王清輝 鄭旭 潘敏強 李靜蓉

(華南理工大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院∥表面功能結(jié)構(gòu)先進制造廣東普通高校重點實驗室，廣東廣州510640)

隨著材料科學(xué)與制造技術(shù)的發(fā)展，有別于傳統(tǒng)機械加工的表面功能結(jié)構(gòu)研究正逐漸成為許多科學(xué)與工程應(yīng)用領(lǐng)域的熱點問題.傳統(tǒng)機械加工主要是以獲得低的表面粗糙度、高的尺寸和形狀精度為目標，而表面功能結(jié)構(gòu)制造通常需要在材料表面制造出具有不同形貌、不同尺度和維數(shù)，且能夠耦合一定的物理或化學(xué)功能的微細結(jié)構(gòu)［1］.對表面功能結(jié)構(gòu)的研究已成為機械工程學(xué)科的新增長點［2］.

由于表面功能結(jié)構(gòu)的多樣性與復(fù)雜性，對表面功能結(jié)構(gòu)的多尺度形貌統(tǒng)一建模是進行其數(shù)字化設(shè)計的核心問題.然而，目前在設(shè)計領(lǐng)域普遍使用的建模技術(shù)主要是針對單一尺度下的宏觀規(guī)則形體，難以直接應(yīng)用于具有多尺度多維數(shù)特征的表面功能結(jié)構(gòu)建模中.筆者所在實驗室近年來的相關(guān)研究表明，對表面功能結(jié)構(gòu)的建?？梢园▋蓚€主要部分，即宏觀尺度(包括主結(jié)構(gòu)和亞結(jié)構(gòu))的三維拓撲建模以及宏觀表面的微觀粗糙形貌表征建模［1］.其中，對微觀形貌的有效描述對于揭示表面功能結(jié)構(gòu)所耦合的物理化學(xué)功能具有重要意義［3］.尼古拉斯［4］在20世紀上半葉所做的關(guān)于粗糙表面對流動阻力特性影響的研究表明，只有在粗糙表面的相對粗糙度小于5%時，其對于層流特性的影響一般才可以忽略.張程賓、Kandlikar等［5-6］的相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)，由于微尺度條件下表面粗糙形貌對流動和換熱的影響，微通道內(nèi)的流動和傳熱與常規(guī)尺度通道有很大不同.在微尺度條件下，雖然流動一般保持在層流狀態(tài)，但研究發(fā)現(xiàn)其不同于常規(guī)尺度下的阻力特性，因此粗糙形貌對層流流動阻力的影響需要得到更為深刻的認識.為了研究粗糙形貌對微通道中流動特性的影響規(guī)律，需要有一種能精確描述粗糙度表面輪廓的幾何方法.因而，在表面功能結(jié)構(gòu)三維拓撲模型的基礎(chǔ)上，客觀、準確地表征其表面微觀粗糙形貌是對表面功能結(jié)構(gòu)設(shè)計和制造進行仿真的重要基礎(chǔ).

現(xiàn)有的粗糙形貌對層流流動特性影響的相關(guān)研究中已建立了隨機波峰［7］、多孔介質(zhì)模擬［8］、高斯分布［9］等描述表面粗糙度的模型，但這些模型都是建立在統(tǒng)計平均的基礎(chǔ)上，無法準確表征表面微觀形貌.為了有效描述自然界中廣泛存在的不規(guī)則幾何形貌，美國數(shù)學(xué)家Mandelbrot于1975年首次提出了分形幾何學(xué)［10］.有研究表明機械加工表面具有統(tǒng)計意義上的自仿射分形特性［11］，這說明也可以像描述自然界的非規(guī)則結(jié)構(gòu)一樣，使用分形幾何對機械表面微觀形貌進行表征建模.張程賓等［5］將分形特征引入到矩形微通道的粗糙表面建模中，為簡化計算，其假定表面粗糙形貌沿一個直線方向作分形變化，并基于該模型開展了微通道流動特性的仿真研究.

