尚利峰

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010022）

數(shù)學(xué)悖論對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響

尚利峰

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010022）

數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機都是由數(shù)學(xué)悖論引起的。論述了數(shù)學(xué)悖論及其引發(fā)的三次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生與發(fā)展，及數(shù)學(xué)悖論對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。

數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)悖論；數(shù)學(xué)危機

隨著歷時的前進、社會的不斷進步，人的意識形態(tài)也在不斷地發(fā)展、前進。數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，屬于意識形態(tài)范疇，其自身同樣也經(jīng)歷了一系列的演化、發(fā)展。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科，透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生。本文僅就數(shù)學(xué)史中數(shù)學(xué)悖論的起因、影響及其對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響作一初步的探討。

1 從悖論說起

什么是悖論?“悖論”一詞源于希臘文，意為“無路可走”，轉(zhuǎn)義是“四處碰壁，無法解決問題”。悖論是一種認識矛盾，它既包括邏輯矛盾、語義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。簡單地說，悖論往往表現(xiàn)為這樣的命題：如果認為它真，則可以推出它為假；如果認為它假，則可以推出它為真［1］。

從潛科學(xué)的觀點來看，悖論是一種在已有科學(xué)規(guī)范中無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的科學(xué)規(guī)范中得到克服，其存在具有客觀性和必然性，它是科學(xué)理論演進中的必然產(chǎn)物，在科學(xué)發(fā)展史上經(jīng)常出現(xiàn)，普遍存在于各門科學(xué)之中。悖論常常以邏輯推理為手段，深入到原理論的根基之中，尖銳地揭露出該理論體系中潛藏著的無法回避的矛盾，所以它的出現(xiàn)必然導(dǎo)致現(xiàn)存理論體系的危機?？茖W(xué)危機的產(chǎn)生，往往是科學(xué)革命的前兆和強大杠桿，是科學(xué)認識飛躍的關(guān)節(jié)點和開始進入新階段的重要標志。

2 數(shù)學(xué)悖論及其引發(fā)的是三次數(shù)學(xué)危機

數(shù)學(xué)悖論作為悖論的一種，主要發(fā)生在數(shù)學(xué)研究中。所謂數(shù)學(xué)悖論，是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中既有數(shù)學(xué)規(guī)范中發(fā)生的無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中得到解決。數(shù)學(xué)中有許多著名的悖論，如：說謊者悖論、芝諾悖論、康托爾悖論、羅素悖論等。

數(shù)學(xué)史上的危機，指數(shù)學(xué)發(fā)展中危及整個理論體系的邏輯基礎(chǔ)的根本矛盾。這種根本性矛盾能夠暴露一定發(fā)展階段上數(shù)學(xué)體系邏輯基礎(chǔ)的局限性，促使人們克服這種局限性，從而促使數(shù)學(xué)的大發(fā)展。數(shù)學(xué)史上的三次危機都是由數(shù)學(xué)悖論引起的，下面作以簡要的分析。

2.1 第一次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生及其影響

“希帕索斯悖論”導(dǎo)致數(shù)學(xué)史上的第一次“危機”。畢達哥拉斯學(xué)派認為“數(shù)的和諧”是宇宙的本質(zhì)。所謂“數(shù)的和諧”就是指一切事物和現(xiàn)象都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)的比［2］公元前5世紀，畢達哥拉斯學(xué)派的成員希帕索斯（Hippasus，470B.C.前后）發(fā)現(xiàn)：等腰直角三角形斜邊與一直角邊是不可公度的，它們的比不能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。這一發(fā)現(xiàn)不僅嚴重觸犯了畢達哥拉斯學(xué)派的信條，同時也沖擊了當時希臘人的普遍見解，因此在當時它就直接導(dǎo)致了認識上的“危機”。希帕索斯的這一發(fā)現(xiàn)，史稱“希帕索斯悖論”，從而觸發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次危機。

在希帕索斯悖論發(fā)現(xiàn)之前，人們僅認識到自然數(shù)和有理數(shù)，有理數(shù)理論成為占統(tǒng)治地位的數(shù)學(xué)規(guī)范，希帕索斯發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)，暴露了原有數(shù)學(xué)規(guī)范的局限性。由此看來，希帕索斯悖論是由于主觀認識上的錯誤而造成的。

