錢 鋒， 王建國， 曲 磊

(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥 230009)

利用壓電效應(yīng)，貼于結(jié)構(gòu)表面或埋于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的壓電材料既可作為傳感器又可作為致動器[1，2]，因此壓電材料是彈性結(jié)構(gòu)主動控制中廣泛使用的智能材料，文獻[3]最早利用壓電材料的這些特性研究了梁的振動控制。壓電智能結(jié)構(gòu)的分析需要解決電-力耦合等復(fù)雜力學(xué)問題，尤其是對于板類或大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，采用解析的方法是相當(dāng)困難的，且受到許多假設(shè)條件的限制。文獻[4]提出了考慮壓電層合結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量和力電耦合效應(yīng)的梁、板和殼單元，并利用常增益負(fù)速度反饋、Lyapunov反饋和線性二次型(LQR)方法實現(xiàn)了板殼結(jié)構(gòu)在沖擊、簡諧和任意激勵作用下的模態(tài)控制。文獻[5]以有限元模態(tài)分析為基礎(chǔ)，實現(xiàn)了壓電智能梁板結(jié)構(gòu)在狀態(tài)空間形式下的振動控制。文獻[6]利用ANSYS軟件對圓柱殼結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析和質(zhì)量歸一化，得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)矩陣，進而實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)振動的LQG控制。文獻[7]基于ANSYS參數(shù)化語言，研究了壓電智能懸臂梁的PID控制。

在給定控制策略下，智能結(jié)構(gòu)振動控制效果主要與致動器/傳感器的數(shù)量和位置分布有關(guān)。薄板是許多工程應(yīng)用中較常見的結(jié)構(gòu)，通常僅用1～2個壓電片便可達到對板類結(jié)構(gòu)較低階模態(tài)振動控制的目的，但對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，僅用單一的壓電致動器來控制結(jié)構(gòu)的振動是很困難的，同樣僅利用1個傳感器來獲得結(jié)構(gòu)的振動信息也是不夠準(zhǔn)確的。在整個結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的絕大部分表面上粘貼壓電致動器/傳感器能夠起到很好的控制和感知效果，但制作比較困難，代價也比較昂貴，更主要的是很大程度上改變了系統(tǒng)的特性和動力響應(yīng)。為克服這些缺陷和困難，文獻[8]提出了利用多個離散的分布式壓電致動器/傳感器來控制板結(jié)構(gòu)的多模態(tài)振動。

本文在線彈性壓電層合結(jié)構(gòu)有限元動力方程[2]的基礎(chǔ)上，進一步推導(dǎo)了壓電智能結(jié)構(gòu)的主動控制方程，采用ANSYS自帶三維八節(jié)點實體耦合單元模擬壓電致動器/傳感器，分別用So lid45實體單元和Shell63殼單元模擬主結(jié)構(gòu)，運用ANSYS參數(shù)化語言(APDL)建立壓電智能板結(jié)構(gòu)的有限元模型進行模態(tài)分析，將所得四邊固支方形板主結(jié)構(gòu)振動頻率與現(xiàn)有文獻中解析解和有限元解進行了對比，驗證了本文模型的正確性。進而將壓電智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)電-力耦合有限元動力方程轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)下的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，采用LQR全狀態(tài)最優(yōu)反饋控制，以控制多階模態(tài)的振動為目標(biāo)，考慮壓電致動器/傳感器的分布對主結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變分布的影響，本文研究了上下表面對稱粘貼9對壓電片的四邊固支智能板結(jié)構(gòu)的多模態(tài)振動控制，并對其進行了有限元數(shù)值模擬。

配置9對壓電片的智能板結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 配置9對壓電片的智能板結(jié)構(gòu)

1 線彈性壓電層合結(jié)構(gòu)控制方程

線彈性壓電層合結(jié)構(gòu)有限元動力方程為:

