汪昭

（常熟理工學院物理與電子工程學院，江蘇常熟 215500）

超混沌Chen系統(tǒng)周期映射下的廣義同步

汪昭

（常熟理工學院物理與電子工程學院，江蘇常熟 215500）

研究了超混沌Chen系統(tǒng)的廣義同步化問題.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，提出了混沌系統(tǒng)在周期性映射下的廣義同步方法.用理論和數(shù)值計算驗證了該方法.最后討論了各參數(shù)對同步的影響.

超混沌系統(tǒng)；廣義同步；周期映射

混沌信號的同步是混沌和非線性理論應用于通信工程的核心問題之一.從Pecora和Carroll開創(chuàng)性地提出混沌同步并在電路中實現(xiàn)以來[1]，因為混沌同步運用廣泛，受到國內(nèi)外學者的重視[2].隨著研究的深入，同步概念由最初的精確同步（identical synchronization,簡稱IS）拓展到了廣義同步（generalized synchronization,簡稱GS）[3].文獻[4]給出了一類不含平方項混沌系統(tǒng)的精確同步方法.在混沌通信的實際應用中，由于參數(shù)失配和各種失真不可避免，同時也出于二次加密的需要，廣義同步比精確同步具有更廣泛的應用.

廣義同步是混沌系統(tǒng)軌道經(jīng)過二次映射后再進行同步的方法.常規(guī)的二次映射有線性映射[5]和非線性映射[6].常見的研究中，映射規(guī)則通常不顯含時間t.本文以超混沌Chen系統(tǒng)為例，研究了混沌系統(tǒng)的一種特殊含時映射系統(tǒng)，即周期性函數(shù)映射下的廣義同步方法.

1 廣義同步的定義和響應系統(tǒng)的設計

1.1 廣義同步定義

定義如下兩個非線性系統(tǒng)：

式（1）和式（2）分別為n階驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)，式（1）是一個典型的混沌或超混沌系統(tǒng).其中xi,yi∈R，X=(x1,x2,x3...xn)T，A為n×n維矩陣，φ(x)是非線性向量函數(shù).

現(xiàn)定義一個實數(shù)域上的映射zi(t)=H(xi,t)，且H(xi,t)可微.

若當t→∞時，yi(t)=zi(t)，則可認為驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達成了廣義同步.特殊情況下，若zi(t)=H(xi,t)=xi(t)，為精確同步（IS），所以IS是GS的一種特例.

1.2 超混沌Chen系統(tǒng)的廣義同步

超混沌系統(tǒng)是一類具有四維或四維以上的微分系統(tǒng)，且至少有兩個或兩個以上正Lyapunov指數(shù).2004年，Li等通過設計非線性狀態(tài)反饋控制器從Chen系統(tǒng)中得到了超混沌系統(tǒng)[7].超混沌Chen系統(tǒng)的微分方程如下：

當參數(shù)a=35,b=3,c=12,d=7，并且0≤r≤0.085時，該系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動，當a=35,b=3, c=12,d=7，且0.085≤r≤0.798時，該系統(tǒng)表現(xiàn)為超混沌運動，當a=35,b=3,c=12,d=7，且0.798≤r≤0.90時系統(tǒng)表現(xiàn)為周期性運動.定義驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)之間的映射為zi(t)=H(xi,t).

設計一個響應系統(tǒng)Y，滿足Y˙=F(y,x,t).令

可證明（4）式可與（3）式達成廣義同步.

證明定義廣義同步誤差系數(shù)，用e表示：

顯然V≥0，當ki＜0時，顯然V·≤0，根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性理論，此時響應系統(tǒng)可實現(xiàn)混沌同步.證畢.

不失一般性，定義一個周期映射規(guī)則：H(xi,t)=xisinωt.由（4）式，響應系統(tǒng)可以寫成如下形式：

理論上，該響應系統(tǒng)可以與周期映射后的混沌系統(tǒng)進行同步.下面我們利用數(shù)值仿真的方法對該響應系統(tǒng)的有效性進行驗證.

2 數(shù)值仿真和結果

使用MATLAB的ODE45方法對驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)進行模擬仿真，以驗證響應系統(tǒng)的有效性.為了保證驅動系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，我們選取以下參數(shù)：a=35,b=3,c=12,d=7，r=0.6；定義k=k1=k2=k3=-3；ω=π，初值：t0=0，驅動系統(tǒng)初值如下：（x1=10,x2=15,x3=30,x4=10），響應系統(tǒng)初值如下：（y1=-10,y2=-14,y3=5,y4=8）.

如圖1所示為四條誤差曲線，四條誤差曲線分別在2s內(nèi)穩(wěn)定收斂于0，即超混沌Chen系統(tǒng)（3）與響應系統(tǒng)（9）達到了同步，可見本文設計的廣義同步方法是有效的.

圖1 廣義同步誤差系數(shù)隨時間變化曲線

3 討論

廣義同步的效率受到驅動系統(tǒng)、映射系統(tǒng)和響應系統(tǒng)各種參量的影響.這些影響主要體現(xiàn)在同步的效率速度和同步穩(wěn)定性兩個方面.Lyapunov函數(shù)值的情況是系統(tǒng)同步的主要指標.本文主要利用觀察Lyapunov函數(shù)值變化的方式，具體分析各參量對同步的作用和影響.

3.1 反饋系數(shù)k對同步效率的影響

一般來說，反饋系數(shù)k絕對值越大，同步速度越快，保證其他參數(shù)不變，觀察不同的k值下Lyapunov函數(shù)值的變化情況（如圖2所示）.