作為機械加工表面，表面功能結(jié)構(gòu)的微觀粗糙形貌也具有自仿射分形特性，在理論上分形幾何可以為表面功能結(jié)構(gòu)的微觀粗糙形貌建模提供理論支持.但與普通機械加工表面不同的是，表面功能結(jié)構(gòu)的粗糙形貌與表面微亞結(jié)構(gòu)存在緊密的疊加效應(yīng)，而且受具體加工工藝的影響，微觀形貌在宏觀上可能存在沿不同方向的分布異性等.文中針對表面功能結(jié)構(gòu)的數(shù)字化設(shè)計需求，基于機械加工表面微觀形貌中存在的自仿射分形特性，研究了將Weierstrass-Mandelbrot分形(簡稱W-M分形)與宏觀的CAD實體模型相合成的數(shù)學(xué)方法，以支持金屬表面功能結(jié)構(gòu)的多尺度形貌建模.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合本實驗室采用微犁削工藝在金屬薄片上制造的V型微流體通道，以該微通道中的微流體特性為仿真研究對象，建立了多尺度形貌模型，并利用Fluent流體仿真軟件進行數(shù)值模擬，同時分析了雷諾數(shù)、粗糙度和分形維數(shù)等對流動特性的影響，為進一步開展微通道表面功能結(jié)構(gòu)的設(shè)計與制造提供理論與實驗基礎(chǔ).

1 三維表面微觀形貌的分形模擬

1.1 表面粗糙輪廓的分形表征

在機械工程領(lǐng)域，對機械加工表面的分形建模已成功應(yīng)用于表面摩擦機理的相關(guān)研究［12］中.由于大多數(shù)機械加工表面粗糙形貌存在形態(tài)統(tǒng)計學(xué)上的自仿射特性，這意味著經(jīng)局部放大后，其幾何特征與放大前的整體輪廓非常相似(見圖1).從納米尺度到毫米尺度的表面粗糙度的輪廓可以由W-M函數(shù)(公式(1))進行表征［11］.根據(jù)分形幾何學(xué)的觀點，分形輪廓函數(shù)R(x)可以被認為是一個處處連續(xù)又處處不可導(dǎo)、且具有自仿射分形特征的曲線.

圖1 表面輪廓統(tǒng)計學(xué)上的自相似性Fig.1 Statistical self-affinity for a surface profile

根據(jù)公式(1)構(gòu)造出來的表面粗糙度的分形特征沿x軸方向變化.式中:A是尺度系數(shù)，D是取值范圍在(1，2)的二維輪廓分形維數(shù)，A和D獨立于掃描儀器的分辨率和測量尺度;n是頻率指數(shù);φn是隨機相位，用來避免輪廓中的點位頻率出現(xiàn)一致;γ是確定頻譜密度和自身性質(zhì)的尺度參數(shù)，取值通常為1.5.在W-M函數(shù)中，通常指定ωl=γn1為最低截止頻率，ωh=γnmax為最高截止頻率.nmax實際上是輪廓余弦函數(shù)形狀的數(shù)量，在公式(1)中只有當nmax→∞時才是真正意義上的分形.在實際的仿真計算中，ωl由樣本長度Ls決定，取值為ωl=1/Ls;ωh和掃描儀器的分辨率δ相關(guān)聯(lián)，取值為ωh=1/(2δ).σ代表一個輪廓的均方根表面粗糙度，則尺度系數(shù)可以表示為

因此，一旦確定了參數(shù)D和σ，便可以建立一個基于W-M分形描述的、更為真實的表面粗糙輪廓的數(shù)學(xué)描述.

1.2 W-M分形與參數(shù)曲面相合成的數(shù)學(xué)描述

公式(1)是基于平面直線輪廓的分形描述，即分形形貌R(x)沿x軸發(fā)生，然而對于具有自由形狀的曲線曲面零件，其表面粗糙形貌的發(fā)生獨立于零件的宏觀幾何形狀.如果直接將曲線的參數(shù)域值u替代x作為自變量，必然導(dǎo)致W-M函數(shù)輪廓發(fā)生一定程度的變形，因為相等的參數(shù)增量對應(yīng)的弧長增量會因為曲線局部性質(zhì)的不同而不均勻.例如，在曲線斜率較大的位置，W-M分形曲線被“拉長”，在斜率較小的位置被“壓短”等，這不符合機械加工表面粗糙形貌分形特征的本質(zhì).因而，在本研究中假定其機械加工表面粗糙形貌是微觀粗糙分形的輪廓高度變化與宏觀參數(shù)曲面相合成的結(jié)果，而微觀的分形輪廓不受參數(shù)曲線的自身幾何性質(zhì)影響.如圖2及公式(3)所示，對于一條由參數(shù)u控制的自由參數(shù)曲線C(u)，其表面粗糙輪廓F(u)可表示為分形輪廓ΔR(u)沿局部法矢量N(u)與參數(shù)曲線C(u)的幾何疊加;另外，對應(yīng)于該分形輪廓的自變量應(yīng)該采用的是曲線的自然參數(shù)，即累積弦長S(u).這樣，可以將自由曲線上的分形輪廓理解為將線性W-M分形輪廓沿曲線輪廓自然卷曲后的幾何結(jié)果，因而其分形特征獨立于曲線輪廓的整體幾何形貌.

