劉紹慶,高存臣

(1.中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島266100;2.山東科技大學(xué)公共課部,山東濟南250031;3.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

Davey-Stewartson方程組新的精確解*

劉紹慶1,2,高存臣3

(1.中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島266100;2.山東科技大學(xué)公共課部,山東濟南250031;3.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

本文通過拓展的映射方法研究Davey-Stewartson方程組新的周期波解,并在極限情況下,得到了方程組新的孤波解以及其他形式解。

周期波解;Davey-Stewartson方程組;拓展的映射方法

0 引言

非線性微分方程的精確解的求法一直是數(shù)學(xué)物理工作者研究的熱點。近年來,人們提出了許多強有力的求解方法,如Hirota雙線性變換法[1]、反散射方法[2]、齊次平衡法[3]、Jacobi橢圓函數(shù)法[4]、F-展開法[5]等。新近提出的拓展的映射方法[6-8]被認(rèn)為是Jacobi橢圓函數(shù)展開法全面的總結(jié)和概括。

本文考慮Davey-Stewartson方程組

其中u為復(fù)函數(shù),v為實函數(shù),r為實常數(shù)。該方程組最初是作為描述淺水波擬單色波包的模型由Davey和Stewartson[9]建立的。后來在考慮到表面張力影響時也導(dǎo)出了類似的方程組。在研究長短波相互作用中,若短波的群速與長波的相位匹配時也可導(dǎo)出方程(1),且此系統(tǒng)在等離子物理領(lǐng)域已有了應(yīng)用。在文獻(xiàn)[10-12]中,利用F-展開法和Weierstrass橢圓函數(shù)法導(dǎo)出了該系統(tǒng)的由Jacobi橢圓函數(shù)表示的周期波解,并且在極限情況下,得到了方程的孤波解和其他形式解。本文利用拓展的映射方法求出了Davey-Stewartson方程(1)新的周期波解,并且在極限的情況下,得到了方程(1)新的孤波解和其它類型的精確解,進(jìn)一步揭示,Davey-Stewartson方程行波的運動性質(zhì),對流體力學(xué)的發(fā)展具有一定的參考價值。

1 拓展的映射方法

考慮如下形式的非線性發(fā)展方程

為求方程的行波解,令方程(2)具有如下形式解

其中k,λ是待定非零常數(shù)。

將(3)式代入方程(2)中,得到關(guān)于u(ξ)的微分方程

設(shè)u(ξ)具有下列形式

其中ai,bi,ci,di為待定常數(shù),F(ξ),F′(ξ)滿足

這里,P,Q,R為實常數(shù),正整數(shù)N可由方程(4)中的u(ξ)最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項之間的平衡來確定。

將(5)式代入方程(4)中,并利用輔助方程(6),將方程(4)化成F′i(ξ)Fj(ξ)的多項式,令F′i(ξ)Fj(ξ)的各次冪數(shù)的系數(shù)為0,得到關(guān)于ai,bi,ci,di,ξ的代數(shù)方程組。借助于Mathematica或Maple,求解上述代數(shù)方程組,并將這些結(jié)果代入(5)式便可得到方程(2)一般形式的行波解。

適當(dāng)選取P,Q,R的值使輔助方程(6)的解F(ξ)是橢圓函數(shù)周期解,當(dāng)橢圓函數(shù)的模m分別趨于1或0時,利用這些橢圓函數(shù)周期解,將得到方程的各種孤波解和其他類型的精確解。

2 Davey-Stewartson方程的周期波解

引進(jìn)下列變換:

其中k,l,λ,α,β,γ為待定常數(shù)。

在λ=2α+2βl的條件下,將上述變換代入(1)得<(ξ),ψ(ξ)的微分方程:

將式(10)積分1次,并設(shè)積分常數(shù)為0,在此基礎(chǔ)上再積分1次,得到

其中C為積分常數(shù),將(11)式代入(9)式,得:

考慮(12)中<″和<3之間平衡得N=1,因此<(ξ)可以表示為:

其中a0,a1,b1,d1待定且F(ξ)滿足(6)。

將(13)代入(12)并利用(6)式,則(12)式就變成F′i(ξ)Fj(ξ)的多項式,令F′i(ξ)Fj(ξ)的各次冪項的系數(shù)為0,得到了關(guān)于待定常數(shù)的代數(shù)方程組:

