李 鵬， 孟令琴

(1.上海大學(xué)特種光纖與光接入網(wǎng)省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200072;2.東南大學(xué)毫米波國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096)

很多電磁問題用理論分析來計(jì)算十分復(fù)雜，甚至不可能得到結(jié)果，因此需要通過數(shù)值計(jì)算得到問題的結(jié)果.1966年，Yee［1］首次提出一種新的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法——時(shí)域有限差分(finite difference time domain，F(xiàn)DTD)算法.該算法已廣泛應(yīng)用于電磁散射、電磁兼容、天線、波導(dǎo)與諧振腔系統(tǒng)、微波集成電路等問題的研究中.FDTD算法是以差分原理為基礎(chǔ)，用離散點(diǎn)上的數(shù)值解來逼近連續(xù)場(chǎng)區(qū)域的真實(shí)解.隨著研究的深入，各種提高FDTD算法的精度和速度的技術(shù)不斷涌現(xiàn).Xu等［2-4］提出了一種新的區(qū)域分解算法，該算法首先把計(jì)算區(qū)域分割成幾個(gè)子區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域里面采用適合本區(qū)域的共形網(wǎng)格，然后分別計(jì)算各個(gè)子區(qū)域，最后在各個(gè)子區(qū)域邊界上采取一種數(shù)據(jù)傳遞方案，綜合可得整個(gè)區(qū)域的解.文獻(xiàn)［5］將拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到FDTD算法中，把一個(gè)大問題區(qū)域分解成為幾個(gè)相互獨(dú)立的子區(qū)域，分別計(jì)算各個(gè)區(qū)域的散射參數(shù)，然后通過矩陣方程計(jì)算出總的散射參數(shù)，從而計(jì)算大區(qū)域上的電磁耦合和傳輸問題.文獻(xiàn)［6］提出并驗(yàn)證了一種空間區(qū)域劃分FDTD算法.該算法把一個(gè)大的計(jì)算區(qū)域分解為幾個(gè)小的區(qū)域，并重復(fù)利用電腦有限的內(nèi)存，從而可以解決大的電尺寸問題.然而這種方法會(huì)占用很大的硬盤空間和很長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間.為了計(jì)算稀疏填充的大型多物體，文獻(xiàn)［7-8］提出了一種多區(qū)域的FDTD(multiple region/FDTD，MR/FDTD)算法，達(dá)到了減少內(nèi)存需要量和縮短求解時(shí)間的目的.文獻(xiàn)［9-10］提出并驗(yàn)證了一種自適應(yīng)區(qū)域分解(adaptive domain decomposition-FDTD，ADD-FDTD)算法.該算法將三維電磁場(chǎng)問題的求解區(qū)域分解為若干獨(dú)立的子區(qū)域，在各個(gè)子區(qū)域之間通過連接邊界條件進(jìn)行自適應(yīng)檢測(cè)，以判斷波是否能傳播到子區(qū)域，以及子區(qū)域是否需要進(jìn)行運(yùn)算.該算法可以顯著縮短計(jì)算時(shí)間.

本研究針對(duì)文獻(xiàn)［9-10］中的自適應(yīng)區(qū)域分解方法，提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)區(qū)域分解算法.在判斷波是否傳播到檢測(cè)面的時(shí)候，不采用某點(diǎn)的電場(chǎng)值和預(yù)先設(shè)定的閾值比較，而是通過對(duì)檢測(cè)面上的電場(chǎng)積分得到相應(yīng)的電壓，然后選取其中最大的一個(gè)電壓值和預(yù)先設(shè)定的閾值比較.