圖2 粗糙分形輪廓與參數(shù)曲線的合成Fig.2 Synthesis of coarse fractal profile and parametric curves

式中，

需要指出的是，對于大多數(shù)自由曲線，其累積弦長的計算難以通過解析計算直接獲得.在算法實現(xiàn)上，文中采用弦長逼近的方法計算出累積弦長.如公式(4)所示，上述W-M分形與自由曲線S(u)合成的基本方法可以推廣到三維空間的自由參數(shù)曲面S(u，w)模型:

式中，

S(u，w)表示由u、w兩個參數(shù)域控制的自由參數(shù)曲面，其具體數(shù)學(xué)描述形式可以是Bezier曲面，或是NURBS曲面等，而S(u)、S(w)則分別表示該曲面上參數(shù)位置(u，w)沿u、w兩個方向上的累積弦長; φm，n則表示一個隨機相位，其意義與公式(1)中的φn相同;γ與公式(1)中有相同的物理意義和量級; Ds(2＜Ds＜3)是三維表面形貌的分形維數(shù);B是表面的高度系數(shù);參數(shù)M是用于控制空間形貌起伏的參數(shù);G是表面高度尺度系數(shù)，獨立于頻率，可以將儀器測量得到的均方根粗糙度σ代入前面公式中得到.

基于上述數(shù)學(xué)模型，文中利用AutoCAD平臺提供的二次開發(fā)系統(tǒng)Object ARX，開發(fā)了用于表面功能結(jié)構(gòu)粗糙形貌模擬的建模軟件.它能夠在宏觀自由曲線曲面上合成W-M分形形貌，并可通過IGES、STL等數(shù)據(jù)接口導(dǎo)出，供第三方軟件進行仿真計算.圖3展示了在實體模型上通過分形參數(shù)控制而合成的不同表面粗糙形貌.

圖3 在實體模型上合成的表面粗糙分形形貌的部分實例Fig.3 Examples of synthesis of coarse fractal topography and solid surfaces

2 微通道中的流動特性仿真

2.1 數(shù)字化模型的建立

在文獻［5］研究工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合筆者所在實驗室采用微犁削工藝在金屬薄片上制造的V型微流體通道［1］，進一步采用公式(4)提出的合成算法，將W-M分形形貌與其宏觀形貌相合成，構(gòu)造了具有多尺度特征的V型微通道的三維數(shù)字化模型(見圖4).基于該多尺度模型，文中分析了表面微觀形貌與微通道中流動特性之間存在的耦合關(guān)系.

圖4所示的微通道模型的槽深為0.24 mm，夾角為30°，長度為2 mm.為簡化模型、減小后期計算量，需要作一些適當?shù)募僭O(shè)以提高計算效率.假定微通道的側(cè)面為根據(jù)W-M函數(shù)構(gòu)建的三維分形特征的粗糙面，其余表面為光滑平面，并假設(shè)微流體在微通道內(nèi)只發(fā)生層流流動.

圖4 V型微通道模型示意圖Fig.4 Diagrammatic sketch of V-shaped microchannel

在建立微尺度層流流動模型時，作如下假設(shè): (1)穩(wěn)態(tài)層流;(2)常物性;(3)忽略重力影響.已有的研究表明［13］，Navier-Stokes方程對于微通道中的層流流動仍然有效.因此，運用有限元法進行仿真計算的可靠性得到了保證.

入口處給定流體速度vin邊界條件，出口處達到流動充分發(fā)展，對于通道壁面，采用無滑移速度邊界.

