李冬梅 張憲民 王念峰 管貽生

(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣東廣州510640)

式中，L為伴隨載荷矩陣，U2為伴隨載荷L產(chǎn)生的位移矩陣，u2為單元伴隨位移矩陣.

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的目的是尋求材料的最佳分布，以達(dá)到某種性能最優(yōu)化.柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在機(jī)構(gòu)輸入端給定輸入后，高效地將其轉(zhuǎn)化為輸出端的輸出［1］.柔順機(jī)構(gòu)的輸入可以是指定的力、位移、熱量和電信號(hào)等.若在輸入端加載熱源，則結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力，由此驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，這種機(jī)構(gòu)稱(chēng)為熱固耦合柔順機(jī)構(gòu).它的設(shè)計(jì)屬于多場(chǎng)耦合的設(shè)計(jì)范疇，拓?fù)鋬?yōu)化方法為其提供了工具［2］.由于不可避免地存在各種隨機(jī)因素，拓?fù)鋬?yōu)化研究正在由確定性拓?fù)鋬?yōu)化［3-4］向可靠性拓?fù)鋬?yōu)化方向發(fā)展［5-6］.

可靠性拓?fù)鋬?yōu)化的目的是以最少的材料和最低的造價(jià)來(lái)獲得性能更優(yōu)的結(jié)構(gòu)［7-8］.目前柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的大量工作集中在力場(chǎng)或溫度場(chǎng)等確定性的物理場(chǎng)［9-10］中，所建立的模型絕大多數(shù)屬于確定性模型，即將結(jié)構(gòu)幾何尺寸、材料特性、載荷環(huán)境、設(shè)計(jì)變量等均視為確定值.這在一定程度上簡(jiǎn)化了結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，降低了計(jì)算量.但實(shí)際中存在著各種誤差和不確定性因素，若未能合理考慮不確定性因素的影響，往往無(wú)法做出合理的分析與設(shè)計(jì).Jung等［6］將可靠性分析與拓?fù)鋬?yōu)化方法相結(jié)合用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化中;Kharmanda等［7］提出了剛度最大化的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化方法，在使用等量材料的情況下得到最大的結(jié)構(gòu)剛度;Maute等［8］將可靠性拓?fù)鋬?yōu)化用于微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)的設(shè)計(jì)中.在國(guó)內(nèi)，羅陽(yáng)軍等［11］以概率可靠性為約束，考慮多種參數(shù)的不確定性，得到了更合理的材料分布;占金青等［12］采用基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)法建立了可靠性拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)偶數(shù)學(xué)模型，得到了性能比確定性拓?fù)浣Y(jié)果更優(yōu)的柔順機(jī)構(gòu).迄今為止，雖然國(guó)內(nèi)外關(guān)于可靠性拓?fù)鋬?yōu)化的研究已有大量文獻(xiàn)，但主要集中在單一物理場(chǎng)中，有關(guān)多場(chǎng)耦合的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化研究尚需補(bǔ)充和發(fā)展.

文中將可靠性方法和拓?fù)鋬?yōu)化方法相結(jié)合，在保證一定概率可靠性約束的條件下，尋找最優(yōu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)方案.考慮了材料屬性、幾何尺寸和溫度場(chǎng)的不確定性，采用一次二階矩法得到可靠性指標(biāo)，然后以可靠性指標(biāo)為約束條件，分別以結(jié)構(gòu)柔度最小化和節(jié)點(diǎn)位移最大化為目標(biāo)函數(shù)，建立熱固耦合結(jié)構(gòu)的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，并使用數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行求解.

1 耦合場(chǎng)隨機(jī)變量分析

物體受熱將產(chǎn)生熱膨脹，從而引發(fā)熱變形和位移.由機(jī)械載荷與溫度載荷共同作用的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為熱固耦合結(jié)構(gòu)，其有限元平衡方程為［13］

式中，K為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣，U為位移列向量，F(xiàn)m為機(jī)械外載荷，F(xiàn)h為由溫度變化引起的熱載荷，φ(ρe)為與材料屬性相關(guān)的函數(shù)，ρe為單元相對(duì)密度設(shè)計(jì)變量，α為熱膨脹系數(shù)，E為彈性模量，ΔT為溫度變化，ν為泊松比，N為設(shè)計(jì)域節(jié)點(diǎn)總數(shù).

上述的分析是確定性分析，當(dāng)材料屬性、溫度場(chǎng)及幾何尺寸隨機(jī)變化時(shí)，則式(1)應(yīng)改寫(xiě)為

式中，x是由n個(gè)隨機(jī)參數(shù)組成的隨機(jī)向量，x= (x1，x2，…，xn)T.

設(shè)隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布.以E為例，其均值為μE，標(biāo)準(zhǔn)差為σE，即E～N(μE，σ2E).隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差與均值的關(guān)系為

式中，γE為變異系數(shù)，當(dāng)它為零時(shí)，表示該變量不具有隨機(jī)性，即為確定性參數(shù).