希帕索斯的發(fā)現(xiàn)，促使人們進一步去認識和理解無理數(shù)，同時也告訴人們直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理和證明才是可靠的。但是，基于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展水平，畢達哥拉斯學(xué)派及以后的古希臘的數(shù)學(xué)家們沒有也不可能建立嚴格的無理數(shù)理論，他們對無理數(shù)的問題基本上采取了回避的態(tài)度，放棄對數(shù)的算術(shù)處理，代之以幾何處理，從而開始了幾何優(yōu)先發(fā)展的時期，在此后兩千年間，希臘的幾何學(xué)幾乎成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。當然，這種將整個數(shù)學(xué)捆綁在幾何上的狹隘作法，對數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了不利的影響。

2.2 第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生及其影響

第二次數(shù)學(xué)危機主要涉及微積分理論，而其理論基礎(chǔ)是建立在無窮小分析之上的。在實際應(yīng)用中，無窮小分析必須既是零，又不是零。

而當時的英國大主教貝克萊（G.Berkeley，1685～1753）對當時的微積分學(xué)說進行了猛烈的抨擊。他說牛頓先認為無窮小量不是零，然后又讓它等于零，這違背了背反律，并且所得到的結(jié)果實際上是0/0，是“依靠雙重錯誤得到不科學(xué)卻正確的結(jié)果”，這是因為錯誤互相抵償?shù)木壒?。在?shù)學(xué)史上，稱之為“貝克萊悖論”［3］。這一悖論的發(fā)現(xiàn)，在當時引起了一定的思想混亂，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次危機，引起了持續(xù)200多年的微積分基礎(chǔ)理論的爭論。

“貝克萊悖論”提出以后，許多著名數(shù)學(xué)家從各種不同的角度進行研究、探索，試圖把微積分重新建立在可靠的基礎(chǔ)之上。法國數(shù)學(xué)家柯西通過《分析教程》（1821）、《無窮小計算講義》（1823）、《無窮小計算在幾何中的應(yīng)用》（1826）這幾部著作，建立起以極限為基礎(chǔ)的現(xiàn)代微積分體系。但柯西的體系仍有尚待改進之處。比如：他關(guān)于極限的語言尚顯模糊，依靠了運動、幾何直觀的東西；缺乏實數(shù)理論。法國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯是數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的主要奠基者之一，他改進了波爾查諾、阿貝爾、柯西的方法，首次用“ε-δ”方法敘述了微積分中一系列重要概念如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等，建立了該學(xué)科的嚴格體系?！唉?δ”方法的提出和應(yīng)用于微積分，標志著微積分算術(shù)化的完成。為了建立極限理論的基本定理，不少數(shù)學(xué)家開始給出無理數(shù)的嚴格定義。1860年，魏爾斯特拉斯提出用遞增有界數(shù)列來定義無理數(shù)；1872年，戴德金提出用分割來定義無理數(shù)；1883年，康托爾提出用基本序列來定義無理數(shù)等等。這些定義，從不同的側(cè)面深刻揭示了無理數(shù)的本質(zhì)，從而建立了嚴格的實數(shù)理論，徹底消除了希帕索斯悖論，把極限理論建立在嚴格的實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，并進而導(dǎo)致集合論的誕生。

2.3 第三次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生及其影響

由于嚴格的實數(shù)理論和極限理論的建立，上述兩次數(shù)學(xué)“危機”得到了解決。但是，由于嚴格的實數(shù)理論和極限理論都是以集合論為基礎(chǔ)的，因而由集合論悖論所導(dǎo)致的第三次“危機”，可以看作是前兩次危機的繼續(xù)與深化，它所涉及的問題比前兩次更為廣泛，因而危機感也更為深刻。

1902年，英國著名數(shù)理邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素（B.Russell，1872～1970）宣布了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，并不存在什么絕對的嚴密性!史稱“羅素悖論”。1918年，羅素把這個悖論通俗化，成為“理發(fā)師悖論”（一個理發(fā)師聲稱將給城里所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)。他應(yīng)否給自己理發(fā)?可以證明：他應(yīng)給自己理發(fā)，又不應(yīng)給自己理發(fā)）。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，從根本上危及了整個數(shù)學(xué)體系的確定性和嚴密性。于是在數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)界引起了一場軒然大波，形成了數(shù)學(xué)史上的第三次危機［4］。

羅素悖論：以S表示所有不以自身為元素的集合的全體。按照集合論的概括原則（構(gòu)成集合的原則），S應(yīng)該是一個集合?，F(xiàn)在問S是否是S的一個元素?如果S∈S，則按照S的定義應(yīng)有S不屬于S；如果S不屬于S，則按S的定義又應(yīng)有S∈S。無論哪種情況都導(dǎo)致矛盾。羅素悖論動搖了集合論，也動搖了當時的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。羅素悖論表明不能無條件承認概括原則，然而概括原則的改變將使集合論大為改觀，因此對整個數(shù)學(xué)的影響是巨大的。

