陳 鵬

(中國(guó)電力工程顧問集團(tuán)華北電力設(shè)計(jì)院工程有限公司，北京 100120)

有關(guān)Tresca、Mises和Mohr-Coulomb三個(gè)破壞準(zhǔn)則的討論

陳 鵬

(中國(guó)電力工程顧問集團(tuán)華北電力設(shè)計(jì)院工程有限公司，北京 100120)

本文簡(jiǎn)要的討論土體的三種最常用破壞準(zhǔn)則：Tresca、Mises和Mohr-Coulomb；并從數(shù)學(xué)角度分析了其應(yīng)用范圍和注意事項(xiàng)。

破壞準(zhǔn)則；Tresca；Mises；Mohr-Coulomb。

建(構(gòu))筑物的基礎(chǔ)破壞，一般有強(qiáng)度破壞和變形破壞兩種因素。如果從強(qiáng)度破壞這一原則出發(fā)，建(構(gòu))筑物基礎(chǔ)強(qiáng)度均由土體的抗剪強(qiáng)度所控制，因此抗剪強(qiáng)度是其最重要的計(jì)算參數(shù)。而土的抗剪強(qiáng)度是指土體抵抗剪切破壞的能力。當(dāng)土體受到剪力作用后，土中各點(diǎn)將產(chǎn)生剪應(yīng)力，若某點(diǎn)的剪應(yīng)力達(dá)到其抗剪強(qiáng)度，在剪切面兩側(cè)的土體將產(chǎn)生相對(duì)位移而發(fā)生滑動(dòng)破壞。隨著荷載的繼續(xù)增加，土體中的剪應(yīng)力達(dá)到抗剪強(qiáng)度的區(qū)域(塑性區(qū))越來(lái)越大，最后各滑動(dòng)面連成整體，而產(chǎn)生滑動(dòng)破壞。因而我們必須弄清在什么情況下土體將破壞，這就要給出一個(gè)判別破壞與否的標(biāo)準(zhǔn)，即破壞準(zhǔn)則。

土體的破壞與否決定于其受到的應(yīng)力狀態(tài)，破壞準(zhǔn)則可寫成：

式中f *函數(shù)在應(yīng)力空間代表一閉合曲面，即破壞面，若表示應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)落在該破壞面內(nèi)，則材料不破壞，反之則破壞。但如何確定這一破壞面，也即破壞準(zhǔn)則的正確選擇與確定，就擺在了我們面前。目前土力學(xué)中已經(jīng)提出了不少的破壞準(zhǔn)則，現(xiàn)就Tresca、Mises和Mohr-Coulomb三個(gè)破壞準(zhǔn)則作一簡(jiǎn)要的討論。

1 Tresca破壞準(zhǔn)則

Tresca準(zhǔn)則是假定材料中最大剪應(yīng)力達(dá)到某一特定值，材料就開始進(jìn)入塑性狀態(tài)。假定土體中某一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力分量為 σ1>σ2>σ3，該準(zhǔn)則可表示為：

由上式可以看出，Tresca準(zhǔn)則其實(shí)是一個(gè)最大剪應(yīng)力破壞條件。其破壞與中主應(yīng)力σ2無(wú)關(guān)，只與最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力有關(guān)。

從Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則出發(fā)有：

從Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則出發(fā)，可知其經(jīng)過數(shù)學(xué)變型，參數(shù)假定，可得出Tresca準(zhǔn)則，即Tresca準(zhǔn)則是Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的簡(jiǎn)化，是Mohr-Coulomb在假定土體內(nèi)摩擦角φ等于零時(shí)的特殊情況。而Mohr-Coulomb準(zhǔn)則是Tresca準(zhǔn)則更一般的表達(dá)式，是考慮材料內(nèi)摩擦情況下的Tresca準(zhǔn)則的提廣。在上面的推導(dǎo)過程中，Tresca準(zhǔn)則不考慮土體材料內(nèi)摩擦力。而事實(shí)上，土體顆粒之間有內(nèi)摩擦力效應(yīng)，而這對(duì)土體的穩(wěn)定是有利的。因而Tresca準(zhǔn)則比Mohr-Coulomb準(zhǔn)則更趨向于安全。

而從推導(dǎo)過程分析；Tresca準(zhǔn)則由于其假定材料內(nèi)摩擦力為零(φ=0)，因而在巖土工程設(shè)計(jì)中，其用于一些只有粘聚強(qiáng)度的純粘性即(φ=0)的金屬和巖石，效果會(huì)更好。

2 Mises破壞準(zhǔn)則

Mises準(zhǔn)則比Tresca準(zhǔn)則更進(jìn)一步，考慮了中主應(yīng)力σ2對(duì)破壞的影響。但公式過于復(fù)雜且有二次方的存在，為方便分析我們引入材料的形變比能Wd加以分析；

