陽(yáng)仁貴,劉根友,柴艷菊

(中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所動(dòng)力大地測(cè)量學(xué)開(kāi)放研究實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢430077)

0 引 言

GNSS高精度快速相對(duì)定位需要利用高精度的載波相位觀測(cè)值,載波相位觀測(cè)值存在著初始的整周數(shù)偏差,即初始模糊度,該模糊度是未知的,只有正確地確定了模糊度后,載波相位才能轉(zhuǎn)化為精確的偽距進(jìn)行精密定位計(jì)算。雙差相位模糊度具有整數(shù)特性,這是提高定位效率和精度的前提條件。

但是相位模糊度整數(shù)周計(jì)算沒(méi)有直接解算算法,常用的方法是依據(jù)不同的優(yōu)化準(zhǔn)則,在設(shè)定的整數(shù)空間通過(guò)合適的搜索算法實(shí)現(xiàn)的。在模糊度的搜索算法中,最簡(jiǎn)單的算法是在搜索空間內(nèi)遍歷所有的模糊度整數(shù)組合,通過(guò)比較計(jì)算,選取使得模糊度殘差帶權(quán)2范數(shù)最小的整數(shù)組合為模糊度的固定解,該方法又簡(jiǎn)稱枚舉法。顯然它的搜索效率是最低的,因?yàn)樗耆雎粤四：戎g的一些確定性的先驗(yàn)信息。為了提高模糊度的解算效率,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者做了大量的研究工作,提出了一些高效的模糊度整數(shù)周固定算法,如基于坐標(biāo)域的模糊度函數(shù)法(AFM);基于模糊度協(xié)方差陣的快速模糊度解算法[1](FARA)、最小二乘搜索法[2](LSAST)、Cholesky分解算法、快速模糊度搜索濾波(FASF)、最小二乘降相關(guān)法[3](LAMBDA);另外還有用約束方程解模糊度法(ARCE)、附加模糊度參數(shù)的卡爾曼濾波法[4]、局部最小值法、模糊度解算新方法[5-6]等。

在模糊的整數(shù)集空間內(nèi)依據(jù)搜索準(zhǔn)則固定模糊度為整數(shù)周時(shí),當(dāng)觀測(cè)值中不包含任何隨機(jī)性和系統(tǒng)性的誤差時(shí),搜索固定的模糊度就是正確的模糊度,不需要任何檢驗(yàn)過(guò)程。但實(shí)際上,在進(jìn)行GNSS觀測(cè)的過(guò)程中,必然會(huì)受到各種誤差源的影響,從而導(dǎo)致觀測(cè)量中包含多種誤差,這些誤差雖然已經(jīng)經(jīng)過(guò)合適的處理,但其殘余誤差仍然會(huì)導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果為有偏的,從而導(dǎo)致模糊度解的不確定性。對(duì)精密的快速定位和導(dǎo)航來(lái)說(shuō),必須保證模糊度整數(shù)解的正確性,所以需要采取一定的措施在最大程度上抑制估計(jì)結(jié)果的有偏和不確定性。

為了驗(yàn)證模糊度整數(shù)解的可靠性,需要對(duì)模糊度固定結(jié)果進(jìn)行合適的假設(shè)檢驗(yàn)。現(xiàn)在采用的假設(shè)檢驗(yàn)方法,主要基于兩種類型的信息:載波相位觀測(cè)量的殘差和來(lái)自偽距的測(cè)站位置解,在一定程度上能確保模糊度解的可靠性。

模糊度整數(shù)解的檢驗(yàn)[11-13]是模糊度解算的關(guān)鍵內(nèi)容之一。只有通過(guò)各項(xiàng)檢驗(yàn),才能確認(rèn)模糊度的整數(shù)解是可靠的,才能回代入原方程重新解算基線分量。否則,說(shuō)明模糊度解算失敗,需要增加新的觀測(cè)數(shù)據(jù),重新搜索固定模糊度。

本文在此新的檢驗(yàn)方法的基礎(chǔ)上,提出了一種模糊度候選值再分析方法,可有效提高模糊度整數(shù)解確定的成功率。

1 相位整周模糊度搜索計(jì)算

忽略電離層和對(duì)流層等系統(tǒng)誤差的影響,GNSS相位觀測(cè)值相對(duì)定位雙差方程線性化形式可如下表示:

式中:A為基線分量設(shè)計(jì)陣;B為模糊度參數(shù)系數(shù)陣;x為基線向量參數(shù);a為雙差模糊度參數(shù);W為雙差觀測(cè)值權(quán)陣。

如果選用等權(quán)觀測(cè),那么雙差權(quán)陣W可以表示為

式中:n表示觀測(cè)衛(wèi)星個(gè)數(shù);i和j分別表示矩陣的行、列號(hào)。

由最小二乘原理,可解得基線分量和模糊度浮點(diǎn)解為

用平差因子陣JA生成等價(jià)方程后,可直接解算出模糊度的實(shí)數(shù)解和誤差方差陣為

式中,JA=I-A(ATWA)-1ATW.

