蔡國娟，王德進，劉振全

(天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222)

基于分數(shù)階PIλ控制器的單容水箱液位控制

蔡國娟，王德進，劉振全

(天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222)

討論分數(shù)階 PIλ控制器在單容水箱液位控制中的應用問題，給出了一種基于圖解穩(wěn)定性準則的 PIλ控制器的設計方法.研究了 PIλ控制器的參數(shù)穩(wěn)定域，然后在穩(wěn)定域內進行系統(tǒng)性能的設計，并提出具體的設計算法.通過Matlab仿真和水箱液位控制系統(tǒng)的實際操作實驗，對分數(shù)階PIλ控制器、整數(shù)階PI控制器和常規(guī)Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法進行比較，說明了本文設計方法的有效性和分數(shù)階PIλ控制器的優(yōu)越性.

分數(shù)階PIλ控制器；水箱液位控制系統(tǒng)；圖解穩(wěn)定性準則

對分數(shù)階控制系統(tǒng)的研究越來越受到人們的重視.一方面，分數(shù)階模型是對一類實際被控對象的更精確的數(shù)學模型描述[1]；另一方面，分數(shù)階控制器可以取得比整數(shù)階控制器更好的控制效果[2]，無論是對整數(shù)階被控對象還是對分數(shù)階被控對象.目前，分數(shù)階控制器有 4種類型，即 TID控制器[3]、CRONE控制器[4]、PIλDμ控制器[5]及分數(shù)階相位超前/滯后補償器[6].文獻[7]采用 D-分解法研究了分數(shù)階 PI和 PID控制器的參數(shù)穩(wěn)定域和性能設計問題.文獻[8–10]根據各種性能指標約束，通過解析法求解分數(shù)階 PIλ和PDμ控制器的參數(shù)，實現(xiàn)參數(shù)整定.

本文以單容水箱液位控制系統(tǒng)為工程背景，利用一種可應用于分數(shù)階時滯系統(tǒng)的圖解穩(wěn)定性準則研究分數(shù)階PIλ控制器的參數(shù)穩(wěn)定域和積分階次λ對參數(shù)穩(wěn)定域的影響，進而在參數(shù)穩(wěn)定域內進行相角裕度性能設計.文中給出 PIλ控制器的一種圖解參數(shù)整定方法，并與常規(guī)的Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法[11]進行比較.通過計算機仿真和水箱液位控制實驗操作，驗證了本文方法的有效性和優(yōu)越性，實現(xiàn)了分數(shù)階PIλ控制器在液位控制系統(tǒng)中的實際應用.

1 單容水箱的建模

眾所周知，單容水箱的數(shù)學模型可以表示為

式中：k為穩(wěn)態(tài)增益；T為時間常數(shù)；L為滯后時間，一般是由液體的長管路傳輸產生.實驗裝置中水箱液位的量程為 0～50 cm.首先將出水閥門固定于某一開度，然后采用階躍響應法[12]，連續(xù)做 3次同樣的實驗，取被測參數(shù)的 3組實驗數(shù)據，求其平均值，得一階加滯后模型(1)的參數(shù)為

2 參數(shù)穩(wěn)定域

考慮單容水箱液位控制系統(tǒng)，如圖1所示.

圖1 單位反饋控制系統(tǒng)Fig.1 Unity feedback control systems

其中G(s)由式(1)給定，C(s)為分數(shù)階 PIλ,控制器.