將Mises.準(zhǔn)則作一數(shù)學(xué)變形，并代入形變比能Wd公式有

從上式可以這樣理解Mises準(zhǔn)則：土體的抗剪強(qiáng)度與材料的形變比能成正比，形變比能越大，抗剪強(qiáng)度越高。而土體是一種塑性非常明顯的材料，E，μ都不是一個(gè)恒定值，與形變比能的大小和受力狀態(tài)有關(guān)。又從Mises準(zhǔn)則表達(dá)式原形來(lái)看，等式左邊正是偏應(yīng)力張量的第二不變量，它反映了土體在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下受剪應(yīng)力的程度，這個(gè)剪應(yīng)力我們可以理解為廣義剪應(yīng)力，即廣義剪應(yīng)力達(dá)到某一值時(shí)材料開始屈服。但結(jié)合上面因素綜觀Mises準(zhǔn)則，雖然其比Tresca準(zhǔn)則多考慮了中主應(yīng)力σ2對(duì)破壞的影響，但仍沒有考慮土體內(nèi)摩擦角這一事實(shí)。

3 Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則

在巖土工程中，土體破壞準(zhǔn)則應(yīng)用最廣泛的準(zhǔn)則即為該準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則實(shí)質(zhì)上也是一種剪應(yīng)力屈服條件。它認(rèn)為當(dāng)材料某平面上剪應(yīng)力τn達(dá)到一特定值時(shí)，材料就進(jìn)入屈服階段。但是與Tresca準(zhǔn)則不同，這一特定值不是一個(gè)常數(shù)，而是和該平面上的正應(yīng)力σn有關(guān)。其一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

當(dāng)土體在法向應(yīng)力不大的情況下，取線性關(guān)系，其破壞準(zhǔn)則的表達(dá)式：

若φ值很小，則cosφ≈1。那么等式變?yōu)?；?σntgφ+C

從上可以看出Mohr-Coulomb準(zhǔn)則沒有考慮中主應(yīng)力。我們?nèi)钥梢詮纳厦娴耐茖?dǎo)過程知道庫(kù)侖公式的適用范圍及其需要注意的地方。

在推導(dǎo)的第一步，先假定其為直線關(guān)系，而當(dāng)法向應(yīng)力很大時(shí)，其抗剪強(qiáng)度往往不成線性關(guān)系，而成曲線形式。法向應(yīng)力的增大對(duì)抗剪強(qiáng)度是有影響的，而庫(kù)侖公式?jīng)]有考慮這一影響。其次在推導(dǎo)過程中假定內(nèi)摩擦角φ很小，cosφ≈1，這就造成計(jì)算值和真值之間有誤差。

Mohr-Coulomb準(zhǔn)則推得：

而庫(kù)侖定律： τ2=σntgφ+C

現(xiàn)我們把τ1叫真值， τ2叫計(jì)算值，可以看出計(jì)算值τ2比真值τ1大。

4 結(jié)語(yǔ)

以上三個(gè)準(zhǔn)則是巖土工程中常用的三個(gè)破壞準(zhǔn)則，它們有各自的適用范圍和局限。Tresca和Mises準(zhǔn)則都忽略了土體顆粒間的粘聚力C對(duì)屈服的影響。Tresca準(zhǔn)則還忽略了中主應(yīng)力σ2對(duì)屈服的影響，因而更適用于純粘性即(φ=0)的金屬和巖石，而對(duì)于土體這類材料效果很不理想。Mohr-Coulomb準(zhǔn)則比較真實(shí)的反映了土體的屈服情況，考慮了內(nèi)摩擦角、粘聚力等，較接近土體的實(shí)際工程性質(zhì)。

[1]錢家歡，等．土工原理與計(jì)算(第二版)[M]．北京：中國(guó)水利水電出版社，1996．

[2]趙明華，等．土力學(xué)與基礎(chǔ)工程(第二版)[M]．武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2000．

[3]夏志皋．塑性力學(xué)[M]．上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2002．

[4]廖紅建，王鐵行，等．巖土工程數(shù)值分析[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

[5]屈智炯．土的塑性力學(xué)[M]．成都：成都科技大學(xué)出版社，1987．

Discusses on Three Kind of Failure Criterions of Tresca、Mises and Mohr-coulomb

CHEN Peng
(North China Power Engineering Co., Ltd., Beijing 100120, China)

This article brie fl y discusses three kind of the most common failure criterions of soil, named Tresca、Mises And Mohr-Coulomb. And analyzes its application scope and the attentions from mathematics.

failure criterion; tresca; mises; mohr-coulomb.

TU4

B

1671-9913(2011)01-0015-03

2010-11-16

陳鵬(1981-)，男，工程師，主要從事電力工程勘測(cè)設(shè)計(jì)工作。