同理,可得消除模糊度后的基線分量的估計(jì)值和協(xié)方差陣為

式中,JB=I-B(BTWB)-1BTW

依據(jù)正交分解方法,有如下的二次目標(biāo)函數(shù)分解形式[2]:

式(6)右邊的第一項(xiàng)是最小二乘估計(jì)后觀測(cè)量殘差加權(quán)平方和,它是常數(shù)。第三項(xiàng)中因Qx⌒(a)為正定陣,而x為實(shí)數(shù)解。由于目標(biāo)函數(shù)的最小值是在第二項(xiàng)為最小時(shí)取得的,故模糊度的優(yōu)化準(zhǔn)則為

2 Ratio值檢驗(yàn)的改進(jìn)

在模糊度的檢驗(yàn)中,用得最多也最簡(jiǎn)單直觀的方法是Ratio顯著性檢驗(yàn)。

建立Ratio顯著性檢驗(yàn)如下

限值threshold根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)先給定。一般實(shí)踐中,設(shè)定范圍為2～3。有的研究者稱上述Ratio為F-ratio,即F假設(shè)檢驗(yàn)。

另外還有W檢驗(yàn)[11],其表達(dá)式為

式中:Qd是d的協(xié)因子陣;σ2為協(xié)方差因子;TW服從學(xué)生氏t分布,可以設(shè)定合適的置信區(qū)間,判斷模糊度的可靠性。

以上的Ratio值檢驗(yàn)法只是簡(jiǎn)單地判斷模糊度整數(shù)解與實(shí)數(shù)解殘差賦權(quán)最小2范數(shù)。式(6)右邊實(shí)際包含有三項(xiàng),而 Ω(a)只是代表了其中的第二項(xiàng),雖然其優(yōu)化結(jié)果一樣,但是進(jìn)行Ratio檢驗(yàn)時(shí),其比值有差異。依據(jù)最小二乘優(yōu)化準(zhǔn)則,應(yīng)該兼顧基線分量部分的范數(shù)以及觀測(cè)值殘差范數(shù)的大小。

因此,改進(jìn)原來(lái)的Ratio值計(jì)算如下:

式(13)表示的Ratio,其threshold值的取值范圍可先驗(yàn)地定為 1.5～3。只有當(dāng) Ratio大于threshold,才認(rèn)為模糊度是可靠的,否則,模糊度是不可靠的,還需要運(yùn)用新的方法提高模糊度的解算成功率。

3 模糊度候選值再分析法

對(duì)于快速定位的模糊度解算問(wèn)題,因存在多路徑效應(yīng)誤差和其它的殘余誤差的影響,當(dāng)僅僅用模糊度的整數(shù)解與實(shí)數(shù)解的加權(quán)平均和來(lái)確定模糊度時(shí),其Ratio檢驗(yàn)將可能通不過(guò),或者通過(guò)檢驗(yàn)也不一定是正確,故需要應(yīng)用新的判別準(zhǔn)則進(jìn)行再分析,以促進(jìn)模糊度可靠性和成功率的提高。

由優(yōu)化準(zhǔn)則搜索模糊度,在輸出的模糊度候選值中,有可能是范數(shù)次小、或者范數(shù)次次小等對(duì)應(yīng)的模糊度整數(shù)解是正確的整數(shù)解。這時(shí),Ratio值檢驗(yàn)一般都通不過(guò)。但我們可以輸出多組模糊度解,然后用新的檢驗(yàn)準(zhǔn)則對(duì)輸出的多個(gè)候選值進(jìn)行驗(yàn)證,以甄別出正確的模糊度整數(shù)解,這就是候選值再分析方法。

對(duì)同一組模糊度的整數(shù)組合進(jìn)行兼容性驗(yàn)證。在搜索輸出的幾組模糊度向量中,把模糊度分為主模糊度組和從模糊度組,主模糊度組中模糊度個(gè)數(shù)為3個(gè)以上。假設(shè)主模糊度搜索固定正確,可以用它推導(dǎo)出從模糊度組中的模糊度。這時(shí),推導(dǎo)出的從模糊度組也接近整數(shù)值,從而可以通過(guò)直接取整得到。因此,我們可以利用該方法檢驗(yàn)輸出的候選模糊度組內(nèi)部是否統(tǒng)一,即由其中的多個(gè)模糊度(3個(gè)以上),計(jì)算同組中其它的模糊度,看計(jì)算出的模糊度與前面用搜索算法輸出的模糊度整數(shù)解是否一致,如果一致,說(shuō)明模糊度組中的模糊度是兼容的,尋找所有兼容的模糊度候選值作為“準(zhǔn)模糊度整數(shù)解”。