隨著半導(dǎo)體材料科學(xué)和通信電子技術(shù)的快速發(fā)展，20世紀(jì)60年代出現(xiàn)了微波集成電路(hybrid microwave integrated circuit，HMIC)，之后又出現(xiàn)了單片微波集成電路(monolithic microwave integrated circuit，MMIC)、三維微波集成電路，最后出現(xiàn)了微波多芯片組件(microwave multi-chip module，MMCM).由于現(xiàn)代通信的需要，微波電路工作頻率不斷提高，這使得MMIC的互連和封裝越來越困難.互連是多芯片組件(multi-chip module，MCM)中的最關(guān)鍵技術(shù)之一，研究互連的特性問題可以提高集成電路集成度、速度和可靠性.對(duì)高速電路互連結(jié)構(gòu)的分析過程中，采用頻域分析方法計(jì)算所要求的寬頻上的特性是十分耗時(shí)和繁瑣的，而時(shí)域方法可以通過一次計(jì)算得到寬頻上的頻率響應(yīng).

為了驗(yàn)證所提出的算法在高速互連結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的正確性，本研究選取了3個(gè)在高速電路互連結(jié)構(gòu)中的常見結(jié)構(gòu)，分別采用HFSS、原始FDTD算法、ADD-FDTD算法和IADD-FDTD算法進(jìn)行了分析，證明了本研究提出的IADD-FDTD算法的正確性.

1 一種改進(jìn)的ADD-FDTD算法

原始的ADD-FDTD算法中，各子區(qū)域之間在進(jìn)行自適應(yīng)區(qū)域檢測(cè)時(shí)，通過選擇相鄰子區(qū)域邊界面上的一點(diǎn)的電場(chǎng)值和預(yù)先設(shè)定的閾值進(jìn)行比較.如微帶結(jié)構(gòu)中，取微帶導(dǎo)帶下方的中心線上一點(diǎn)的電場(chǎng)值作為檢測(cè)值，取電場(chǎng)激勵(lì)源最大幅值的0.001%作為閾值.但該算法有2個(gè)比較明顯的缺點(diǎn).

(1)在某些結(jié)構(gòu)中，如圖1所示的多條平行微帶線結(jié)構(gòu)中，有N條平行的微帶線，原始的ADDFDTD算法只是簡(jiǎn)單地選擇檢測(cè)面上其中一條微帶線導(dǎo)帶下的電場(chǎng)Ei作為檢測(cè)值.如果Ei在檢測(cè)面上的所有電場(chǎng)值中并不是最大的，就可能出現(xiàn)波其實(shí)已經(jīng)傳播到此子區(qū)域，但是當(dāng)前的計(jì)算并沒有包含此子區(qū)域，從而造成計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤.

圖1 多條平行微帶線結(jié)構(gòu)Fig.1 Parallel multi-microstrips structure

(2)原始ADD-FDTD算法中，如果檢測(cè)面與不連續(xù)結(jié)構(gòu)距離過大，則整個(gè)計(jì)算區(qū)域只能分成很少的幾個(gè)子區(qū)域，不能充分發(fā)揮ADD-FDTD算法通過劃分子區(qū)域來提高計(jì)算效率的作用.如果檢測(cè)面距離不連續(xù)結(jié)構(gòu)很近，則檢測(cè)面上有的點(diǎn)的電場(chǎng)值可能存在不穩(wěn)定的情況，這就會(huì)出現(xiàn)虛假的較大的電場(chǎng)值.在檢測(cè)時(shí)如果選擇檢測(cè)面上的最大電場(chǎng)值的點(diǎn)作為檢測(cè)點(diǎn)，則容易出現(xiàn)其實(shí)波并沒有傳播到檢測(cè)面上，但是由于某點(diǎn)不穩(wěn)定而造成了較大的電場(chǎng)值，程序就會(huì)認(rèn)為波已經(jīng)傳播到了下一個(gè)子區(qū)域，從而將下一個(gè)子區(qū)域加入迭代，這樣就會(huì)削弱ADDFDTD算法運(yùn)算時(shí)間短、運(yùn)算效率高的優(yōu)點(diǎn).

