劉瓏龍,曲偉玉,王美健

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

由于海洋的特殊物理性質(zhì),海洋生態(tài)系統(tǒng)較陸地生態(tài)系統(tǒng)要復(fù)雜得多,其穩(wěn)定性也遠(yuǎn)比陸地要低[1]。進(jìn)入1990年代,關(guān)于海洋生態(tài)系統(tǒng)的研究異?；钴S,并開始研究系統(tǒng)的“動(dòng)力學(xué)”特征。目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者在海洋生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型的建立和處理方法上做了很多研究[2-5]。

本文就一類NPZ非線性海洋生態(tài)模型,應(yīng)用Lienard-Chipard條件判定其穩(wěn)定性。并通過(guò)控制理論中的廣義根軌跡法分析得出,參數(shù)取值不同時(shí)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響。該方法刻畫了隨著參數(shù)的增大,特征方程的根在復(fù)平面的分布,因此可捕捉到系統(tǒng)的穩(wěn)定性能變化,但是其精度取決于高階項(xiàng)。

1 模型的引入

浮游動(dòng)物對(duì)浮游植物的攝食過(guò)程采用Lo tka-Volterra公式,本文采用營(yíng)養(yǎng)鹽(N)-浮游植物(P)-浮游動(dòng)物(Z)模型[6],建立海洋生態(tài)系統(tǒng)方程如下:

模型參數(shù)的意義及取值如表1所示[7]。

表1 生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)含義及取值Table 1 Parameters and values of ecological dynamic model

設(shè)Nf=+x4,其中,表示t=0時(shí)平衡狀態(tài),營(yíng)養(yǎng)鹽的輸入,不妨設(shè)x4為單位階躍函數(shù)x4=,γ,Rm,α,rN,εZ,εP互不相關(guān),且各個(gè)參數(shù)均大于0,那么:

其中u=(N P Z)′

當(dāng)t<0時(shí),令f(u)=0,可求得方程(1)的非平凡平衡點(diǎn):

2 模型的穩(wěn)定性分析

經(jīng)驗(yàn)證,只需Z*,rN,γ,α,Rm均不為0,則A不存在實(shí)部為零的特征根,該條件滿足方程(1)的假設(shè),其在平衡點(diǎn)(N*P*Z*)是雙曲的。

以下研究方程(1)在平衡點(diǎn)(N*P*Z*)的局部穩(wěn)定性。

根據(jù)穩(wěn)定性定理可知,若A的特征根的實(shí)部均小于0,則方程(1)是穩(wěn)定的[8],但三階特征多項(xiàng)式根的求解較復(fù)雜,因此,本文采用Hurw itz判據(jù)的等價(jià)判據(jù)Lienard-Chipard判據(jù)[9],來(lái)判斷特征根實(shí)部的符號(hào)。

|λI-A|=λ3-a11λ2-a32(a23+a11+rN)λ-a23a32rN=0具有負(fù)實(shí)部的特征根的充分必要條件是:

1)λ的各項(xiàng)系數(shù)大于0,由a11,a23,a32的定義可知:

2)偶數(shù)階的Hurw itz行列式大于0,由|λI-A|和a11,a23,a32的定義可知:

3 廣義根軌跡法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行的分析

3.1 傳遞函數(shù)

下面考慮方程(1)的等價(jià)系統(tǒng),不妨設(shè)x1=NN*;x2=P-P*;x3=Z-Z*;x4=Nf-;可以把方程(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化為以下系統(tǒng):

由于該方程的初值x=(000)′,對(duì)方程(3′)進(jìn)行Laplace變換,在復(fù)頻域上討論其穩(wěn)定性能。

其中X(s),X4(s),Y(s)是x,x4,y的Laplace變換,則:

可求得傳遞函數(shù):

3.2 廣義根軌跡法

系統(tǒng)的穩(wěn)定性和相關(guān)性能指標(biāo)主要是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在復(fù)平面的位置決定的,為了求出閉環(huán)極點(diǎn)需要求解高階代數(shù)方程,三階以上的代數(shù)方程求解是較困難的。每當(dāng)有參數(shù)變化時(shí),需要重新求解高階代數(shù)方程[11]。廣義根軌跡法,是針對(duì)系統(tǒng)中的某一參數(shù)從0變化到+∞時(shí),確定系統(tǒng)極點(diǎn)在復(fù)平面的變化曲線。本文采取廣義根軌跡的方法,可以不用求解代數(shù)方程,就能確定出某個(gè)參數(shù)變化時(shí)極點(diǎn)的位置變化。把各參數(shù)帶,可得:

圖1 增益的等效控制圖Fig.1 Equivalent control figure of gain

其中,D(s)=s3+1.3s2-0.084s-0.0012;N(s)=21s+0.3;可畫出的根軌跡圖,如圖2所示:

圖2 增益的根軌跡圖Fig.2 Root locus figure of gain

2)由根軌跡法得知,當(dāng)極點(diǎn)之間的距離加大時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程會(huì)盡快的消失。由圖2可知,當(dāng)時(shí),<(s)的極點(diǎn)之間的距離增大,則方程(3)的動(dòng)態(tài)過(guò)程會(huì)盡快的消失。對(duì)于方程(2)取時(shí)間長(zhǎng)度為1 000,時(shí),其相軌跡圖和時(shí)間歷程圖見圖3～6。

圖3 =0.024的時(shí)間歷程圖Fig.3 The time course figure w hen=0.024

圖4 =0.024的相軌跡圖Fig.4 The space trajectory figure when=0.024

圖5 =0.025的時(shí)間歷程圖Fig.5 The time course figure w hen=0.025

圖6 =0.025的相軌跡圖Fig.6 The space trajectory figure when=0.025

4 結(jié)語(yǔ)

判斷海洋生態(tài)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性時(shí),通常隨著變量的增多,代數(shù)方程的求解難度加大,從而造成平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析的難度增加。本文采取Hurw itz判據(jù),可在不求解代數(shù)方程零點(diǎn)的情況下,即可判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

經(jīng)過(guò)分析可知,當(dāng)浮游植物的生長(zhǎng)率α和初始時(shí)刻營(yíng)養(yǎng)鹽的輸入均大于浮游植物的死亡率εP和營(yíng)養(yǎng)鹽的流失率rN時(shí),系統(tǒng)存在穩(wěn)定狀態(tài)。若浮游植物的生長(zhǎng)率和初始時(shí)刻營(yíng)養(yǎng)鹽的輸入增大時(shí),或浮游植物的死亡率和營(yíng)養(yǎng)鹽的流失率減少時(shí)(即初始時(shí)刻的浮游動(dòng)物Z*濃度增大),系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能減小,即系統(tǒng)會(huì)更快的趨于穩(wěn)定狀態(tài)?？梢?浮游動(dòng)物的含量在整個(gè)海洋生態(tài)系統(tǒng)中,起著至關(guān)重要的作用。

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