對(duì)多個(gè)兼容的“準(zhǔn)模糊度整數(shù)解”,回代入原來(lái)的法方程,計(jì)算模糊度固定為整數(shù)的基線分量解和然后對(duì)的大小進(jìn)行排序,以式(13)表示的方式,如果比值大于上述給定的下限值(threshold),可初步判定最小范數(shù)對(duì)應(yīng)的整數(shù)組合為正確的固定解。另外,“準(zhǔn)模糊度整數(shù)解”回代入原方程,并重新進(jìn)行最小二乘估計(jì),可以得到新的基線分量解,再計(jì)算模糊度固定后的基線解與固定前的實(shí)數(shù)解之間的差值的加權(quán)平均和(權(quán)為基線分量協(xié)方差陣的逆陣),即計(jì)算基線向量的偏噪率。

基線的偏噪率(BNR)的計(jì)算公式如下:

當(dāng)“準(zhǔn)模糊度整數(shù)解”通不過(guò)Ratio值檢驗(yàn)時(shí),可以根據(jù)計(jì)算的BNR進(jìn)行排序,選最小的偏噪率對(duì)應(yīng)的模糊度整數(shù)解為最終的模糊度整數(shù)解,這樣能顯著提高模糊度的成功率。后面用數(shù)值算例驗(yàn)證了這些思路。

4 算例分析

4.1 模糊度整數(shù)解檢驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)基線數(shù)據(jù)為200個(gè)歷元的靜態(tài)單頻數(shù)據(jù)(L1),數(shù)據(jù)采樣間隔為1 s,基線長(zhǎng)度約為3 km。兩測(cè)站的共視衛(wèi)星為6顆,它們組成的5個(gè)衛(wèi)星對(duì)分別為27-11,27-8,27-31,27-28,27-7。數(shù)據(jù)預(yù)處理結(jié)果顯示,相位沒(méi)有發(fā)現(xiàn)周跳現(xiàn)象,模糊度的正確值為a=[-10 -8 11 -37 -25]T。

分別利用不同的歷元的觀測(cè)值進(jìn)行最小二乘模糊度實(shí)數(shù)解估計(jì),然后應(yīng)用搜索算法進(jìn)行整周模糊度搜索,輸出最終確定的5個(gè)模糊數(shù)殘差范數(shù)最小的整數(shù)組合,同時(shí)也輸出相應(yīng)的范數(shù)和基線向量偏噪率,并用改進(jìn)前和改進(jìn)后的兩種Ratio檢驗(yàn)方法進(jìn)行可靠性檢驗(yàn)。

下面只列舉用歷元號(hào)為22、24、30、40、120計(jì)算結(jié)果,浮點(diǎn)解用選權(quán)擬合解法估計(jì)[8]。表1為不同歷元進(jìn)行模糊度解算的結(jié)果。

其中模糊度范數(shù)根據(jù)式(6)右邊第二項(xiàng)計(jì)算。兩種Ratio檢驗(yàn)方法的計(jì)算方式為

基線分量的偏噪率(BNR)的計(jì)算公式為

表1顯示,歷元22、24、30、120的計(jì)算結(jié)果中,模糊度Ratio1的值均大于2.0,但是僅僅歷元120最小模糊度范數(shù)對(duì)應(yīng)的模糊度整數(shù)組合為正確的整數(shù)解,其它的均不是最小范數(shù),歷元22的正確模糊度范數(shù)排在倒數(shù)第四位,歷元24的正確模糊度范數(shù)排在倒數(shù)第三位,而改進(jìn)的模糊度Ratio2,僅歷元120大于1.5,所以該歷元的模糊度整數(shù)解是可靠的,其它歷元模糊度是不可靠的,這證明了Ratio1檢驗(yàn)方法的不可靠,而改進(jìn)的第二個(gè)Ratio檢驗(yàn)反映了模糊度整數(shù)解可靠性。