針對(duì)原始ADD-FDTD算法中的不足，本研究提出一種改進(jìn)的ADD-FDTD算法，其流程圖如圖2所示.從圖中可以看出，IADD-FDTD算法的步驟如下：首先，對(duì)整個(gè)區(qū)域初始化賦0值，根據(jù)實(shí)際計(jì)算的物理結(jié)構(gòu)將計(jì)算區(qū)域分為Z0個(gè)區(qū)域，令Z的初始值等于1;然后，開始時(shí)間循環(huán)，對(duì)Z個(gè)子區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)值和電壓值進(jìn)行更新，其余Z0－Z個(gè)子區(qū)域的值不變.對(duì)于子區(qū)域之間邊界上的電場(chǎng)進(jìn)行積分得到電壓，根據(jù)這些電壓值判斷電磁波是否傳播到了下一個(gè)子區(qū)域.如果沒傳播到，則直接開始下一個(gè)時(shí)間循環(huán)，如果傳播到了下一個(gè)子區(qū)域，則Z值加1以后再進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間循環(huán).這樣一直循環(huán)下去，直到時(shí)間步進(jìn)結(jié)束.

圖2 IADD-FDTD算法流程圖Fig.2 Flow chart of IADD-FDTD method

本算法在判斷波是否傳播到檢測(cè)面時(shí)，并不采用原始ADD-FDTD算法中的方法，即將某點(diǎn)的電場(chǎng)值和預(yù)先設(shè)定的閾值Eon比較，而是通過對(duì)檢測(cè)面上的電場(chǎng)積分得到相應(yīng)的電壓，然后選取其中最大的一個(gè)電壓值和預(yù)先設(shè)定的閾值電壓進(jìn)行比較.圖3是一個(gè)沿著z軸放置的微帶結(jié)構(gòu)，ABCD面代表其中的一個(gè)檢測(cè)面.設(shè)結(jié)構(gòu)沿x方向劃分了i+1個(gè)網(wǎng)格，那么在ABCD面上沿虛線積分可以得到i個(gè)電壓值V1，V2，…，Vi，選擇其中最大的值Vx和閾值Von相比較，如果Vx＞Von，則認(rèn)為波已經(jīng)傳播到了檢測(cè)面;如果Vx＜Von，則認(rèn)為波還未傳播到檢測(cè)面.閾值Von的選取是令Ey等于電場(chǎng)源的最大值的0.001%，然后乘以dy再乘以y方向上的網(wǎng)格數(shù)目J得到的.

圖3 檢測(cè)面示意圖Fig.3 Schematic drawing of test surface

首先，由于對(duì)檢測(cè)面上的1，2，…，i的所有Ey分別進(jìn)行積分得到V1，V2，…，Vi，然后取其中的最大值和Von進(jìn)行比較，這樣在計(jì)算有多條平行微帶線結(jié)構(gòu)時(shí)，就不會(huì)出現(xiàn)選擇的點(diǎn)不是邊界面上的最大場(chǎng)值點(diǎn)的問題，從而確保了不會(huì)出現(xiàn)波已經(jīng)傳播到下一子區(qū)域而計(jì)算中卻沒有包含下一子區(qū)域的情況.

其次，由于采用了電壓檢測(cè)，即使某點(diǎn)電場(chǎng)由于不穩(wěn)定而造成了較大的電場(chǎng)值，該電場(chǎng)值在整個(gè)積分中的影響也很小.也就不會(huì)出現(xiàn)程序由于錯(cuò)誤的最大電場(chǎng)值，而認(rèn)為波已經(jīng)傳播到了下一個(gè)子區(qū)域，從而將下一個(gè)子區(qū)域加入迭代的情況.這表明本研究提出的算法具備一定的抗干擾性.另外，由于檢測(cè)面和不連續(xù)結(jié)構(gòu)不需要相隔太遠(yuǎn)，因此可以對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行更為密集的子區(qū)域劃分.

2 數(shù)值計(jì)算

下面舉例對(duì)高速電路中常見的微帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，包括三維微帶結(jié)構(gòu)和多層微帶電路互連結(jié)構(gòu)(單通孔結(jié)構(gòu)和雙通孔結(jié)構(gòu))，以證明本研究提出的IADD-FDTD算法的正確性和有效性.

