錢 偉， 郭秀云

(上海大學理學院，上海200444)

自著名群論專家Burnside證明了任意單群不含長度為素數(shù)的正方冪的共軛類之后，人們就對利用共軛類長來研究有限群的結構產(chǎn)生了極其濃厚的興趣.Chillag等［1］證明了如果群G的每一個共軛類長無平方因子，則G必為超可解群.沿用這一思想，任永才［2-4］進一步研究了其共軛類長無平方因子的群的結構以及其共軛類長無立方因子的群的結構.劉曉雷［5］利用因子群中元素的共軛類長來研究乘積因子群的結構，給出了乘積因子群為超可解群的一些充分條件.本研究將繼續(xù)這一思想，通過減弱乘積因子群中因子群的初始條件，給出群為超可解群的一些新的充分條件.

1 預備知識

本研究所考慮的群均為有限群.為后面引用方便，本節(jié)先給出一些基本概念與基本引理.如果x是群G的元素，則xG表示x所在的共軛類，從而|xG|表示x所在的共軛類長.

定義1 如果群G的子群A與G的每個Sylow子群可交換，則稱A為G的S-擬正規(guī)子群.

引理1［1］設N為群G的正規(guī)子群，x為G的一個元素，則|xN|||xG|，且|(xN)G/N|||xG|.

推論1 設N為群G的次正規(guī)子群，x∈G，則|xN|||xG|.

證明 因為N為群G的次正規(guī)子群，所以存在如下從N到G的次正規(guī)子群列：

由引理1可知，|xNi|||xNi+1|，i=0，1，…，s-1，所以|xN|||xG|.

引理2［1］設G是非Able群，如果對于G的每個共軛類C，其|C|無平方因子，則G為超可解群.

引理3［6］如果子群H為群G的S-擬正規(guī)子群，則H/HG是冪零的.

2 主要結果

定理1 設A和B都是群G的子群，且G=AB.如果A為G的正規(guī)子群，且對于A∪B中的每一個元x，|xG|是無平方因子的，則G為超可解群.

證明 假設定理不成立，且設G為一個極小階反例，那么我們通過以下論述來完成定理的證明.

(1)定理的假設條件是商群遺傳的.

實際上，設L為G的一個正規(guī)子群，我們考慮商群G/L.顯然G/L=(AL/L)(BL/L)，且AL/L是G/L的正規(guī)子群.任取xL∈AL/L∪BL/L，則存在y∈A∪B，使xL=yL.由于|(xL)G/L|=|(yL)G/L|，由引理1知，|(xL)G/L|無平方因子.從而G/L滿足定理的假設條件.

(2)G有唯一的極小正規(guī)子群 N，使得 N= F(G)，其中N是階為pn的初等交換p-群，且n≥2.

如果G有2個極小正規(guī)子群，設為N，N1.因為G為極小階反例，則由結論(1)可知，G/N和G/N1都為超可解群.因為G/N∩N1同構于G/N與G/N1直積的子群，G同構于G/N∩N1，可知G為超可解群，矛盾.因此，G有唯一的極小正規(guī)子群N.如果A=1，則G=B.由引理2知，G為超可解群.所以，可以假設A≠1.由于A為G的正規(guī)子群，且對任意x∈A，有|xA|||xG|，從而|xA|無平方因子.再由引理2可知，A是超可解群.由N的唯一極小性，保證N≤A.因此，N為pn階的初等交換p-群.如果Φ(G)≠1，則由結論(1)可知，G/Φ(G)是超可解群，從而G為超可解群.因此，Φ(G)=1.又由G有唯一極小正規(guī)子群可知，N=F(G).如果n=1，則N為循環(huán)群.由G/N是超可解群可知，G是超可解群，矛盾.因此n≥2.

(3)設T/N是G/N的極小正規(guī)子群，則存在T中的q階元x，使得T=N〈x〉成立，且q≠p.進一步可得，N∩CT(x)=1.