2 熱固耦合結(jié)構(gòu)可靠性分析

以隨機(jī)向量x=(x1，x2，…，xn)T表示結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)因素，各隨機(jī)因素與結(jié)構(gòu)功能狀態(tài)間的關(guān)系為

式中，Z=g(x1，x2，…，xn)=0為極限狀態(tài)方程，它將空間劃分為失效和安全兩個(gè)區(qū)域.結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)的概率為Pf，用一次二階矩法來(lái)求解Pf，通常是把基本隨機(jī)變量x=(x1，x2，…，xn)T映射為標(biāo)準(zhǔn)化空間的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量y=(y1，y2，…，yn)T，即

式中，yi～N(0，1)，μxi、σxi分別為隨機(jī)變量xi的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.可靠度β的幾何意義為原點(diǎn)到失效面G(y)=0的最短距離［14］.Pf與β存在如下一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).由式(6)可知，要使結(jié)構(gòu)不失效，Pf要盡量小，可靠度β要盡量大.由此可將結(jié)構(gòu)安全使用的條件轉(zhuǎn)化為具有足夠大的可靠性指標(biāo)約束，即

式中，β*為許用可靠性指標(biāo)，可以根據(jù)實(shí)際需要選擇.符合許用可靠性指標(biāo)約束的正態(tài)隨機(jī)變量yi可由下式求出:

s.t.β(yi)≥β*.

可靠度對(duì)正態(tài)隨機(jī)變量的敏度為

yi迭代的過(guò)程如圖1所示，B*為初始迭代點(diǎn)，根據(jù)迭代公式確定下一迭代點(diǎn)，直至滿足收斂條件.

圖1 可靠性指標(biāo)迭代搜索過(guò)程示意圖Fig.1 Schematic diagram of iterative search process of reliability index

3 可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型與敏度分析

3.1 熱固耦合結(jié)構(gòu)的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

由方程(2)解出節(jié)點(diǎn)位移u后，可求出熱固耦合結(jié)構(gòu)的剛度與柔度［13］.結(jié)構(gòu)剛度可由應(yīng)變能 C來(lái)表征.以結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小化為優(yōu)化目標(biāo)，熱固耦合結(jié)構(gòu)的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型如下:

式中，U1為耦合場(chǎng)的整體位移矩陣，u1為單元位移矩陣，Ω為設(shè)計(jì)域，f為優(yōu)化體積比，V0為整個(gè)設(shè)計(jì)域的初始體積，F(xiàn)1為外力矢量，ρmin為單元相對(duì)密度的最小值，N為結(jié)構(gòu)離散單元數(shù)，μE為彈性模量的均值(確定性部分)，μK、μk0分別為整體剛度矩陣的均值和優(yōu)化前單元?jiǎng)偠染仃嚨木?，μΔT為溫度變化的均值，μF1為外載荷的均值，β*為給定的可靠性指標(biāo)，q為懲罰因子.

機(jī)構(gòu)的柔性可由互應(yīng)變能(MSE)來(lái)表征［13］.以機(jī)構(gòu)輸出位移最大化為優(yōu)化目標(biāo)，熱固耦合柔順機(jī)構(gòu)的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型為

式中，L為伴隨載荷矩陣，U2為伴隨載荷L產(chǎn)生的位移矩陣，u2為單元伴隨位移矩陣.

3.2 敏度分析

文中采用伴隨矩陣敏度分析方法.自由度i處的位移ui可寫(xiě)為ui=LTU.在L中除輸出位移自由度i處的載荷分量值設(shè)為單位力外，其他載荷分量均為0.位移敏度可寫(xiě)為

由于F1為給定的與設(shè)計(jì)變量無(wú)關(guān)的機(jī)械外載荷，則由平衡方程可推導(dǎo)出:

Fh為與設(shè)計(jì)變量相關(guān)的溫度載荷，由式(11)得

將式(13)、(14)代入式(12)得到結(jié)構(gòu)位移的敏度:

由式(10)可得

將式(14)代入式(16)得到結(jié)構(gòu)柔度的敏度:

多場(chǎng)耦合的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖2所示.

圖2 基于可靠性約束的熱固耦合結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化流程圖Fig.2 Flow chart of topology optimization of thermo-mechanical coupling structures based on reliability constraint

4 數(shù)值算例分析

算例1 考慮如圖3所示的結(jié)構(gòu)，對(duì)其均勻加熱，溫度變化ΔT=100K，在結(jié)構(gòu)下邊中點(diǎn)處施加一機(jī)械外載荷F=10N.初始設(shè)計(jì)域?yàn)?0mm×30mm，實(shí)體材料與整個(gè)設(shè)計(jì)域之比為0.5，熱膨脹系數(shù)α= 17.2×10-6/K，彈性模量與泊松比分別為 E=100 GPa、ν=0.3.在外載荷與溫度載荷共同作用下，獲得結(jié)構(gòu)剛度最大化的可靠性最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