其中，u、φ為節(jié)點位移和電勢;M、Kuu為結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;K uφ、Kφu為壓電耦合剛度矩陣;Kφφ為介電剛度矩陣;C uu為阻尼矩陣;F u、Fφ為作用在結(jié)構(gòu)上的荷載列陣和電荷列陣。在實際應(yīng)用中，通?？紤]結(jié)構(gòu)的阻尼為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即

其中，α和β為結(jié)構(gòu)瑞利阻尼系數(shù)。電荷與電壓之間的關(guān)系式可表示為:

其中，c p為壓電材料的電容;V為節(jié)點電壓列陣。

將方程(1)第2式與(3)式代入方程(1)的第1式，考慮結(jié)構(gòu)阻尼，得干擾荷載和輸入控制電壓作用下僅用節(jié)點位移表示的壓電層合結(jié)構(gòu)有限元動力方程:

其中，K=K uu-K uφK-1φφKφu。

設(shè)系統(tǒng)關(guān)于質(zhì)量歸一化的特征向量矩陣為Φ，模態(tài)坐標(biāo)為η，將系統(tǒng)動力方程(4)轉(zhuǎn)化為模態(tài)空間坐標(biāo)下的解耦方程，即

其中，Λ=diag[2ξ1ω1，2ξ2ω2，…];Ω2=diag[，，…];ξi=(α+)/2ωi。

ωi為結(jié)構(gòu)第i階頻率，ξi為i階模態(tài)阻尼比。將方程(5)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程，即:

D f分別為控制電壓和干擾力作用位置矩陣。

系統(tǒng)的輸出方程為:

輸出矩陣C與特征向量矩陣Φ有關(guān)。

2 LQR全狀態(tài)反饋最優(yōu)控制

采用全狀態(tài)反饋控制電壓可寫為:

其中，K為使得(9)式取極小值的控制反饋增益矩陣。(9)式為性能指標(biāo)函數(shù)，即

其中，Q和R為對稱正定權(quán)矩陣。通常將系統(tǒng)能量作為性能指標(biāo)函數(shù)，因此設(shè)

其中，αi為第i階狀態(tài)變量權(quán)值，可根據(jù)各階模態(tài)對系統(tǒng)的貢獻大小來確定;γ為控制電壓權(quán)值。

將反饋控制電壓(8)式代入(9)式得:

因此增益矩陣為:

Research on the DC Control and Protection Configuration of VSC-HVDC Technology for Offshore Platform BAI Jinchuan,ZHANG Xuguang(109)

Riccati方程為:

P可由(13)式求得。

3 數(shù)值算例

本文利用通用有限元軟件ANSYS建立了圖1所示的配置9對壓電致動器/傳感器智能板的有限元模型。主結(jié)構(gòu)板是金屬鋁材料，主結(jié)構(gòu)及壓電材料屬性參數(shù)如下。

主結(jié)構(gòu)梁幾何參數(shù):305 mm×305 mm× 0.8 mm。

致動器/傳感器:10 mm×10 mm×1 mm。材料參數(shù)和壓電材料參數(shù)見文獻[5]。

3.1 模態(tài)分析

在進行動力分析及仿真之前，為驗證本文有限元模型的正確性，首先分別用三維八節(jié)點實體單元(Solid45)和平面四節(jié)點殼單元(Shell63)對四邊固支主結(jié)構(gòu)方形板進行模態(tài)分析，主結(jié)構(gòu)前7階自振頻率與有限元方法解[8]和解析解[9]的對比見表1所列。

表1 四邊固支主結(jié)構(gòu)板自振頻率

通過比較可知，采用ANSYS自帶實體單元和平面單元均可準(zhǔn)確地分析本文模型，但由于板屬于二維問題，采用平面殼單元分析與精確解更為吻合，本文仿真分析中均用Shell63單元模擬主結(jié)構(gòu)，四邊固支板主結(jié)構(gòu)的前6階振型如圖2所示。本文采用圖1所示的配置9對10 mm× 10 mm的致動器/傳感器的智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，主結(jié)構(gòu)采用Shell63單元模擬，壓電致動器/傳感器采用Solid5單元模擬，指定單元長度為板邊長的1/ 60劃分單元，其中Shell63單元4 096個，Solid5單元72個。配置9對致動器/傳感器時系統(tǒng)前6階振型如圖3所示。