由G/N是超可解群可知，存在G/N的正規(guī)q階子群T/N.如果q=p，則T為G的正規(guī)p-子群，所以，T≤F(G)=N，矛盾.因此，q≠p.由 Schur-Zassenhaus定理，存在T的q階元x，使得T=N〈x〉.如果存在1≠u∈N∩CT(x)，則由N為初等交換p-群，可以得到u∈Z(T)，于是，就有1≠Z(T)正規(guī)于G.由N的唯一性知，N≤Z(T).因此，T=N×〈x〉，則T冪零.T≤F(G)=N，矛盾.所以，N∩CT(x)=1.

(4)N=A.

N的唯一性隱含著N≤A.如果N＜A，則A/N是G/N的不為1的正規(guī)子群.由G/N是超可解群可知，在A/N中存在一個G/N的正規(guī)子群T/N，且|T/ N|=q.由結論(3)可知，存在T中q-階元x，使|xT|= |T∶CT(x)|=|NCT(x)∶CT(x)|=|N|=pn(n≥2).由引理1得，|xT|||xG|，這與|xG|無平方因子矛盾.故N=A.

(5)極小階反例不存在.

設T/N是G/N的極小正規(guī)子群.由結論(3)可知，存在T的q-階元x，使得T=N〈x〉成立，且N∩CT(x)=1.由于G=AB，所以存在a∈A，b∈B，使得x=ab成立.由于 CN(x)=1，CN(a)=N，所以CN(b)=1，故|bA|=|bN|=|N∶CN(b)|=pn.但是，由引理1知，|bA|||bG|.這與|bG|無平方因子矛盾.因此，定理成立.

定理2 A和B都是群G的子群，且G=AB.如果A是G的S-擬正規(guī)子群，且對于A∪B中的每一個元x，|xG|是無平方因子的，則G是超可解群.

證明 假設定理不成立，且設G為一個極小階反例，那么我們通過以下論述來完成定理的證明.

(1)定理的假設條件是商群遺傳的.

實際上，設L為G的一個正規(guī)子群，我們考慮商群G/L.顯然G/L=(AL/L)(BL/L)，且AL/L是G/L的S-擬正規(guī)子群.任取xL∈AL/L∪BL/L，則存在y∈A∪B，使得xL=yL成立.由于|(xL)G/L|=|(yL)G/L|，由推論1知，|(xL)G/L|無平方因子.從而G/L滿足定理的假設條件.

(2)設p是整除|A|的最大素因子，則G有一個極小正規(guī)子群N，使得|N|=pn.

事實上，如果A=1，則G=B.由引理2知，G為超可解群.所以，可以假設A≠1.又由A是G的S-擬正規(guī)子群可知，A是G的次正規(guī)子群.根據(jù)推論1，對任意x∈A，都有|xA|||xG|.再利用引理2知，A為超可解群，故F(A)≠1.由于F(A)≤F(G)，從而F(G)≠1.故G有pn階的極小正規(guī)子群N.

(3)G可解.

由結論(1)和(2)知，G為可解群.

(4)N是 G的唯一的極小正規(guī)子群，從而，F(xiàn)(G)=N，Φ(G)=1，且n≥2.

如果G有2個極小正規(guī)子群，設為N和N1.則由結論(1)可知，G/N，G/N1都為超可解群.再由G/ N∩N1同構于G/N與G/N1直積的子群，以及G同構于G/N∩N1可知，G為超可解群，矛盾.因此，G有唯一的極小正規(guī)子群N.如果Φ(G)≠1，則由結論(1)可知，G/Φ(G)是超可解群.從而，G是超可解群.因此，Φ(G)=1.又由G有唯一極小正規(guī)子群可知，N=F(G).如果n=1，則N為循環(huán)群.由G/N是超可解群可知，G是超可解群，矛盾.因此，n≥2.

(5)設T/N是G/N的極小正規(guī)子群，則存在T中的q-階元x，使得T=N〈x〉成立，且q≠p.進一步有，N∩CT(x)=1.

