黃民海

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東 肇慶 526061）

本文中，筆者將研究如下二維復(fù)平面楔形域Ω上Modified-Helmholtz方程的混合邊值問題

其中∶Δ為二維的Laplace算子,β為常數(shù)(2β即為波數(shù));L1＝｛(x,y)｜y＝0,0≤x＜∞｝,L2＝｛(x,y)｜y＝xtanθ,0≤x＜∞,θ＝π/2n,n＝1,2,…｝;?Ω＝L1∪L2;g(x),f(x)均為連續(xù)函數(shù)且當(dāng)x→∞時趨于零，在頂點(0,0)處滿足相容性條件.

傅里葉變換方法是解決數(shù)學(xué)物理方程最重要的數(shù)學(xué)工具之一.近年來，出現(xiàn)了一種新型的Fokas譜變換方法[1－2]，用以求解各種類型的線性或可積性非線性偏微分方程的初（邊）值問題[3－6].在某種程度上，這種方法是傅立葉變換方法的延展；但對于某些具體問題，采用Fokas譜變換方法得到的解，更便于對解的某些特性作進(jìn)一步的數(shù)值分析和漸近分析.

Fokas譜變換方法主要包括以下3個步驟：1)構(gòu)造方程的Lax pairs；2)通過對Lax pairs實施實時的譜分析，得到含有未知邊界值的解的積分表達(dá)式；3)利用全局關(guān)系式及其某種不變性特征，求得未知的邊界值，從而得到方程的解.利用這種方法，F(xiàn)okas對凸多邊形上的Modified-Helmholtz方程進(jìn)行了研究，得到如下結(jié)論.

引理1[7]設(shè)q(x,y)在角點為z1,z1,…,zm的閉凸多邊形Ω上滿足Modified-Helmholtz方程（1）.若給定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件使得方程（1）存在一個在Ω上充分光滑且連續(xù)到邊界上的解，那么此解可表示為

lj為從原點到無窮遠(yuǎn)點的有向射線：lj＝｛k∈C∶arg k＝－arg(zj－zj＋1),j＝1,2,…,m｝.函數(shù)ρj＋1,j(k)滿足全局關(guān)系式

若Ω為開區(qū)域的情況，需要進(jìn)行如下部分修改：其中，角點z1,zm分別移至無窮遠(yuǎn)點，q(x,y)(z→∞)有充分的衰減，式（4）的求和項j只有從1到m－1，函數(shù)ρ1,m(k)＝0，而ρ2,1(k),ρm,m－1(k)分別定義在S1＝｛k∈C,arg k∈[－arg(z2－z1),π－arg(z2－z1)]｝和Sm＝｛k∈C,arg k∈[－arg(zm－1－zm),π－arg(zm－1－zm)]｝上，全局關(guān)系式（6）變?yōu)?/p>

Fokas得到解的積分表達(dá)式（4）含有Dirichlet和Neumann邊界值，它只能算是一種形式的表達(dá)式.對于特定的邊界條件，例如Dirichlet邊值問題，表達(dá)式（4）中的Dirichlet邊界值為已知量，而Neumann邊界值為未知量，所以，必須消除或求出其中的Neumann邊界值，才能得到解的封閉積分表達(dá)式.對于特殊楔形域（張角為π/4）上Modified-Helmholtz方程的一類邊值問題，已有相關(guān)研究報道[8].本文是在更一般的情況下進(jìn)行討論，文中當(dāng)θ＝π/4時即為文獻(xiàn)[8]的情況.本文所采用的方法是在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了推廣，解決此問題的關(guān)鍵在于未知邊界值的Riemann-Hilbert刻畫.

相應(yīng)于本文的問題，Ω為開區(qū)域且m＝3，楔形域的角點分別為z1＝z3＝∞,z2＝0.由引理1得到方程解的形式積分表達(dá)式

其中∶l1＝｛k∈C,arg k＝0｝,l2＝｛k∈C,arg k＝－(π＋θ)｝;

ρ21(k),ρ32(k)中含有未知的邊界值，以下進(jìn)一步消除這些未知量，從而得到原方程的封閉解.

在邊界L1上

利用分部積分，ρ21(k)可簡化為

在邊界L2上，.利用分部積分可簡化為

其中∶

注意到未知的Q1(k),Q2(k)分別為k平面D1和D2上的解析函數(shù).將方程（13）中的k換成－k，再取復(fù)共軛，由于將所得方程與原方程（13）相減，經(jīng)整理后得

引入左半k平面解析的新函數(shù)

在方程（17）中取k→ke－2iθ，得

按照以上步驟繼續(xù)下去，可得

構(gòu)造分區(qū)全純函數(shù)

由方程（20）和（21），問題轉(zhuǎn)化為如下關(guān)于Φ(k)在虛軸上的Riemann-Hilbert邊值問題

解之得

將所得結(jié)果（24）逐步回代到（22），（15），（13），（12），（11），得到 ρ21(k),ρ32(k)的值分別為

進(jìn)一步將ρ21(k),ρ32(k)代回式（8），即可得到混合邊值問題（1）～（3）解的封閉積分表達(dá)式.

∶

[1] FOKAS A S.A unified transform method for solving linear and certain nonlinear PDEs[J].Proc Roy Soc London Ser A,1997,453: 1 411-1 443.

[2] FOKAS A S,PELLONI B.Method for solving moving boundary value problems for linear evolution equations[J].Phys Rev Lett, 2000,84(21):4 785-4 789.

[3] ANTIPOV Y A,FOKAS A S.The modified Helmholtz equation in a semi-strip[J].Math Proc Cambridge Philos Soc,2005,138(2): 339-365.

[4] FOKAS A S,ITS A R,SUNG L Y.The nonlinear Schr?dinger equation on the half-line[J].Nonlinearity,2005,18(4):1 771-1 822.

[5] TREHARNE P A,FOKAS A S.Initial-boundary value problems for linear PDEs with variable coefficients[J].Math Proc Cambridge Philos Soc,2007,143(1):221-242.

[6] DASSIOSG,FOKASAS.MethodsforsolvingellipticPDEsinsphericalcoordinates[J].SIAMJApplMath,2008,68(4):1080-1096.

[7] FOKAS A S.Two-dimensional linear partial differential equations in a convex polygon[J].Proc Roy Soc London Ser A,2001,457: 371-393.

[8] BEN-AVRAHAM D,FOKAS A S.The solution of the modified Helmholtz equation in a wedge and an application to diffusionlimited coalescence[J].Phys Lett A,999,263(4):355-359.