2.1 微帶線結(jié)構(gòu)的分析

在高速微波電路中，微帶線是應(yīng)用最廣泛的微波信號(hào)傳輸線.本算例采用FR4材料的PCB板，尺寸為20 mm×20 mm，介電常數(shù)εr=4.5，介質(zhì)高h(yuǎn)= 0.7 mm，微帶線寬W=1.2 mm.具體結(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 微帶互連線Fig.4 Microstrip interconnection line

為了將數(shù)值色散減少到可以接受的水平，空間網(wǎng)格步長(zhǎng)需要滿足［11］：

式中，Δhmax表示Δx，Δy和Δz的最大值，λmin為計(jì)算頻率范圍內(nèi)波長(zhǎng)的最小值.綜合考慮所計(jì)算結(jié)構(gòu)的尺寸，這里取Δx=Δy=Δz=0.1 mm.

空間和時(shí)間離散間隔應(yīng)該滿足Courant穩(wěn)定性條件［11］：

式中，vmax為工作模式的最大相速.

根據(jù)以上條件，并考慮到計(jì)算頻率和合理的迭代次數(shù)，選擇Δt=0.18×10－12s.

在導(dǎo)帶下面的切面上均勻設(shè)置激勵(lì)源，即

式中，t0=6T，T=25Δt.

微帶地板和導(dǎo)帶均設(shè)置成理想金屬導(dǎo)體(perfect electric conductor，PEC)，在介質(zhì)板上方設(shè)置10層空氣層，四周包裹單軸各向異性介質(zhì)完全匹配層(uniaxial perfectly matched layer，UPML)，總網(wǎng)格數(shù)為220×220×27.首先，在Ansoft HFSS軟件中建模仿真微帶線結(jié)構(gòu);然后，分別用原始FDTD，ADDFDTD和IADD-FDTD 3種算法通過Matlab編程進(jìn)行仿真.采用ADD-FDTD算法仿真時(shí)，將微帶結(jié)構(gòu)沿z軸分成5個(gè)子區(qū)域，而采用IADD-FDTD算法仿真時(shí)，將微帶結(jié)構(gòu)沿z軸分成8個(gè)子區(qū)域.圖5給出了采用4種方法仿真得到的散射參數(shù)曲線.

圖5 微帶線的頻率響應(yīng)Fig.5 Frequency response of microstrip

由圖5可知，采用3種算法計(jì)算的結(jié)果完全相同，另外，3種算法和HFSS仿真得到的結(jié)果也比較吻合.ADD-FDTD算法比原始FDTD算法節(jié)省約6.80%的計(jì)算時(shí)間，而本研究提出的IADD-FDTD算法比原始FDTD算法節(jié)省約10.98%的計(jì)算時(shí)間.

2.2 多層印刷電路板結(jié)構(gòu)中微帶單通孔互連結(jié)構(gòu)的分析

隨著電路小型化的需求，印刷電路板(printed circuit board，PCB)更多地采用多層結(jié)構(gòu)，這樣就可以將傳輸線放在不同的層，在不同走線之間用接地板進(jìn)行屏蔽以減少相互間的干擾.這些不同層的傳輸線之間通過通孔連接，由于電路的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜、傳輸速率越來越快、工作頻率越來越高，使得由于互連和封裝所引起的寄生效應(yīng)在實(shí)際電路設(shè)計(jì)過程中變得越來越不容忽視，其中比較突出的問題就是多芯片結(jié)構(gòu)的垂直通孔互連的分析.

本算例的具體結(jié)構(gòu)如圖6所示，其中 L= 25.2 mm，W=13.9 mm，T=3.2 mm，Wm=3.3 mm，D1=0.7 mm，D2=3.9 mm，D3=3.9 mm，介質(zhì)的介電常數(shù)為3.4.