由G/N是超可解群知，存在素數(shù)q，使|T/N|= q.如果q=p，則T即為G的正規(guī)p-子群，所以T≤F(G)=N，矛盾.因此，q≠p.由Schur-Zassenhaus定理，存在T的q-階元x，使得T=N〈x〉，其中o(x)=q.如果存在1≠u∈N∩CT(x)，則由N為初等交換p-群，可以得到u∈Z(T).于是，就有1≠Z(T)正規(guī)于G.由N的唯一性知，N≤Z(T).因此，T=N×〈x〉.故T≤F(G)=N，矛盾.所以N∩CT(x)=1.

(6)N≤A.

因為A是G的S-擬正規(guī)子群，由引理3可知，A/AG冪零.如果AG=1，則A冪零，于是，A=F(A)≤F(G)=N.設T/N是G/N的極小正規(guī)子群，由結論(5)可知，存在 T的 q-階元 x，使 T=N〈x〉，且N∩CT(x)=1.由于G=AB，所以存在a∈A，b∈B，使x=ab.由于CN(x)=1，CN(a)=N，所以CN(b)= 1.故|bN|=|N∶CN(b)|=pn.但是，由引理1可知，|bN|||bG|，這與|bG|無平方因子矛盾.所以，可以假設AG≠1，故N≤AG≤A.

(7)設r是|G/N|的最大素因子，則r＜p，從而G/N為p'-群.

如果N＜A，設q=max{r是素數(shù)|r||A|}，且Q∈Sylq(A).由于G/N為超可解群，所以G/N有正規(guī)的r階子群H/N.由結論(5)可知，H=〈x〉N，且〈x〉為r階循環(huán)群.如果r＞p，則由結論(2)知，B的Sylow r-子群也是G的Sylow r-子群，從而x∈B.由假設可知，|xG|無平方因子，這與結論(5)矛盾.如果r=p，則 G/N的 Sylow p-子群在 G/N中正規(guī)，這與F(G)=N矛盾.故r＜p.

(8)極小階反例不存在.

實際上，由于A為G的次正規(guī)子群，故存在G的正規(guī)子群M，使得A≤M，且|G/N∶M/N|=t為素數(shù).此時，M=M∩G=A(M∩B).由引理1可知，對任意y∈A∪(B∩M)，|yM|是無平方因子的，G的極小性表明M為超可解群.故M'≤F(M)≤F(G)= N，從而M/N為交換群.設Mp'是M的Hall p'-子群，且M∩B≤Mp'.由于M∩B是B的指數(shù)為t的正規(guī)子群，所以，當M∩B≠1時，可以取包含在M∩B中的B的極小正規(guī)子群，記為H1.B的超可解性隱含著H1=〈g〉為素數(shù)階子群.由Mp'的交換性即知，〈Mp'，B〉≤NG(H1).故H1N/N是G/N的極小正規(guī)子群.由于g∈B，所以|G∶CG(g)|無平方因子，從而|H1N∶CH1N(g)|也無平方因子，這與結論(5)矛盾.故M∩B=1.從而M=A為G的正規(guī)子群.這時，由定理1可知，G為超可解群，矛盾.定理得證.

［1］ CHILLAGD，HERZOGM.On the length of the conjugacy classes of finite groups［J］.J Algebra，1990，131：110-125.

［2］ 任永才.共軛類的長和有限群的結構［J］.數(shù)學進展，1994，23(5)：405-410.

［3］ 任永才.p-可解群的p-正則類的長和p-秩［J］.科學通報，1994，39(4)：301-303.

［4］ RENY C.On the length of p-regular classes and the pstructure of finite groups［J］.Algebra Colloq，1995，2 (1)：3-10.

［5］ LIUX L.Notes on the length of conjugacy classes of finite groups［J］.Journal of Pure and Applied Algebra，2005，196(1)：111-117.

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［7］ 徐明曜.有限群導引(上)［M］.北京：科學出版社，2001.

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