孫德安， 段 博， 甄文戰(zhàn)

(上海大學(xué)土木工程系，上海200072)

土體應(yīng)變局部化最常見的現(xiàn)象就是巖土工程中宏觀剪切帶的出現(xiàn).實際工程中，基坑坍塌、山體滑坡、地基失穩(wěn)破壞等具有共同的破壞機理，即土體在特定的外荷載作用下產(chǎn)生局部變形，伴隨著應(yīng)變局部化的發(fā)展逐漸形成剪切帶，最后導(dǎo)致失穩(wěn)破壞.因此，研究土體應(yīng)變局部化的形成和發(fā)展對評價和預(yù)防各類工程事故具有重要意義.

巖土材料應(yīng)變局部化觸發(fā)剪切帶的現(xiàn)象早已在室內(nèi)試驗中觀察到.例如，文獻［1-3］通過真三軸試驗，分析了應(yīng)力狀態(tài)對砂土變形局部化的影響，研究了砂在不同應(yīng)力路徑下的分叉特性;Khalid等［4］對黏性土局部化分叉進行了平面應(yīng)變及軸對稱條件下的試驗研究.另外，從理論上對材料局部化分叉加以分析也越來越受到重視.Rudnicki等［5］和Vardoulakis等［6］針對不同性質(zhì)巖土材料提出了應(yīng)變局部化準(zhǔn)則;Anand等［7-8］應(yīng)用分叉理論研究了平面應(yīng)變條件下彈塑性材料的初始剪切帶行為;錢建固等［9］理論推導(dǎo)了平面應(yīng)變條件下Mohr-Coulomb彈塑性模型局部化分叉的理論解.隨著計算機計算能力的迅速發(fā)展，數(shù)值模擬為巖土材料應(yīng)變局部化研究提供了一個有利途徑，其中Huang等［10］采用亞塑性本構(gòu)模型研究了砂的剪切帶問題;徐連民等［11-12］采用高精度歐拉向后應(yīng)力積分算法，模擬分析了平面應(yīng)變時正常固結(jié)土和超固結(jié)土剪切帶的形成過程.

本工作主要針對基于伏斯列夫(Hvorslev)面超固結(jié)黏土三維彈塑性本構(gòu)模型［13-14］，推導(dǎo)平面應(yīng)變條件下局部化分叉理論解，并據(jù)此理論解給出常平均主應(yīng)力和常最小主應(yīng)力平面應(yīng)變條件下黏土局部化分叉的理論預(yù)測;然后，采用與文獻［15］相似的方法，編寫材料子程序，把基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型嵌入到大型非線性有限元軟件ABAQUS中，并在平面應(yīng)變路徑下對局部化分叉問題進行數(shù)值分析、計算，給出分叉點的數(shù)值解;最后，對比分析分叉點的數(shù)值解和理論解，驗證理論推導(dǎo)的可靠性.

1 超固結(jié)黏土本構(gòu)模型

本構(gòu)模型的彈塑性矩陣在很大程度上決定了應(yīng)變局部化的形成與發(fā)展.由于復(fù)雜的生成條件和地質(zhì)歷史作用，超固結(jié)土體受到的前期固結(jié)壓力大于當(dāng)前的固結(jié)壓力時，其力學(xué)特性不同于正常固結(jié)土，主要表現(xiàn)為低孔隙率、強度高、壓縮性小、具有剪脹和應(yīng)變軟化等變形特性.因此，合理選擇既能反映應(yīng)變局部化的變形特點，又能反映土體在數(shù)值模擬中的漸進性破壞的超固結(jié)土本構(gòu)模型，顯得尤為重要.

本工作采用姚仰平等［13-14］提出的基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維彈塑性本構(gòu)模型，該模型可以反映土體硬化、軟化、剪縮及剪脹等變形特性.通過變換應(yīng)力的方法［16］將SMP(spatially mobilized plane)準(zhǔn)則與該模型相結(jié)合，實現(xiàn)該模型的三維化，從而可以合理地反映土體在三維應(yīng)力下的變形和強度特性，并且三維化后模型的塑性流動方向與屈服面不正交，為非相關(guān)聯(lián)本構(gòu)模型.模型的屈服函數(shù)表達(dá)式為

式中，

H為硬化參數(shù)，λ為壓縮指數(shù)，κ為回彈指數(shù)，e0為初始孔隙比，為塑性體積應(yīng)變，M為臨界狀態(tài)時的應(yīng)力比，Mf為潛在強度，為變換應(yīng)力空間中對應(yīng)的應(yīng)力比，及分別為變換應(yīng)力空間中對應(yīng)的初始平均應(yīng)力、平均應(yīng)力及廣義剪應(yīng)力，為變換應(yīng)力空間中對應(yīng)的前期固結(jié)壓力，R為超固結(jié)參數(shù).