圖2 主結(jié)構(gòu)板前6階模態(tài)

圖3 配置9對壓電片的智能板前6階模態(tài)

對比圖2和圖3可知，離散分布式致動器/傳感器對系統(tǒng)模態(tài)影響比較明顯，但對主結(jié)構(gòu)特征模態(tài)應(yīng)變/曲率分布的影響較小。綜合以上模態(tài)分析結(jié)果可知，利用較少數(shù)目的致動器/傳感器來控制結(jié)構(gòu)多模態(tài)振動是可行的。

3.2 主動振動控制分析及仿真

3.3 智能板各階模態(tài)振動控制仿真

為研究離散分布式壓電致動器/傳感器對系統(tǒng)各階模態(tài)振動的控制情況，對圖1所示配置的9對壓電片分3種情況:Case1，板中心位置第5個壓電致動器單獨作用;Case2，除第5個之外板四周的8個壓電致動器同時作用;Case3，9個致動器同時作用。Case1情況下瞬時荷載作用在板中心A點時，A、B點振動控制時域響應(yīng)和頻域響應(yīng)分別如圖4、圖5所示。

由圖4、圖5可知，第5個致動器對結(jié)構(gòu)各階模態(tài)振動控制效果明顯，且當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)權(quán)系數(shù)αi不變時，控制輸入權(quán)系數(shù)γ越小控制效果越好;當(dāng)γ不變時，αi越大控制效果越好。由于方形板關(guān)于中心點A對稱，因此瞬時荷載作用在點A時僅引起了對稱模態(tài)的振動，這說明第5個致動器位于板的中心位置可以有效地抑制板對稱模態(tài)的振動。

圖4 荷載作用于A點Casel時A、B點控制時域響應(yīng)

圖5 荷載作用于A點Casel時A、B點控制前后頻域響應(yīng)

控制電壓權(quán)值γ=1E11、Case2和Case3情況下，瞬時荷載作用在板中心A點時，A、B點振動前后頻域響應(yīng)如圖6所示。由圖6可知，Case2時系統(tǒng)的第1階模態(tài)振動也得到了較理想的控制作用，與文獻[6]中系統(tǒng)1階模態(tài)振動并沒有得到明顯的控制相比，本文所提出的致動器/傳感器配置方法更合理。Case3情況下由于9個致動器同時作用，因此系統(tǒng)各階模態(tài)的振動均可得到明顯控制。

圖6 荷載作用于A點Case2，Case3時A、B點頻域響應(yīng)

Case1情況下瞬時荷載作用在B點時，A、B點振動前后時域響應(yīng)和頻域響應(yīng)分別如圖7、圖8所示。

圖7 荷載作用于B點Case1時A、B點控制時域響應(yīng)

由圖7、圖8可看出，第5個壓電致動器對結(jié)構(gòu)各階模態(tài)振動控制效果明顯;由于第5個致動器位于板中心處，其對系統(tǒng)振動起到抑制作用的同時，也在A點激發(fā)了其它模態(tài)的振動。從圖8b可以看出第5個致動器對于B點的振動控制作用很小，這是由于第5個致動器位于板中心位置僅對第1、2、4、6、7、8、10、12階模態(tài)起到了控制作用，而對3、5、9、11階模態(tài)的振動基本沒有控制作用。

圖8 荷載作用于B點Case1時A、B點控制前后頻域響應(yīng)

控制電壓權(quán)值γ=1E11，Case2和Case3情況下，瞬時荷載作用在B點時，A、B點振動前后頻域響應(yīng)如圖9所示。由圖9a可知，2種情況對于B點激勵在A點的響應(yīng)均有明顯的控制效果。