解上述代數(shù)方程組得到下列2組解:

第一組:

第二組:

從而有如下形式的行波解

其中ξ=k[x+ly-(2α+2βl)t],η=αx+βy。由上述推導(dǎo),有如下定理:

定理1 在非線性變換(7)～(8)下,系統(tǒng)(1)具有(14)～(15)的行波解或者(16)～(17)的行波解。

例如,如果利用表1,選擇F(ξ)=ns(ξ),可以得到

當(dāng)m→1時,可以得到新的孤波解:

表1 P,Q,R與方程F′2=PF4+QF2+R的解F(ξ)之間的關(guān)系表Table 1 Relations between values ofP,Q,Rand correspondingF(ξ)inF′2=PF4+QF2+R

當(dāng)m→1時,可以得到新的孤波解:

當(dāng)m→0時,可以得到新的孤波解:

注1:利用拓展映射方法可以得到新的周期波解,而(16)～(17)就是一類新型的解。

3 結(jié)論

拓展的映射方法是借助于1種新的Ansatz方程結(jié)合計算機的計算來建立非線性發(fā)展方程周期波解的方法。利用這種方法,本文求出了Davey-Stewartson方程新的周期波解,且在極限的情況下,得到了方程新的孤波解及其他形式解。

[1] Hirota R,Satsuma J.Soliton solutions of a coupled Korteweg-de Vries equation[J].Phys Lett A,1981,85(8-9):407-408.

[2] Wadati M,Konno K.Simple derivation of Bucklund transformation from Riccati form of inverse method[J].Prog Theor Phys,1975,53(6):1652-1656.

[3] Wang M L.Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equation in mathematical physics[J].Phys Lett A,1996,216(1-2):67-75.

[4] Fu Z T,Liu S K,Liu S D,et al.New Jacobi elliptic function expansion and new periodic solutions of nonlinear wave equations[J].Phys Lett A,2001,290(1-2):72-76.

[5] Abdou M A.The extended F-expansion method and its applications for a class of nonlinear evolution equations[J].Chaos Soliton Fract,2007,31(1):95-104.

[6] Abdou M A,Zhang S.New periodic wave solutions via extended mapping method[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2009,14(1):2-11.

[7] Yomba E.Abundant families of Jacobi elliptic function-like solutions for a generalized variable coefficients KdV equation via the extended mapping method[J].Phys Lett A,2006,349(3-4):212-219.

[8] Abdou M A.New exact travelling wave solutions for the generalized nonlinear Schroedinger equation with a source[J].Chaos Soliton Fract,2008,38(4):949-955.

[9] Davey A,Stewartson K.On three-dimensional packets of surface waves[J].Proceedings of the Royal Socoety of London.Serries A,Mathematical and Physical Sciences,1974,338(1613):101-110.

[10] 張金良,任東鋒,王明亮,等.Davey-Stewartson I的周期波解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2005,25A(2):213-219.

[11] 許鎮(zhèn)輝,李訓(xùn)牛,王樹澤.Davey-Stewartson I型方程組的周期波解[J].聊城大學(xué)學(xué)報,2006,19(3):10-12.

[12] 劉常福,戴正德.Davey-Stewartson I型方程新的精確周期解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2008,25(3):510-514.

New Exact Solutions of the Davey-Stewartson Equations

LIU Shao-Qing1,2,GAO Cun-Chen3
(1.College of Information Science and Engineering,Ocean University of China,Qingdao 266100,China;2.Department of Basic Courses,Shandong University of Science and Technology,Jinan 250031,China;3.School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

This paper deals with periodic wave solutions for the Davey-Stewartson equations via the extended mapping method.In the limit cases,the solitary wave solutions and some type of traveling wave solutions for the system are obtained.

periodic wave solutions;Davey-Stewartson equations;the extended mapping method

O175.2

A

1672-5174(2011)03-111-04

山東科技大學(xué)科學(xué)研究‘春蕾計劃’項目(2009AZZ051)資助

2009-07-06;

2010-04-13

劉紹慶(1977-),女,講師。E-mail:carrielsq@gmail.com

AMS Subject Classification: 35Q20

責(zé)任編輯 朱寶象