圖2所示k分別為-3，-4，-5，-10條件下Lyapunov函數(shù)值的變化情況.由圖2可以看到，k的絕對值越大，Lyapunov函數(shù)收斂越快.所以反饋系數(shù)k可以有效調(diào)節(jié)響應系統(tǒng)的收斂速度.當然，也可以通過分別調(diào)整k1,k2,k3,k4的值，以達到單獨控制各同步誤差曲線的收斂速率的目的.

圖2 不同k值下Lyapunov函數(shù)的收斂情況

3.2 響應系統(tǒng)對驅動系統(tǒng)數(shù)據(jù)積分采樣步長對廣義同步的影響

響應系統(tǒng)是一個反饋系統(tǒng)，其動力學性質取決于自身當前狀態(tài)和驅動系統(tǒng)當前狀態(tài)的共同作用.數(shù)值模擬通常都是離散系統(tǒng).響應系統(tǒng)（9）的積分過程中必須要對映射驅動系統(tǒng)信號進行采樣，得到的數(shù)值是一些離散值，并且在下一次采樣之前，響應系統(tǒng)積分計算使用的驅動系統(tǒng)信息維持不變.系統(tǒng)積分采樣頻率大小會影響同步系統(tǒng)的穩(wěn)定性和計算效率.設采樣間隔時間為S，分別在不同的采樣時間間隔內(nèi)研究Lyapunov函數(shù)的收斂穩(wěn)定性，得到的結果如圖3所示，時間間隔分別為0.05 s、0.02 s、0.01 s、0.001 s.

參數(shù)同上文，k=-3，如圖3所示，當s=0.05秒時，Lyapunov函數(shù)在收斂與0之后又反復震蕩，峰值達到100.函數(shù)值在該過程中顯得非常不穩(wěn)定，且具有一定的隨機性.這種情況下，同步系統(tǒng)無法滿足實際應用的要求；當s=0.02秒時，Lyapunov函數(shù)相對穩(wěn)定，收斂后振蕩的峰值在10-20左右，但仍然可以看出明顯的波動，當s=0.01秒時，函數(shù)曲線收斂后已經(jīng)基本平直，函數(shù)值只是在少數(shù)點上出現(xiàn)了幅度較?。ㄐ∮?0）的波動，s=0.001秒時的曲線已經(jīng)基本平直.由此可見，采樣頻率越大，廣義同步越穩(wěn)定.但是，并非采樣頻率越大越好，提高采樣頻率會造成響應系統(tǒng)的計算量變大，會影響同步的效率.所以，必須根據(jù)實際應用要求確定響應系統(tǒng)精度，選擇恰當?shù)牟蓸宇l率，兼顧響應精度和效率.

圖3 不同采樣時間間隔下Lypunov函數(shù)的收斂情況.

3.3 映射系統(tǒng)頻率對廣義同步的影響

圖4 在不同的映射頻率下系統(tǒng)的穩(wěn)定性

綜上所述，若發(fā)現(xiàn)映射系統(tǒng)頻率增加造成廣義同步誤差偏大時，需要通過減小反饋系統(tǒng)的采樣步長來解決上述問題.

4 總結

本文提出了一種在周期映射下，超混沌Chen系統(tǒng)的廣義同步問題，并且研究了各參數(shù)對同步的影響.含時映射具有一定的普遍性，該方法可以應用到其他的混沌或超混沌系統(tǒng)的廣義同步中.

當然，這個問題還有許多方面值得探究和思考：假設驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)無法實現(xiàn)時間同步，則在響應系統(tǒng)中缺少參數(shù)t的情況下，是否可能達成兩個系統(tǒng)的廣義同步，如可能，該如何做？另外我們觀察到在圖3和圖4中，由采樣步長和映射頻率改變而造成的Lyapunov函數(shù)不穩(wěn)定起伏曲線圖，盡管幅值不同，但位置和相對比例具有一致性，這種相似結構的成因是否與混沌系統(tǒng)自相似結構有關，有待進一步研究.

[1]PECORA L M，CARROL T L.Synchronization in chaos system[J].Phys Rev Lett,1990,64（8）：821-824．

[2]程艷云.混沌同步及其運用[J].南京郵電大學學報（自然科學版），2007，27（3）：80-87.

[3]方錦清.非線性系統(tǒng)中混沌控制方法、同步原理及其應用前景（二）[J].物理學進展，1996,16（2）：174-176.

[4]汪昭.基于線性反饋方法的一類不含平方項混沌系統(tǒng)的同步[J].常熟理工學院學報，2011，25（2）：42-46.

[5]陳明杰，李殿璞，張愛筠.混沌系統(tǒng)的一種廣義同步方法[J].哈爾濱工程大學學報，2005，26（1）：59-62.

[6]王小娟，楊志民.Lorenz混沌系統(tǒng)的一種廣義同步方法[J].西北師范大學學報（自然科學版），2007，43（5）：47-49.

[7]Li Y X,Tang W K S,Chen G R.Generating hyperchaos via state feedback control[J].Nonliner Dyn,2002,29（1）:3-22.

Generalized Synchronization of Periodic Mapped Hyperchotic Chen System

WANG Zhao

(School of Physics and Electronics Engineering,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

In this paper，the nonlinear generalized synchronization of hyperchaotic Chen system is presented. Based on the Lyapunov stability theory,a new generalized synchronization for chaotic system,which is periodic mapped,is proposed.Theoretical analysis and numerical calculation are provided to show its feasibility.The effect of parameters to the synchronization is also discussed.

hyperchaotic system;generalized synchronization;periodic mapping

O415.5

A

1008-2794（2011）10-0080-05

2011-09-08

常熟理工學院青年教師科研啟動基金（KY2009120）資助項目．

汪昭(1982—)，男，江蘇常熟人，常熟理工學院物理與電子工程學院實驗師，碩士，研究方向：量子混沌，混沌通信．