2 平面應(yīng)變局部化分叉解析

應(yīng)變局部化現(xiàn)象是材料失穩(wěn)破壞的先兆，它的發(fā)生點對應(yīng)于材料的局部化分叉點，而分叉點的預(yù)測又強烈依賴于本構(gòu)模型的彈塑性矩陣.基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型能夠合理描述黏土材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、硬化、軟化、剪縮及剪脹等變形特性，并且能夠合理預(yù)測應(yīng)變局部化的發(fā)生.以下就該模型采用Rudnicki等［5］提出的聲學(xué)張量法對平面應(yīng)變條件下的局部化分叉進行解析(見圖1).

圖1 剪切帶示意圖Fig.1 Chart of shear bands

聲學(xué)張量法認(rèn)為：均質(zhì)各向同性的材料，在應(yīng)變局部化平面P上的速度場保持連續(xù)，而速度梯度場產(chǎn)生跳躍，且速度及速度梯度方向在P面內(nèi)保持均勻.因此，有

由

可知

因速度梯度場產(chǎn)生跳躍，則有

式中，εi，j和ε·i，j分別為應(yīng)變張量和應(yīng)變率張量，ui為位移張量.

剪切帶邊界上還滿足靜力平衡邊界條件，即

把式(9)代入式(10)，得

若應(yīng)變局部化發(fā)生，則分叉條件表示為

對于平面應(yīng)變問題，有

則分叉的表達(dá)式為

式中，

若材料發(fā)生平面應(yīng)變局部化分叉，則式(14)有實數(shù)解.由根的判別式，可知

剪切帶法線傾角為

本工作采用的基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型的彈塑性矩陣為

式中，

其中p為平均主應(yīng)力，δij為Kronecker張量，ν為泊松比，I1，I2及I3為第一、第二和第三應(yīng)力不變量，skl為偏應(yīng)力張量.

用式(17)中的彈塑性矩陣Dijkl替換式(12)中的，得到的式(15)和(16)即為基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型開始觸發(fā)平面應(yīng)變分叉的必要條件和相應(yīng)剪切帶法線傾角表達(dá)式.

基于本工作中推導(dǎo)的關(guān)于基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型在平面應(yīng)變條件下的局部化分叉理論解，下面給出藤森黏土［13-14］局部化分叉的理論預(yù)測.藤森黏土的材料特性參數(shù)如表1所示.

表1 藤森黏土的模型參數(shù)Table 1 Model parameters for Fujinomori clay

根據(jù)表1的參數(shù)值，可以預(yù)測常最小主應(yīng)力條件下不同超固結(jié)比(over-consolidation ratio，OCR)時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和相應(yīng)的應(yīng)力比峰值時的應(yīng)變.圖2給出了最小主應(yīng)力為200 kPa時平面應(yīng)變條件下不同超固結(jié)比藤森黏土的理論解分叉點和峰值點，其中縱坐標(biāo)對應(yīng)最大主應(yīng)變.可以看出，不同超固結(jié)比土體的局部化分叉均發(fā)生在應(yīng)力應(yīng)變塑性硬化階段，即各分叉點皆在對應(yīng)的峰值點之前;并且超固結(jié)比越大，分叉點越接近峰值點.

圖3從理論上分析了最小主應(yīng)力為200 kPa時，平面應(yīng)變條件下不同超固結(jié)比對剪切帶傾角α的影響，α=90°-θ，其中θ為剪切帶法線傾角(見圖1).由圖3可知，當(dāng)OCR為2時，剪切帶傾角α=47.70°，當(dāng)OCR為12時，θ=51.51°;隨著OCR值增大，局部化分叉觸發(fā)的剪切帶傾角呈現(xiàn)緩慢增大的趨勢.

