的空域?yàn)V波。與Grümwald-Letnikov微分方法[2,4-6]比較發(fā)現(xiàn)，它們都具有相同的結(jié)構(gòu)，只不過(guò)對(duì)應(yīng)位置的微分系數(shù)不同而已，因此可采用本文運(yùn)算規(guī)則構(gòu)造新的分?jǐn)?shù)階微分/積分算子及其數(shù)值運(yùn)算規(guī)則和對(duì)應(yīng)的電路結(jié)構(gòu)。上述8個(gè)方向上的卷積運(yùn)算規(guī)則分別為：

由于對(duì)彩色圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分且當(dāng)階次v較大時(shí)，對(duì)R、G、B各分量的非線性增強(qiáng)幅度會(huì)破壞R、G、B這3個(gè)分量的相關(guān)性[4-5]，分?jǐn)?shù)階微分后的圖像可能會(huì)出現(xiàn)色彩失真，而在HSI空間中因只對(duì)其中的I分量進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分，則不會(huì)出現(xiàn)色彩失真情況，其數(shù)值運(yùn)算規(guī)則同上。

2 實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)果分析

式中，p為圖像直方圖統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

圖2 goldhill灰度圖像Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分結(jié)果

從視覺(jué)效果看，分?jǐn)?shù)階微分后，goldhill圖中屋頂?shù)耐咂?、房屋的門(mén)窗以及道路上的碎石具有更多的紋理信息，圖像更清晰，如圖3b所示；對(duì)圖像進(jìn)行高斯平滑后，屋頂?shù)耐咂?、房屋的門(mén)窗等的紋理信息丟失圖像變得模糊，如圖3c所示；經(jīng)分?jǐn)?shù)階微分后，瓦片、門(mén)窗等丟失的的紋理信息恢復(fù)，圖像變得甚至比原圖更清晰，如圖3d所示。，因此，分?jǐn)?shù)階微分可在一定上恢復(fù)圖像丟失的紋理細(xì)節(jié)。

圖3 不同階次下goldhill圖像的熵

從圖3可知，灰度圖像的熵隨著微分階次v的變化而逐漸增大，說(shuō)明圖像的信息得到增強(qiáng)；但到一定程度后會(huì)顯著下降，這是因?yàn)楫?dāng)微分階次v增大時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分對(duì)圖像具有較明顯的平滑作用，使圖像的紋理細(xì)節(jié)等信息丟失，圖像的熵顯著減小。

通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于灰度圖像，可根據(jù)圖像熵隨階次v變化的曲線得到使goldhill圖像分?jǐn)?shù)階微分效果最好的微分階次范圍。在該范圍內(nèi)，圖像微分后的視覺(jué)效果和熵信息都相差無(wú)幾。因此，根據(jù)圖3可大概估計(jì)使goldhill圖微分效果最好的階次范圍為0.5～0.55；而對(duì)高斯平滑后的圖像，微分效果最好的范圍為0.75～0.82。在本文的實(shí)驗(yàn)中，v分別取0.50和0.80階，恰好在該范圍內(nèi)。

圖4 彩色圖像的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分結(jié)果

對(duì)于彩色圖像，由于其包含的信息量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于灰度圖像的信息量，因此，其分?jǐn)?shù)階微分效果明顯優(yōu)于灰度圖像的微分效果；當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分階次v較大時(shí)，對(duì)R、G、B各分量的非線性增強(qiáng)幅度會(huì)破壞3個(gè)分量的相關(guān)性，微分后的圖像可能會(huì)出現(xiàn)色彩失真，如圖4b所示；而對(duì)HSI空間的I分量單獨(dú)進(jìn)行增強(qiáng)，則不會(huì)出現(xiàn)色彩失真。由于彩色圖像包含3個(gè)通道的信息量，對(duì)該3個(gè)通道均采用(5×5,0.8)的高斯平滑后，部分通道紋理細(xì)節(jié)可能被平滑掉，而其他通道紋理未被平滑掉，因此分?jǐn)?shù)階微分后，這些紋理信息依然能得到很好的增強(qiáng)，如圖4e和圖4f所示。

圖5 不同階次v下彩色圖像的熵

統(tǒng)計(jì)彩色圖像的熵，從圖5和圖3可看出，彩色圖像的熵隨著微分階次v的變化同于灰度圖像的熵隨著微分階次v的變化。

大量實(shí)驗(yàn)表明，可根據(jù)彩色圖像熵隨階次v變化的曲線得到使圖像微分效果最好的大致的微分階次范圍，但與灰度圖像相比，該范圍應(yīng)該靠近數(shù)值較小的方向，如對(duì)于平滑后HSI圖像的增強(qiáng)，由圖5可知，分?jǐn)?shù)階微分階次v越高，其微分效果越差。實(shí)驗(yàn)表明，v=0.9的效果遠(yuǎn)不及v=0.79時(shí)的效果(如圖4f所示)，這是因?yàn)楫?dāng)微分階次較大時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分對(duì)圖像具有較明顯的平滑作用，使圖像的紋理、邊緣等信息丟失。

3 結(jié) 論

本文在Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分的基礎(chǔ)上構(gòu)造了0～1階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階空域微分增強(qiáng)算子，用數(shù)字算法實(shí)現(xiàn)了該分?jǐn)?shù)階微分算子；并通過(guò)不同微分階次下圖像的熵的值確定使圖像增強(qiáng)效果最好的微分階次范圍。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該算子能明顯地增強(qiáng)圖像的紋理和邊緣信息，增強(qiáng)后圖像清晰度提高，視覺(jué)效果明顯，對(duì)高斯平滑后的圖像的增強(qiáng)效果也十分明顯。

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