圖6 單通孔互連結(jié)構(gòu)Fig.6 Interconnection structure of single through-hole

在進(jìn)行空間網(wǎng)格劃分時(shí)，x方向和y方向的空間步長(zhǎng)均為0.1 mm，z方向的空間步長(zhǎng)為0.2 mm;時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.1×10－12s.激勵(lì)源和2.1節(jié)中的算例相同，將激勵(lì)源加在10Δx處微帶線下方的平面上.波出射面選擇在距離右邊界10Δx的平面上.

在計(jì)算區(qū)域周圍采用一階Mur吸收邊界條件，總劃分網(wǎng)格為252×139×32.由于原始ADD-FDTD算法采用電場(chǎng)檢測(cè)，要求檢測(cè)邊界與不連續(xù)結(jié)構(gòu)的距離較遠(yuǎn)，所以只能劃分成4個(gè)區(qū)域.而 IADDFDTD算法由于采用電壓檢測(cè)，不需要檢測(cè)邊界和不連續(xù)結(jié)構(gòu)相隔太遠(yuǎn)，所以在程序中可以劃分6個(gè)區(qū)域.圖7給出了采用4種算法仿真得到的0～20 GHz的散射參數(shù)曲線.

由圖7可知，原始FDTD，ADD-FDTD和IADDFDTD 3種算法的計(jì)算結(jié)果完全相同，另外，3種算法和HFSS仿真得到的結(jié)果也比較吻合，從而驗(yàn)證了本研究提出的算法的正確性.ADD-FDTD算法比傳統(tǒng)FDTD算法節(jié)省約5.88%的計(jì)算時(shí)間，本研究提出的IADD-FDTD算法比傳統(tǒng)FDTD算法節(jié)省約10.61%的計(jì)算時(shí)間.

圖7 單通孔的頻率響應(yīng)Fig.7 Frequency response of single through-hole

2.3 多層PCB結(jié)構(gòu)中雙通孔互連結(jié)構(gòu)的分析

在多層PCB結(jié)構(gòu)中往往采用多個(gè)通孔對(duì)微帶進(jìn)行互連，多個(gè)通孔之間會(huì)產(chǎn)生干擾，本算例以2個(gè)通孔為例進(jìn)行分析.由于FDTD算法中的基本計(jì)算單元是矩形網(wǎng)格，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，本算例用方形柱來代替實(shí)際應(yīng)用中采用的圓柱.采用的板材為FR4材料，其介電常數(shù)εr=4.5，PCB板尺寸為30 mm× 17.6 mm，此結(jié)構(gòu)共有2層，每層高為0.8 mm.矩形方柱的尺寸為0.8 mm×0.8 mm×1.6 mm，地層上的矩形反焊盤尺寸為1.6 mm×1.6 mm，頂層和底層上的所有微帶線長(zhǎng)度均為 10.8 mm，寬度為1.6 mm，具體結(jié)構(gòu)和尺寸如圖8所示.

圖8 雙通孔互連結(jié)構(gòu)Fig.8 Interconnection structure of double through-holes

對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行空間網(wǎng)格劃分時(shí)，x，y，z方向上的空間步長(zhǎng)均為0.2 mm;時(shí)間步長(zhǎng) Δt=0.385× 10－12s.激勵(lì)源和2.1節(jié)中算例相同，將激勵(lì)源加在10Δy處微帶線下方的平面上.

在z方向上，器件上下包裹10層空氣層，四周各設(shè)置10層UPML吸收邊界條件.總的網(wǎng)格數(shù)為170×108×48.分別采用HFSS，F(xiàn)DTD，ADD-FDTD和IADD-FDTD算法對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真.采用ADDFDTD算法時(shí)將待解問題分成4個(gè)區(qū)域，采用IADDFDTD算法時(shí)將待解問題分成6個(gè)區(qū)域.圖9給出了4種算法仿真得到的0～20 GHz的散射參數(shù)曲線.