圖2 平面應(yīng)變下不同超固結(jié)比的藤森黏土的分叉理論解Fig.2 Analytical solutions for bifurcation of Fujinomori clay with different OCRs under plane strain condition

圖3 不同超固結(jié)比的藤森黏土的剪切帶傾角Fig.3 Inclination angles of shear band on Fujinomori clay with different OCRs

圖4為理論預(yù)測的平均主應(yīng)力為200 kPa時，平面應(yīng)變條件下剪切帶傾角α隨最大主應(yīng)變ε1變化的過程.當(dāng)ε1=0～0.9%時，局部化不明顯，沒能形成剪切帶;在ε1=0.9%～2.5%時，開始形成明顯的應(yīng)變局部化平面，且其傾角從產(chǎn)生就開始隨著最大主應(yīng)變的增加而顯著減小;局部化繼續(xù)發(fā)展，應(yīng)變局部化平面傾角趨于穩(wěn)定，直至ε1=2.9%時，發(fā)生分叉，應(yīng)變局部化平面轉(zhuǎn)變?yōu)槊黠@的剪切帶.可以看出，分叉發(fā)生后，剪切帶傾角α減小很緩慢，趨于穩(wěn)定.

3 平面應(yīng)變分叉數(shù)值預(yù)測

3.1 數(shù)值解析條件

為驗證本工作推導(dǎo)的局部化分叉理論解的可靠性，采用與文獻［15］相似的方法編寫材料子程序，把基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型嵌入到大型非線性有限元軟件ABAQUS中，并對超固結(jié)黏土在平面應(yīng)變條件下的局部化分叉問題進行數(shù)值預(yù)測分析.在計算過程中，因整體剛度矩陣出現(xiàn)奇異，即負(fù)特征值，導(dǎo)致計算停止.負(fù)特征值表示在應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線的硬化階段出現(xiàn)負(fù)斜率，與原應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不同，控制偏微分方程由橢圓型變?yōu)殡p曲線型，即分叉.從數(shù)學(xué)上分析，負(fù)特征值意味著剛度矩陣不正定，方程組存在多組解，從而可求得負(fù)特征值出現(xiàn)時對應(yīng)的應(yīng)力所在位置，即為數(shù)值計算的分叉點.

圖4 最大主應(yīng)變與剪切帶傾角的關(guān)系Fig.4 Relationship between maximum principal strain and inclination angle of shear band

材料的失穩(wěn)分叉分為彌散連續(xù)分叉和不連續(xù)失穩(wěn)分叉，前者指失穩(wěn)不是以出現(xiàn)明顯的不連續(xù)帶為標(biāo)志，而是由大量彌散分布的微破壞構(gòu)成導(dǎo)致的.研究認(rèn)為，這種分叉對應(yīng)于材料控制方程橢圓性的喪失，即切線剛度矩陣出現(xiàn)奇異，det(Dep)=0.本工作中數(shù)值分析時涉及的分叉就屬于彌散連續(xù)分叉.不連續(xù)分叉指宏觀上發(fā)生分叉，即出現(xiàn)不連續(xù)剪切帶，在剪切帶上應(yīng)變場產(chǎn)生跳躍，即det(nDepn)=0.本工作在理論上給出了不連續(xù)分叉的解.不連續(xù)分叉在彌散連續(xù)分叉的基礎(chǔ)上考慮了剪切帶方向的影響，二者結(jié)果相差不會很大.如果本構(gòu)模型為關(guān)聯(lián)，則彌散連續(xù)分叉解對應(yīng)的硬化模量大于或等于不連續(xù)分叉解對應(yīng)的硬化模量，則不連續(xù)分叉先于彌散連續(xù)分叉出現(xiàn);而對非關(guān)聯(lián)模型，彌散連續(xù)分叉解對應(yīng)的硬化模量可能大于、小于或等于不連續(xù)分叉解對應(yīng)的硬化模量，則彌散連續(xù)分叉有可能先于或落后于不連續(xù)分叉的出現(xiàn).