在模糊度解算不可靠時(shí),即Ratio2小于1.5時(shí),要么是增加觀測(cè)數(shù)據(jù)重新解算模糊度整數(shù),要么是應(yīng)用新的模糊度確定準(zhǔn)則來(lái)判定模糊度正確值。本文研究了依據(jù)基線分量的偏噪率(B NR)來(lái)確定模糊度的整數(shù)解。表1表示,正確的整數(shù)解對(duì)應(yīng)的基線分量的偏噪率均為最小值,因此依據(jù)該準(zhǔn)則,可以很容易地從候選多組模糊度整數(shù)解中選出已經(jīng)存在的正確的整數(shù)組合。表1是每個(gè)歷元模糊度候選值都輸出范數(shù)最小的5組,如歷元22,依據(jù)偏噪率BNR值,可以選定第4組為最終整數(shù)解,而歷元24是選擇第2組為最終整數(shù)解。結(jié)果顯示,依據(jù)該準(zhǔn)則,顯著地提高了正確模糊度整數(shù)解解算成功率。

表1 不同歷元號(hào)的模糊度解算結(jié)果

4.2 模糊度整數(shù)候選值再分析法確定整數(shù)解

從以上算例的結(jié)果分析可知,如果模糊度檢驗(yàn)通不過(guò),也并不意味著模糊度解算完全失敗,我們還可以通過(guò)“模糊度候選值再分析法”,在候選值中尋找正確的模糊度整數(shù)解。由上述算例可知,模糊度正確值在候選模糊度組中的順序與最小的BNR值所在的位置對(duì)應(yīng),故采用“候選值再分析法”能提高模糊度計(jì)算的成功率。依據(jù)該思路優(yōu)化快速定位實(shí)時(shí)解算的算法,可以實(shí)現(xiàn)快速定位高效實(shí)時(shí)解算的功能。

本實(shí)驗(yàn)利用了多條GPS基線實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和分析。由于篇幅有限,這里只簡(jiǎn)單介紹對(duì)2003年2月18日觀測(cè)的一條長(zhǎng)約3 km基線的GPS靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行單歷元解算一些情況。該數(shù)據(jù)的采樣間隔為2 s,共有2443個(gè)可用的觀測(cè)歷元。計(jì)算時(shí)以PRN31衛(wèi)星作為參考衛(wèi)星。

應(yīng)用全部觀測(cè)歷元數(shù)據(jù)用計(jì)算的L1和L2相位雙差整周模糊度為[-2 -5 -4 -3 -5 3 1 2 2 2]T。固定的模糊度整數(shù)解代入原方程,求得基線分量參數(shù)的估計(jì)值為[-0.1543 0.5527 0.6189]T,與伯爾尼軟件利用全部數(shù)據(jù)計(jì)算的實(shí)數(shù)解[-0.1569 0.5505 0.6155]基本一致,說(shuō)明計(jì)算結(jié)果是可靠的。

對(duì)全部2443個(gè)歷元進(jìn)行單歷元解算,采用P碼與相位組合的方法避免秩虧問(wèn)題。計(jì)算結(jié)果顯示,單歷元模糊度候選值再分析法確定的整數(shù)解的成功率達(dá)到100%。

圖1為1000個(gè)單歷元解與正確整數(shù)解的差值的變動(dòng)范圍和趨勢(shì)。水平方向?yàn)闅v元號(hào),縱方向?yàn)榛€分量解的差值,單位m。結(jié)果顯示,單歷元解的精度在2 cm以內(nèi)。

圖1 單歷元定位獲得的基線分量與全部歷元計(jì)算結(jié)果差值

5 結(jié) 論

相位模糊度整數(shù)周解算的第二步和第三步是固定模糊度值為整數(shù)和整數(shù)解的檢驗(yàn),這也是模糊度分離算法的關(guān)鍵內(nèi)容。好的搜索算法有助于實(shí)現(xiàn)模糊度高效搜索,好的檢驗(yàn)方法可以保證模糊度整數(shù)解的可靠性和成功率。本文主要針對(duì)模糊度最終整數(shù)解的確定,分析了已有模糊度Ratio檢驗(yàn)方法的不足,提出了一種更可靠的Ratio檢驗(yàn)方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,該檢驗(yàn)方法能可靠地判定最小模糊度范數(shù)對(duì)應(yīng)的模糊度整數(shù)組是否為可靠的模糊度整數(shù)解。

同時(shí),考慮到模糊度檢驗(yàn)通不過(guò)的情況,為避免直接判定模糊度解算失敗,設(shè)計(jì)了一種“模糊度候選值再分析法”,在模糊度范數(shù)較少的幾組候選值中尋找正確的模糊度整數(shù)解,以達(dá)到提高模糊度解算成功率的目的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,應(yīng)用該方法能顯著地提高模糊度整數(shù)解確定的成功率,從而促進(jìn)了實(shí)時(shí)高精度定位的實(shí)現(xiàn)。

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