為了解決第三次數(shù)學(xué)危機，數(shù)學(xué)家們作了不同的努力。由于他們解決問題的出發(fā)點不同，所遵循的途徑不同，所以在本世紀初就形成了不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)流派，這就是以羅素為首的邏輯主義學(xué)派、以布勞威爾為首的直覺主義學(xué)派和以希爾伯特為首的形式主義學(xué)派。這三大學(xué)派的形成與發(fā)展，把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論研究推向了一個新的階段。三大學(xué)派的數(shù)學(xué)成果首先表現(xiàn)在數(shù)理邏輯學(xué)科的形成和它的現(xiàn)代分支——證明論等——的形成上。

為了排除集合論悖論，羅素提出了類型論，策梅羅提出了第一個集合論公理系統(tǒng)，后經(jīng)弗倫克爾加以修改和補充，得到常用的策梅羅——弗倫克爾集合論公理體系，以后又經(jīng)伯奈斯和哥德爾進一步改進和簡化，得到伯奈斯——哥德爾集合論公理體系。希爾伯特還建立了元數(shù)學(xué)。作為對集合論悖論研究的直接成果是哥德爾不完全性定理。

美國杰出數(shù)學(xué)家哥德爾于20世紀30年代提出了不完全性定理。他指出：一個包含邏輯和初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，則是不完全的，亦即無矛盾性不可能在本系統(tǒng)內(nèi)確立；如果初等算術(shù)系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，則協(xié)調(diào)性在算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)是不可能證明的。哥德爾不完全性定理無可辯駁地揭示了形式主義系統(tǒng)的局限性，從數(shù)學(xué)上證明了企圖以形式主義的技術(shù)方法一勞永逸地解決悖論問題的不可能性。它實際上告訴人們，任何想要為數(shù)學(xué)找到絕對可靠的基礎(chǔ)，從而徹底避免悖論的種種企圖都是徒勞無益的，哥德爾定理是數(shù)理邏輯、人工智能、集合論的基石，是數(shù)學(xué)史上的一個里程碑。

時至今日，第三次數(shù)學(xué)危機還不能說已從根本上消除了，因為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決。然而，人們正向根本解決的目標逐漸接近。在這個過程中還將產(chǎn)生許多新的重要成果，如概率論［5］。

3 數(shù)學(xué)悖論對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用

由上述數(shù)學(xué)悖論所引起的數(shù)學(xué)史上的三次危機，都是數(shù)學(xué)深入發(fā)展的結(jié)果，許多數(shù)學(xué)家為消除危機作了不懈的努力。這些努力促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展，促進了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。

對數(shù)學(xué)悖論的認識實際上是對數(shù)學(xué)這一科學(xué)歷史局限性的認識；而解決數(shù)學(xué)悖論的過程則是發(fā)展認識并超載這種歷史局限性的過程。正如黑格爾所說：“矛盾正是對知性的局限性的超越和這種局限性的消解”［6］。在數(shù)學(xué)和邏輯史上，每一次悖論的發(fā)現(xiàn)和相對解決，都推進了數(shù)學(xué)和邏輯的發(fā)展演化［7］。四色問題的發(fā)現(xiàn)也屬此例。

［1］景天魁.社會認識的結(jié)構(gòu)與悖論［M］.北京：中國社會科學(xué)出版社，1990.

［2］李文林.數(shù)學(xué)史教程［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［3］張順燕.數(shù)學(xué)的源與流［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［4］馬丁·加德納.從驚訝到思考—數(shù)學(xué)悖論奇景［M］.北京：科學(xué)技術(shù)文獻出版社，1984.

［5］徐伯華.概率論誕生的思想歷程［J］.咸陽師范學(xué)院學(xué)報，2006，21（4）：16-19.

［6］黑格爾.邏輯學(xué)：上卷［M］.北京：商務(wù)印書館，1980.

［7］夏基松.西方數(shù)學(xué)哲學(xué)［M］.北京：人民出版社，1986.

〔編輯 李?！?/p>

The Impact of Mathematical Paradox on the Development of Mathematics

HANG Li-feng
（Institute for hte History of Science and Technology，Inner Mongolia Normal University，Huhhot，Inner Mongolia 010022）

The three mathematical crises in the history of mathematics are caused by the mathematical paradox.This paper discusses mathematical paradox of the three caused the emergence and development crisis in mathematics and mathematical paradox of the role of the devslopment of mathematics.

hestory of mathematics；mathematical paradox；mathematical

G420

A

1674-0874（2011）01-094-03

2010-08-23

尚利峰（1980-），女，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，在讀碩士，研究方向：數(shù)學(xué)史。