圖3 熱固耦合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域與邊界條件Fig.3 Design domain and boundary condition of thermo-mechanical coupling structure

以γL、γH、γF、γf、γΔT分別表示設(shè)計(jì)域的長(zhǎng)和寬，外載荷、體積比和溫度隨機(jī)變量的變異系數(shù)(γi= σi/μi，i=L，H，F(xiàn)，f，ΔT)，采用正態(tài)分布3σ的準(zhǔn)則描述隨機(jī)變量的變化范圍，得到反映隨機(jī)變量特征的參數(shù).可靠性拓?fù)鋬?yōu)化主要取決于隨機(jī)變量的均值和變異系數(shù)，表1中給出了通過(guò)求解式(10)表示的優(yōu)化模型得到的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果.

表1中，模型a為確定性模型，各參數(shù)的變異系數(shù)為0;模型b和c為各隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)為0.1的隨機(jī)模型，兩個(gè)模型中隨機(jī)參數(shù)具有相同的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，但β*不同.對(duì)比模型b和c的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可知，隨著β*增大，應(yīng)變能幾乎不變，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的體積減小，說(shuō)明優(yōu)化后結(jié)構(gòu)性能不變，而材料的用量減少.因此模型c相對(duì)于b最大限度地滿足了經(jīng)濟(jì)性與安全性的要求.模型c和d的β*相同，除了溫度變異系數(shù)不同外其他參數(shù)的變異系數(shù)均相同.對(duì)比模型c和d可知，隨著ΔT的變異系數(shù)的增大，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果更復(fù)雜.這是因?yàn)棣的變異系數(shù)的增加導(dǎo)致溫度載荷的不穩(wěn)定性增加，而溫度載荷是均勻分布在整個(gè)結(jié)構(gòu)上的.

算例2 對(duì)圖4所示的位移轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，在A點(diǎn)施加一水平機(jī)械外載荷Fin=10N，并且對(duì)其均勻加熱，溫度變化ΔT=100K.要求在機(jī)械載荷與溫度載荷共同作用下設(shè)計(jì)一種機(jī)構(gòu)，其在B點(diǎn)垂直方向上的輸出位移最大.初始設(shè)計(jì)域?yàn)?4 mm×64 mm，f= 0.35，附加在輸入端的彈簧剛度Kin=100N/m，輸出端彈簧剛度Kout=50 N/m.熱膨脹系數(shù)α=17.2× 10-6/K，彈性模量與泊松比分別為 E=100 GPa，ν=0.3.

圖4 位移轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域Fig.4 Design domain of displacement diverter

通過(guò)求解式(11)表示的優(yōu)化模型，可得其拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，如表2所示.為了便于對(duì)比，本例中無(wú)論是確定性模型還是隨機(jī)模型都采用相同的體積比(f=0.35)，且γL=γH=γF=γΔT=0.1.

由表2中隨機(jī)模型的拓?fù)浣Y(jié)果可知，隨著β*的增大，柔順機(jī)構(gòu)的輸出位移也增大，表明機(jī)構(gòu)的柔度增加.這說(shuō)明在材料用量相同、各個(gè)隨機(jī)因素相同的情況下，可以通過(guò)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得輸出位移更大、失效概率減小的柔順機(jī)構(gòu)，即可通過(guò)控制失效概率和各參數(shù)的隨機(jī)性，改善柔順機(jī)構(gòu)的功能(輸出位移)與性能(失效概率).從表2中還可知，可靠性熱固耦合拓?fù)錂C(jī)構(gòu)的輸出位移比確定性熱固耦合拓?fù)錂C(jī)構(gòu)的大，表明基于可靠性約束的熱固耦合拓?fù)湓O(shè)計(jì)得到的柔順機(jī)構(gòu)具有更優(yōu)的性能，這說(shuō)明進(jìn)行可靠性拓?fù)鋬?yōu)化是非常必要的.

表1 不同可靠度及變異系數(shù)下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Table 1 Topology optimization results corresponding to different reliabilities and variable coefficients

表2 不同可靠度下的位移轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)Table 2 Displacement diverter with different reliabilities

5 結(jié)語(yǔ)

文中將可靠性分析用于熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化中，用隨機(jī)溫度場(chǎng)及各物理參數(shù)的變異系數(shù)來(lái)表征各變量的隨機(jī)性和不穩(wěn)定性，提出一種基于概率約束的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，并進(jìn)行了數(shù)值算例分析.結(jié)果表明，可靠性拓?fù)鋬?yōu)化可以找到經(jīng)濟(jì)性與安全性的最佳結(jié)合點(diǎn)，并能改善機(jī)構(gòu)的功能，獲得性能更優(yōu)的柔順機(jī)構(gòu).這說(shuō)明在拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)進(jìn)行可靠性分析是非常必要的.文中模型為多場(chǎng)耦合的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種有益方法.

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