李爭路，岑 剡

（復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系，上海200433）

1 引 言

衍射光柵光柵常量的測定實(shí)驗(yàn)要求在測量過程中，平行光垂直光柵入射．如果平行光斜入射光柵會(huì)發(fā)生怎樣的現(xiàn)象？對(duì)于這個(gè)疑問，本文試圖通過理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證來回答，以幫助學(xué)生更好地理解實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)過程中遇到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象．

以光柵建立坐標(biāo)系，如圖1所示（灰色代表不透光部分，白色代表透光部分），垂直入射時(shí)，入射光平行于ζ軸．

圖1 坐標(biāo)系的建立

當(dāng)平行光的入射方向在ζOξ平面內(nèi)且與ξ軸有一定夾角時(shí)，有光柵方程［1－2］

其中，Δr為光程差，d為光柵常量，i為入射角，θ為出射角，k為出射的級(jí)次，λ為入射光波長．式中，當(dāng)兩角偏向法線同側(cè)時(shí)，為加號(hào)；當(dāng)兩角偏向法線異側(cè)時(shí)，為減號(hào)．

當(dāng)入射平行光入射方向在ζOη平面內(nèi)并且與η軸有一定夾角時(shí)，則可以看到如圖2所示的衍射光斑呈曲線形分布（后文將證明當(dāng)光柵與接收屏平行時(shí)，該曲線為雙曲線）．逐漸減小入射平行光與η軸的夾角，曲線的曲率半徑將逐漸增大．

圖2 斜入射光斑分布情況（單縫衍射）

2 理論分析

采用如下的菲涅爾 －基爾霍夫積分公式［2－5］進(jìn)行計(jì)算

2．1 衍射后光場的計(jì)算

在傍軸條件下，且衍射場接收于薄透鏡的后焦面時(shí)，可對(duì)（2）式作近似［2］1，r＝r0＋Δr≈f，其中r0為矩孔原點(diǎn)O出射的光到接收屏的光程，Δr為由其他點(diǎn)出射光與原點(diǎn)出射光的光程差．于是，在接收屏x O′y 上，光程差可表示為［2］：Δr＝－（ξsinθ1＋ηsinθ2），其中θ1和θ2是二維的衍射角（衍射方向的2個(gè)方向角的余角）［2］，將上式代入（3）式，有

2．2 衍射前光場的計(jì)算

定義入射光方向與ξ軸及η軸夾角分別為γ和δ，利用同樣的方法［2］，可得入射前光程差為Δr＝－（ξcosγ＋ηcosδ）．又有平面波方程［5］：U＝U0eikr．令矩孔O點(diǎn)r＝0，把無關(guān)的系數(shù)并入U(xiǎn)0中，可得在矩孔上的光場分布函數(shù)為

2．3 最終光場分布的計(jì)算

將（5）式代入（4）式，經(jīng)計(jì)算，得

I＝｜U｜2＝

在（6）式中，令γ＝δ＝90°，此時(shí)為光線正入射矩孔，（6）式變?yōu)?/p>

即矩孔正入射時(shí)的光場分布［2，4］．所以，（6）式可看作平行光正入射矩孔后光場分．

注意到主極大條紋，滿足sinθ1＋cosγ＝0，sinθ2＋cosδ＝0，即θ1與γ互余，θ2與δ互余，由此可得另一個(gè)重要結(jié)論：出射光主極大方向與入射光一致，這與實(shí)際觀察一致．

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析及計(jì)算機(jī)模擬

3．1 光斑在接收屏的分布

利用（6）式和（7）式分析所觀察到的現(xiàn)象．

取較為特殊的例子．令γ＝90°，δ≠90°，作單縫衍射，此時(shí)平行光入射方向在ζOη平面內(nèi)且與η軸有夾角δ，從屏上（接收屏與矩孔平面平行）可以觀察到如圖2現(xiàn)象．由于計(jì)算時(shí)用矩孔，而矩孔衍射在y方向上也會(huì)有光強(qiáng)分布；當(dāng)變?yōu)閱慰p、多縫或光柵情況時(shí)，只需考慮矩孔情況下的在y方向上的主極大，即sinθ2＋cosδ＝0的情況，此時(shí)x方向與正入射衍射分布一致，且有

當(dāng)傾角δ選定后，sinθ2為恒定值．

根據(jù)ξOη和x O′y坐標(biāo)系的定義及兩坐標(biāo)系和透鏡位置的關(guān)系［4］，有

其中，f為薄透鏡的焦距，x為光斑在水平方向延展的距離．對(duì)上式變形，得到

光斑的在接收屏坐標(biāo)上的分布為雙曲線的形式．

雙曲線的彎曲方向由δ決定：當(dāng)δ＜90°時(shí)，光斑向下彎曲；當(dāng)δ＞90°時(shí)，光斑向上彎曲．假設(shè)令δ由90°逐漸向0°變化，在（8）式中，cot2δ逐漸增大，雙曲線曲率增大，與觀察到的現(xiàn)象一致．

3．2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與計(jì)算機(jī)模擬

設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)．裝置如圖3所示，使用632．8 nm氦氖激光器作為光源照射單縫．接收屏與單縫所在平面平行，接收屏上固定坐標(biāo)紙用以描點(diǎn)讀數(shù)．由于激光的準(zhǔn)直性很好，實(shí)驗(yàn)中沒有使用透鏡聚焦，而（6）式是利用透鏡來消除透鏡后的光程差，此處不使用透鏡會(huì)導(dǎo)致接收屏上分布與（8）式略有不同，但在接收屏與單縫距離較小時(shí)，該誤差較小，可忽略．此時(shí)（8）式中的f即為單縫和接收屏之間的距離．

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置

衍射光斑在接收屏上的位置分布如圖4所示，利用（8）式，對(duì)x2和y2作線性擬合，得到圖5．圖5中，擬合曲線為y2＝72．2＋2．348x2，由（8）式，可得到計(jì)算值（cot2δ）cal＝2．348，（f2）cal＝30．750．實(shí)驗(yàn)中測量得到角度δ＝33．5°，f＝5．54 cm，即有實(shí)驗(yàn)值（cot2δ）exp＝2．283，（f2）exp＝30．692，與計(jì)算值相差很小，相對(duì)誤差分別為2．8%和0．2%．由此可以證明（6）式和（8）式的正確性．

圖4 衍射光斑在接收屏上的位置分布

利用軟件根據(jù)（7）式進(jìn)行單縫衍射光強(qiáng)模擬，得到圖6結(jié)果，與圖2對(duì)比，光場分布情況一致．其中，模擬參數(shù)選擇如下：λ＝632．8 nm，γ＝90°，δ＝60°，f＝10 cm，h＝1 cm，d＝10－4cm，矩孔長寬比為10 000∶1，可看作單縫．

圖5 數(shù)據(jù)處理與擬合

圖6 計(jì)算機(jī)模擬

4 結(jié)束語

本文計(jì)算了平行光以任意角度入射矩孔后的光場分布公式［（6）式］，并證明了當(dāng)接收屏與矩孔（光柵）平行時(shí)，光斑分布為雙曲線．（6）式可看作是各類教科書上平行光正入射矩孔情況的推廣．本文通過對(duì)光斜入射到光柵上的理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，使得學(xué)生對(duì)于衍射光柵光柵常量的測定實(shí)驗(yàn)過程當(dāng)中平行光斜入射產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象能夠給予合理的解釋，讓學(xué)生了解到更為一般性的衍射現(xiàn)象，掌握了更為普遍性的衍射規(guī)律．

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