層流流動中的摩擦阻力系數(shù)［14］:

式中，L是微通道長度，Δp是通道進出口壓差，ρ是流體密度，de是通道的水力直徑.

2.2 求解思路與方法

模型的計算采用CFD軟件中應(yīng)用最廣泛的Fluent流體仿真軟件，流場采用分離求解法求解，壓力與速度的耦合應(yīng)用控制容積有限差分法和SIMPLE算法完成.網(wǎng)格由GAMBIT軟件生成，應(yīng)用四面體網(wǎng)格進行網(wǎng)格劃分.在進、出口兩端及粗糙壁面分布相對較密的網(wǎng)格節(jié)點，以使結(jié)果更為精確.當相鄰兩次迭代之間的流體速度殘差小于10－6時，認為迭代計算收斂.

3 表面微觀形貌對層流流動的影響

3.1 光滑微通道和粗糙微通道的沿程壓力比較

圖5給出了粗糙微通道和光滑微通道沿程壓力(p)損失的比較.微通道模型的控制參數(shù)為:G= 0.002mm、Ds=2.6，仿真計算中設(shè)定的雷諾數(shù)Re= 900.從圖5中可以看出:微通道內(nèi)層流流動由于表面不再光滑，水流的流動受到了影響，這加劇了沿程壓力的損失，因此粗糙微通道的沿程壓力損失要大于光滑微通道;在入口段，粗糙微通道與光滑微通道的壓力相差不大，但粗糙形貌對沿程壓力損失的影響隨距離的增加越發(fā)明顯.

圖5 微通道沿程壓力Fig.5 Frictional pressure along with the microchannel

3.2 雷諾數(shù)對摩擦阻力系數(shù)的影響

圖6給出了粗糙微通道(G=0.002 mm、Ds= 2.6)和光滑微通道的阻力系數(shù)f隨雷諾數(shù)Re變化的曲線.由圖6中可見:阻力系數(shù)隨雷諾數(shù)的增大而減小，且阻力系數(shù)在雷諾數(shù)較小時變化較快;隨雷諾數(shù)的增大，阻力系數(shù)的變化逐漸減緩.另外，光滑微通道的阻力系數(shù)明顯要小于粗糙微通道的阻力系數(shù)，這是因為流體流經(jīng)粗糙表面時受到了粗糙邊界的擾動，導(dǎo)致壓降增加.

圖6 雷諾數(shù)對摩擦阻力系數(shù)的影響Fig.6 Influence of Reynolds number on frictional resistance coefficient

3.3 表面高度尺度系數(shù)對摩擦阻力系數(shù)的影響

圖7所示為粗糙微通道(Re=900，Ds=2.6)的阻力系數(shù)f隨表面高度尺度系數(shù)G的變化.由圖7中可見，阻力系數(shù)隨通道表面高度尺度系數(shù)G的增大而增大.這是因為流體流過粗糙表面所產(chǎn)生的回流和分離現(xiàn)象導(dǎo)致了流體局部流動阻力的產(chǎn)生.隨著表面高度尺度系數(shù)的增大，粗糙度也隨之增大，粗糙表面周圍流體的回流和分離對流動壓降的影響也越來越顯著.

圖7 表面高度尺度系數(shù)對摩擦阻力系數(shù)的影響Fig.7 Influence of surface height scale coefficient on frictional resistance coefficient

3.4 分形維數(shù)對摩擦阻力系數(shù)的影響

圖8所示為粗糙微通道(Re=900、G=0.002mm)的阻力系數(shù)f隨分形維數(shù)Ds的變化.

圖8 分形維數(shù)對摩擦阻力系數(shù)的影響Fig.8 Influence of fractal dimension on frictional resistance coefficient

根據(jù)W-M函數(shù)仿真得到的表面形貌具有分形自相似性，在表面高度尺度系數(shù)G不變的情況下，隨著分形維數(shù)Ds的增加，表面粗糙形貌趨于光滑;分形維數(shù)大的表面具有更復(fù)雜、更深層次的自相似性的精細結(jié)構(gòu)，這類似于車削加工表面和磨削加工表面的區(qū)別.車削加工的表面，表面粗糙度大而分形維數(shù)小;磨削加工的表面，表面粗糙度小而分形維數(shù)大，表面結(jié)構(gòu)更加精細［12］.因此，根據(jù)W-M函數(shù)，隨著表面形貌分形維數(shù)的增加，通道阻力系數(shù)減小，這包括了粗糙度和分形維數(shù)的共同影響.在后續(xù)工作中，有必要研究在恒定粗糙度和雷諾數(shù)條件下分形維數(shù)對阻力系數(shù)的影響.