圖9 雙通孔結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)Fig.9 Frequency response of double through-holes

由圖9可知，F(xiàn)DTD，ADD-FDTD和IADD-FDTD 3種算法的計(jì)算結(jié)果完全相同，另外，3種算法和HFSS仿真得到的結(jié)果也比較吻合，從而驗(yàn)證了本研究提出的算法的正確性.ADD-FDTD算法比傳統(tǒng)FDTD算法節(jié)省約7.12%的計(jì)算時(shí)間，本研究提出的IADD-FDTD算法比傳統(tǒng) FDTD算法節(jié)省約12.67%的計(jì)算時(shí)間.

3 結(jié)束語

相對(duì)于傳統(tǒng)FDTD和ADD-FDTD算法，本研究提出的IADD-FDTD算法消除了不穩(wěn)定點(diǎn)對(duì)程序的影響，進(jìn)一步提高了運(yùn)算速度.對(duì)高速互連電路中常見的3種結(jié)構(gòu)，分別用原始FDTD，ADD-FDTD和IADD-FDTD算法進(jìn)行了Matlab編程仿真.3種算法的計(jì)算結(jié)果完全一致，并且和HFSS仿真得到的結(jié)果也非常吻合.

由于本研究提出的算法可以減少檢測(cè)面上不穩(wěn)定點(diǎn)造成的影響，從而可以進(jìn)行更密集的分區(qū)，這也使得本研究提出的算法更能節(jié)省計(jì)算時(shí)間.這個(gè)優(yōu)點(diǎn)在計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)和電的大尺寸問題時(shí)表現(xiàn)得更為明顯，可以節(jié)省更多的計(jì)算時(shí)間.

另外，由于本研究提出的算法采用了分區(qū)域檢測(cè)的方法，因此可以在不同的子區(qū)域內(nèi)分別建立不同的計(jì)算模型，提高了解決復(fù)雜問題的精度.這對(duì)于計(jì)算區(qū)域較大、集成度較高的高速電路也是非常適合的.

［1］ YEEK S.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media［J］.IEEE Transactions on Antennas Propagation，1966，14(5)：302-307.

［2］ XUF，HONGW.Domain decomposition FDTD algorithm for the analysis of a new type of E-plane sectorial horn with aperture field distribution optimization［J］.IEEE Transactions on Antenna and Propagation，2004，52 (2)：426-434.

［3］ XUF，HONGW，ZHUX W.A new time domain near field to farfield transformation forFDTD in two dimension［C］∥ IEEE MTT-S International Microwave Symposium Digest.2002：2057-2060.

［4］ XUF，HONGW.Accurate analysis of microstrip patch antennas using FDTD method［C］∥ International Conference on Computational Electromagnectics and Its Applications Proceedings.1999：214-217.

［5］ WANGJ Y，GAOB Q.A hybrid method on calculating EM coupling in large problem space［C］∥International Symposium on Electromagnetic Compatibility Proceedings.1997：442-445.

［6］ XUEZ H，GAOB Q，LIUR X，et al.Space-divided FDTD method［C］∥ International Symposium on Electromagnetic Compatibility Proceedings.1999：568-571.

［7］ JOHNSONJ M，YAHYAR S.Multiple region FDTD (MR/FDTD)and its application to microwave analysis and modeling［C］∥IEEE MTT-S Symposium Digest.1996：1475-1478.

［8］ JOHNSONJ M，YAHYAR S.MR/FDTD：a multipleregion finite difference time domain method［J］.Microwave and Optical Technology Letters，1997，14 (2)：101-105.

［9］ 張華，洪偉，郝張成，等.一種采用邊界檢測(cè)的自適應(yīng)區(qū)域分解時(shí)域有限差分方法［J］.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào)，2005，23(5)：493-496.

［10］ 張華，洪偉，郝張成.求解三維電磁問題的自適應(yīng)區(qū)域分解FDTD方法［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21(3)：397-402.

［11］ 葛德彪，閆玉波.電磁波時(shí)域有限差分法［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2002：25-31.