因為應(yīng)變局部化是材料隨著均勻加載由均勻變形場過渡到非均勻變形場的一個現(xiàn)象，所以初始均勻各向同性材料就成為本工作數(shù)值研究的對象.這里，分析對象為邊長10 cm的均勻各向同性立方體，采用8節(jié)點六面體線性完全積分單元類型，將試樣劃分為2 744個單元，有限元網(wǎng)格劃分如圖5所示.坐標(biāo)軸x方向設(shè)為最大主應(yīng)力方向，在x方向上，設(shè)定試樣上下兩端面光滑，給上端面施加豎向強制位移;剪切過程中固定住y方向上兩端面在y方向上的位移，同時固定下端面在x方向;z方向為應(yīng)力邊界.試樣假定為藤森黏土，本構(gòu)模型參數(shù)如表1所示.

圖5 有限元網(wǎng)格Fig.5 Meshes for finite element analysis

3.2 結(jié)果分析

圖6為數(shù)值模擬平面應(yīng)變條件下的2條不同的應(yīng)力路徑，分別為常最小主應(yīng)力(σ3=200 kPa)和常平均主應(yīng)力(p=200 kPa).

圖6 應(yīng)力路徑Fig.6 Stress path

圖7為2條不同應(yīng)力路徑的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，σ1/σ3為最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之比.圖中對比了理論解分叉點與數(shù)值解分叉點.當(dāng)σ3=200 kPa時，理論解分叉點對應(yīng)最大主應(yīng)變?yōu)?.4%，峰值點對應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.1%，數(shù)值解分叉點對應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.9%;當(dāng)p=200 kPa時，峰值點對應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.6%，理論解分叉點對應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.9%，數(shù)值解分叉點對應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.7%.上述結(jié)果表明，基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維彈塑性本構(gòu)模型，在常最小主應(yīng)力和常平均主應(yīng)力的剪切應(yīng)力路徑下，應(yīng)變局部化分叉均發(fā)生在土體的應(yīng)變硬化階段.

圖7 主應(yīng)變和應(yīng)力比的關(guān)系Fig.7 Relationship between principal strain and stress ratio

圖8給出了在σ3=200 kPa時，平面應(yīng)變條件下不同超固結(jié)比的藤森黏土應(yīng)變局部化分叉理論解與數(shù)值解的比較.可以發(fā)現(xiàn)，各超固結(jié)比下土體的數(shù)值解分叉點均發(fā)生在峰值前，進一步證實了平面應(yīng)變條件下土體應(yīng)變局部化發(fā)生在應(yīng)力應(yīng)變塑性硬化階段的理論解結(jié)果(見圖2);并且隨著超固結(jié)比的增大，土體強度越高，數(shù)值解分叉點越接近峰值點，這與理論解分叉點隨固結(jié)比的增長而接近峰值點的特點吻合得很好.不同應(yīng)力路徑與超固結(jié)比條件下分叉的理論解與數(shù)值解的應(yīng)力比誤差如表2所示，不難看出，二者應(yīng)力比相差較小，這說明了平面應(yīng)變局部化分叉理論解的合理性.

圖8 不同超固結(jié)比的藤森黏土的應(yīng)力比應(yīng)變關(guān)系Fig.8 Stress ratio-strain relationships of Fujinomori clay with different OCRs

表2 局部化分叉理論解和數(shù)值解應(yīng)力比的比較Table 2 Comparison of stress ratio between analytical and numerical solutions for localization bifurcation

4 結(jié)束語

本工作基于聲學(xué)張量法系統(tǒng)地對基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維彈塑性本構(gòu)模型在平面應(yīng)變條件下局部化分叉進行了解析，并運用理論解對常最小主應(yīng)力平面應(yīng)變條件下不同超固結(jié)比土體的分叉點和剪切帶傾角進行了對比分析.理論分析表明，超固結(jié)比越大，分叉點發(fā)生得越早，對應(yīng)的最大主應(yīng)變越小，剪切帶傾角越大;同時理論分析了常平均主應(yīng)力平面應(yīng)變條件下局部化分叉形成的剪切帶的傾角隨最大主應(yīng)變變化的關(guān)系，理論證明了剪切帶形成后，剪切帶傾角隨最大主應(yīng)變增大變化微小，趨于穩(wěn)定;最后，本工作借助非線性有限元軟件ABAQUS分別在常最小主應(yīng)力和常平均主應(yīng)力平面應(yīng)變條件下對局部化分叉進行了數(shù)值模擬分析，得出了分叉點數(shù)值解與理論解基本一致的結(jié)論，從而驗證了平面應(yīng)變條件下局部化分叉理論解的可靠性.

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