4 結(jié)語

文中探索了將W-M分形與三維參數(shù)曲面相合成的數(shù)學(xué)方法，該方法能夠?qū)⒈砻婀δ芙Y(jié)構(gòu)的微觀粗糙形貌與宏觀CAD模型相集成，從而支持表面功能結(jié)構(gòu)的多尺度形貌建模.通過改變表面高度尺度系數(shù)、分形維數(shù)等控制參數(shù)，可以構(gòu)造出具有不同特征的粗糙形貌.基于上述建模方法，以微通道反應(yīng)器的V型微通道中的微流體流動特性為仿真研究對象，建立了其多尺度形貌并存的仿真模型，在此基礎(chǔ)上初步分析了雷諾數(shù)、表面高度尺度系數(shù)和分形維數(shù)等對流動特性的影響.該仿真研究對于多尺度微通道的設(shè)計與制造具有一定的指導(dǎo)意義，需要指出的是，針對多尺度微通道的流體流動特性仿真是一項復(fù)雜的工作，仍需進一步結(jié)合實驗研究對文中所提出的仿真研究工作予以不斷的細化與驗證.

［1］ 湯勇，潘敏強，湯興賢.表面熱功能結(jié)構(gòu)制造領(lǐng)域的發(fā)展及關(guān)鍵技術(shù)［J］.中國表面工程，2010，23(1):1-8.Tang Yong，Pan Min-qiang，Tang Xing-xian.Development and key manufacture technique of functional surface structures for heat transfer［J］.China Surface Engineering， 2010，23(1):1-8.

［2］ 雷源忠.我國機械工程研究進展與展望［J］.機械工程學(xué)報，2009，45(5):1-11.Lei Yuan-zhong.Recent research advances and expectation of mechanical engineering science in China［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2009，45(5): 1-11.

［3］ Senin N，Groppetti R.Surface microtopography design and manufacturing through topography descriptors:an application to prosthetic implant surfaces［J］.Computer Aided Design，2005，37(11):1163-1175.

［4］ 尼古拉斯.粗糙管中的水流的規(guī)律［M］.張瑞瑾，譯.北京:水利出版社，1957:10-15.

［5］ 張程賓，陳永平，施明恒，等.表面粗糙度的分形特征及其對微通道內(nèi)層流流動的影響［J］.物理學(xué)報，2009，58(10):7050-7056.Zhang Cheng-bin，Chen Yong-ping，Shi Ming-heng，et al.Fractal characteristics of surface roughness and its effect on laminar flow in microchannels［J］.Acta Physica Sinica，2009，58(10):7050-7056.

［6］ Kandlikar S G.Exploring roughness effect on laminar internal flow-are we ready for change［J］.Nanoscale and Microscale Thermophysical Engineering，2008，12(1): 61-82.

［7］ Croce C，Agaro P D.Numerical analysis of roughness effect on microtube heat transfer［J］.Superlattices and Microstructures，2004，35(3/4/5/6):601-616.

［8］ Kleinstreuer C，Koo J.Computational analysis of wall roughness effects for liquid flow in micro-conduits［J］.Journal of Fluids Engineering，2004，126(1):1-9.

［9］ Bahrami M，Yovanovich M M，Culham J R.Pressure drop of fully developed，laminar flow in rough microtubes［J］.Journal of Fluids Engineering，2006，128(3):632-637.

［10］ Mandelbrot B B.The fractal geometry of nature［M］.New York:Freeman，1983.

［11］ Majumdar A，Tien C L.Fractal characterization and simulation of rough surface［J］.Wear，1990，136(2):313-327.

［12］ 葛世榮，朱華.摩擦學(xué)的分形［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2005:112-114.

［13］ Qu W L，Mala G M，Li D Q.Pressure-driven water flows in trapezoidal silicon microchannels［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2000，43(3):353-364.

［14］ Harms T M，Kazmierczak M J，Gerner F M.Developing convective heat transfer in deep rectangular microhannels［J］.International Journal of Heat and Fluid Flow，1999，20(2):149-157.