圖9 荷載作用于B點Case2、Case3時A、B點頻域響應(yīng)

由圖9b可知，Case2和Case3情況下對各階模態(tài)的振動均可起到有效的控制。因此，配置9對壓電致動器/傳感器，能夠在幾乎不改變主結(jié)構(gòu)特征模態(tài)應(yīng)變分布的情況下，通過選擇適當(dāng)?shù)目刂齐妷簷?quán)值使結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的振動得到理想的控制效果，同時也可以通過調(diào)整狀態(tài)變量權(quán)值αi來加強對相應(yīng)模態(tài)的控制。

4 結(jié)束語

本文由線彈性壓電層合結(jié)構(gòu)有限元動力方程，進一步推導(dǎo)了壓電智能結(jié)構(gòu)的主動控制方程。運用ANSYS參數(shù)化語言(APDL)建立了四邊固支方形壓電智能板結(jié)構(gòu)的有限元模型，并進行模態(tài)分析，將系統(tǒng)耦合有限元動力方程轉(zhuǎn)化到模態(tài)坐標(biāo)下的狀態(tài)空間方程。采用LQR全狀態(tài)最優(yōu)反饋控制，考慮離散分布式壓電致動器/傳感器對于主結(jié)構(gòu)特征模態(tài)應(yīng)變/曲率分布的影響，分析了離散分布壓電致動器對系統(tǒng)各階模態(tài)的控制效果，結(jié)果表明:離散的分布式壓電致動器/傳感器可有效控制板結(jié)構(gòu)的多模態(tài)振動;離散分布式壓電致動器/傳感器對于主結(jié)構(gòu)特征模態(tài)應(yīng)變/曲率分布的影響較小，合理選擇壓電致動器/傳感器的數(shù)量及分布與尋求最優(yōu)控制率一樣重要;壓電致動器在對系統(tǒng)產(chǎn)生控制作用的同時，由于受其分布位置的影響可能會引起或加強系統(tǒng)其它模態(tài)的振動。將本文數(shù)值算例結(jié)果與現(xiàn)有文獻結(jié)果進行對比發(fā)現(xiàn)，配置9對壓電致動器/傳感器可以使結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的振動得到理想的控制效果。tures using piezoelement[D].Otlaw a:Conletom University，1997.

[2] Zabihollah A，Sedagahti R，Ganesan R.Active vibration suppression of smart lam inated beam susing layerw ise theory and an op timal control strategy[J].Smart M ater Stru ct，2007，16:2190-2201.

[3] Bailey T，Hubbard JE.Distributed piezoelectric-polymer active vibration control of a cantilever beam[J].Jou rnal of Guidance Control，1985，8(5):605-611.

[4] Narayanan S，Balamurugan V.Finite element modelling of piezolam inated smart structures for active vibration con trol w ith distribu ted sensorsand actuators[J].Journalof Sound and V ibration，2003，262:529-562.

[5] Xu S X，Koko T S.Finite element analy sisand design of actively controlled piezoelectric smart structu res[J].Finite E lements in Analysis and Design，2004，40:241-262.

[6] Sohn JW，Kim H S，Choi S B.Active vib ration control of smart hull structures using piezoelectric actuators[J].Proc IMech E Part C:J M echanical Engineering Science，2006，220:1329-1337.

[7] 錢 鋒，王建國.壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制的數(shù)值模擬[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，33(1):76-80.

[8] Lim Y H.Finite-elemen t sim ulation of closed loop vibration controlof a smart plate under transient loading[J].Smart M ater Stru ct，2003，12:272-286.

[9] Leissa A W.V ib ration of plates[M].Washington D C: NASA SP-160，1969.

[10] 歐進萍.結(jié)構(gòu)振動主動控制:主動、半主動和智能控制[M].北京:科學(xué)出版社，2003:82.