式中：kP和kI分別為比例增益和積分增益；λ∈(0,2)為積分階次.如果取λ=1，就得到常規(guī)(整數(shù)階)PI控制器.圖1所示系統(tǒng)的閉環(huán)擬多項式為

本節(jié)的目的是，對固定的積分階次λ∈ (0,2)，在kP?kI平面，基于一個圖解穩(wěn)定性準則，確定參數(shù)穩(wěn)定域.為此，令s=jω，代入式(4)，得

即虛軸上存在根.由隱函數(shù)存在定理可知，如果雅可比(Jacobi)矩陣

非奇異，則由式(6)和(7)可解得局部唯一連續(xù)解曲線(kP(ω) ,kI(ω) ).進一步，有如下命題：

命題1[13]在 kP?kI參數(shù)平面上，沿ω增加的方向，當detJ＜0時，參數(shù)曲線 (kP(ω),kI(ω) )右側為穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域；而當detJ＞0時，左側為穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域.其中J為式(9)定義的雅可比矩陣.

由式(6)、式(7)和式(9)可以得到

另一方面，以λ和ω為參變量，解方程組(8)得

由于特征方程(5)和時滯因子L均為實數(shù)，如果jω是式(5)的根，則其復共軛也是式(5)的根，所以只需考慮ω∈ [0,+ ∞ )，對應于兩種情況：ω=0和ω∈ (0,+ ∞ ).當ω=0時，令 D?(0)= 0，得臨界穩(wěn)定邊界線

而當ω∈ (0,+ ∞ )時，式(11)和式(12)在 kP?kI平面給出臨界穩(wěn)定邊界線的另外一部分，根據命題 1，可以確定該曲線的哪一側為穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域.

3 穩(wěn)定裕度設計

有了參數(shù)穩(wěn)定域，就可以在穩(wěn)定域內進行相角裕度(PM)和幅值裕度(GM)的設計.由于相角裕度直接與動態(tài)響應的超調量相關，這里只討論 PM 的設計.設期望的PM為mφ，由PM的定義，開環(huán)傳遞函數(shù)應滿足式(14).

其中，cω為截止頻率.為了獲得滿意的動態(tài)響應，mφ應介于30°～60°.根據式(14)可以定義如下函數(shù)：

比較式(5)和式(16)，可以看出兩式的唯一差別僅在于式(16)多一個因子φm.因此，對給定的PM=φm，上節(jié)關于確定參數(shù)穩(wěn)定域的方法完全可以擴展到PM的情形.類似于式(11)和式(12)的推導，有

對固定的積分階次λ，式(17)和式(18)在 kP?kI平面上的穩(wěn)定域內確定一條滿足給定的PM的曲線.

根據上面的討論，可以提出如下分數(shù)階 PIλ控制器的設計算法.

算法1 給定相角裕度，設計PIλ控制.

(1)選取λ∈ (0,2)，并取足夠大的ω，由式(11)和式(12)，在 kP?kI平面上繪制臨界穩(wěn)定參數(shù)曲線(kP(ω) ,kI(ω) ).根據式(10)中detJ的符號，由命題 1可判斷參數(shù)曲線的右側為穩(wěn)定域，并結合式(13)得到封閉的參數(shù)穩(wěn)定域.

(2)給定期望的相角裕度φm，由式(17)和(18)，在穩(wěn)定域內繪制相角裕度曲線.根據命題 1可判斷，該曲線的右側為相角裕度大于φm的參數(shù)區(qū)域.

(3)沿相角裕度曲線，根據期望閉環(huán)系統(tǒng)帶寬的要求選擇截止頻率ωc，并計算出(kP(ωc),kI(ωc)).對于幅值裕度，相對穩(wěn)定裕度的情形可類似討論.

4 仿真與實驗

對所建立的單容水箱模型(2)，應用算法 1進行分數(shù)階PIλ控制器的設計，并做Matlab仿真與實際液位控制實驗.

4.1 確定參數(shù)穩(wěn)定域

對單容水箱模型(2)，應用公式(11)和(12)，在kP?kI平面上，選取不同的分數(shù)階次λ∈ (0,2)，繪制PIλ控制器的參數(shù)穩(wěn)定域，如圖2所示.圖中箭頭為ω增加方向.隨λ的減小，參數(shù)穩(wěn)定域變大，為系統(tǒng)性能設計提供了更大的空間.

圖2 不同的λ對應的參數(shù)穩(wěn)定域Fig.2 Stability regions for differentλ

本文僅從分數(shù)階 PIλ控制器能有效改善階躍響應的瞬態(tài)性能的角度，討論了 PIλ的設計問題.λ取0.9，超調量明顯減小.λ再小，超調量會更小.但實際上，分數(shù)階 PIλ控制器的另一個特點是能顯著改善系統(tǒng)對被控對象增益變化的魯棒性[9–10].從改善魯棒性的角度出發(fā)，積分階次λ應相對大一些.這樣，動態(tài)響應與魯棒性之間是相互矛盾的，應折衷考慮.所以，仿真與實驗中，沒有選取過小的λ，而是取λ＝0.9.

4.2 繪制相角裕度曲線

取λ=0.9和λ=1(整數(shù)階 PI控制器)，給定期望的相角裕度mφ=45°.由式(17)和式(18)，在參數(shù)穩(wěn)定域內繪制相角裕度曲線，如圖3所示.

圖3 λ=0.9和λ=1的相角裕度曲線Fig.3 Phase margins for λ=0.9 and λ=1

4.3 選擇截止頻率

根據閉環(huán)帶寬要求選取截止頻率ωc，如圖3中A點，其控制器參數(shù)為 kP= 0.84,kI= 0.0088.由于A點位于λ=0.9時的相角裕度曲線之內，對于λ=0.9的分數(shù)階 PIλ控制器來說，所達到的相角裕度大于45°，對應的階躍響應的超調量明顯減小，如圖 4中點劃線所示.

為了比較，圖 3中還給出了利用常規(guī) Ziegler-Nichols整數(shù)階PI控制器整定公式算出的參數(shù)點B，其控制器參數(shù)為 kP= 1.216,kI= 0.0146.相應的階躍響應曲線如圖 4中實線所示.取后，利用 MCGS組態(tài)軟件編程，在實際液位控制實驗裝置上進行液位控制實驗，測得的3種情況下的階躍響應曲線如圖5所示，與Matlab仿真結果基本一致.

圖4 不同參數(shù)下的階躍響應曲線Fig.4 Step responses for different parameters

圖5 不同參數(shù)下的實際液位階躍響應曲線Fig.5 Actual level step responses for different parameters

5 結 語

本文以單容水箱液位控制系統(tǒng)為工程背景，給出了分數(shù)階 PIλ控制器設計的一種方法.將 Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法和本文的 PI和PIλ參數(shù)整定方法進行了比較，說明了本文方法的有效性，特別是采用 PIλ控制器能有效改善動態(tài)響應品質.仿真和實驗都說明，分數(shù)階PIλ控制器完全可以取代常規(guī)PI控制器，具有廣闊的應用前景.

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Level Control of Single Water Tank Based on Fractional-Order PIλControllers

CAI Guo-juan，WANG De-jin，LIU Zhen-quan
(College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China)

The application problem of fractional-order PIλcontroller in the level control of single water tank was discussed，and a design method of PIλcontroller was given based on a graphical stability criterion. The parameters stability region of PI controller was first determined，then，the performances of the closed-loop system were considered in the stability region，and a practical design algorithm was proposed also. Via Matlab simulation and the practical control test in the level control of water tank device，the control effects of fractional-order PIλcontrol，the conventional PI control and the Ziegler-Nichols tuning rule was compared. The results show the effectiveness of the design approach proposed and the superiority of fractionalorder PIλcontrol over the conventional PI control.

fractional-order PIλcontroller；level control systems of water tank；graphical stability criterion

TP273

A

1672-6510(2011)04-0057-04

2011–03–29；

2011–04–25

國家自然科學基金資助項目(60874028)

蔡國娟（1985—），女，吉林白城人，碩士研究生；通信作者：王德進，教授，wdejin56@sina.com.