崔春生

(北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院,北京 100081)

基于可拓的Vague相似度計算

崔春生

(北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院,北京 100081)

在Vague的各種理論和應(yīng)用中,相似度占據(jù)著不可低估的重要作用。筆者針對目前相似度的不同研究方法,通過引入點與區(qū)間“距”的概念,借助可拓關(guān)聯(lián)函數(shù)構(gòu)建了一種新的相似度度量公式,進(jìn)而為Vague的研究提供了一種新的思路。最后通過實例驗證了該方法的可行性。

Vague集;相似度;可拓;關(guān)聯(lián)函數(shù)

Vague集來源于Fuzzy集,在Fuzzy集基礎(chǔ)上,通過引入真隸屬度和假隸屬度,給出以區(qū)間形式表示的隸屬程度——該區(qū)間能夠同時給出支持證據(jù)和反對證據(jù)的程度,并且能夠表示中立的程度,從而提出Vague集的概念[1]。GAU等在1993年提出的Vague集[1]等同于A TANASSOV提出的直覺模糊集[2]是ZADEH模糊集[3]的一種推廣形式。這使得Vague集在處理不確定性信息時比傳統(tǒng)的模糊集有更強(qiáng)的表示能力。目前,Vague集已在國內(nèi)外成功地運(yùn)用于決策分析、專家系統(tǒng)、模糊控制及故障診斷等領(lǐng)域,并取得較傳統(tǒng)模糊集理論更好的效果。

Vague集(值)之間的相似度度量是Vague集理論在模糊決策、模式識別、模糊推理、機(jī)器學(xué)習(xí)、社會選擇等方面應(yīng)用的理論基礎(chǔ),近年來一直是學(xué)者們關(guān)注的熱點。目前,Vague集(值)相似度度量的主要依據(jù)是Vague值的真、假隸屬函數(shù)、核函數(shù)、未知度函數(shù)這4個指標(biāo),利用Vague值在這4個指標(biāo)上的差異,給出度量公式[4]。從現(xiàn)有度量公式的表現(xiàn)形式及主要特點來看,主要有3種思路。

第1種是基于Vague值的記分函數(shù),有代表性的研究見文獻(xiàn)[5]—文獻(xiàn)[7]。第2種是基于距離測度的相似度度量方法,有代表性的研究見文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]。第3種思路建立在未知度的再分配基礎(chǔ)上,見文獻(xiàn)[10]、文獻(xiàn)[11]。此外,還有一些具有啟發(fā)性的方法。2004年夏少云等[12]、2005年石玉強(qiáng)等[13]提出相似度度量的最小區(qū)間法:通過確定Vague值x,y的精確相似度所在的值域,得到它們的最小相似區(qū)間。2004年黃國順等[14]提出了基于包含度的Vague集相似度度量方法。由于計算較為復(fù)雜,這些方法應(yīng)用起來不夠簡便。

1 Vague集基本知識

1.1 Vague集定義

設(shè)U是一個論域,其中任何一個元素用x表示。U上的一個實數(shù)值Vague集A是由真隸屬函數(shù)tA和假隸屬函數(shù)fA描述[1]:

對于x∈U,tA(x)是從支持x∈A的證據(jù)所導(dǎo)出的x∈A的肯定隸屬度的下界,fA(x)是從反對x∈A的證據(jù)所導(dǎo)出的x∈A的否定隸屬度的下界,并且tA(x)+fA(x)≤1,如圖1所示。x關(guān)于A的隸屬度可由[0,1]上的子區(qū)間[tA(x),1-fA(x)]表示,或者稱[tA(x),1-fA(x)]是x在Vague集A中的Vague值。

稱πA(x)=1-tA(x)-fA(x)為x關(guān)于A的未知度,也稱為猶豫度或躊躇度。πA(x)是x相對于A的未知信息的度量,πA(x)的值越大,說明x相對于A的未知信息越多。當(dāng)tA=1-fA時,πA(x)=0,即tA(x)+fA(x)=1時, Vague值x退化為普通模糊值。

一般地,Vague集A可記為〈x,tA(x),1-fA(x)〉。當(dāng)U是連續(xù)集時,Vague集A可記為

當(dāng)U是離散集時,Vague集A可記為

圖1 Vague集示意圖Fig.1 Illustration of Vague sets

論域U中的實數(shù)值Vague集全體記為RVVS(U)。

例如,假定X=[1,2,…,10]。Vague集的小數(shù)定義為

1.2 Vague值相似度基本性質(zhì)

2個Vague值x,y的相似度sim(x,y)表示x與y的相似程度,x與y的共性越多,sim(x,y)越大;區(qū)別越大,sim(x,y)越小。sim(x,y)滿足以下幾個準(zhǔn)則:

準(zhǔn)則1 (規(guī)范性)0≤sim(x,y)≤1;

準(zhǔn)則2 (對稱性)sim(x,y)=sim(y,x);

準(zhǔn)則3 sim(x,y)=sim(ˉx,ˉy);

準(zhǔn)則4[4]sim(x,y)=1?{x,y}={[0,0],[1,1]};

準(zhǔn)則5 (單調(diào)性)若x≤y≤z,則sim(x,z)≤m in{sim(x,y),sim(y,z)}。

2 基于關(guān)聯(lián)函數(shù)的Vague相似度

2.1 關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義

在Vague集上可以定義關(guān)聯(lián)函數(shù)的概念。通過關(guān)聯(lián)函數(shù)值[15],可以定量地描述U中任一元素u屬于肯定域、否定域或未知域3個域中的哪一個,即使同屬于1個域中的2個元素,也可以由關(guān)聯(lián)函數(shù)值的大小區(qū)分出不同的層次。

定義真域下界為X0=〈0,tX〉,真域上界為X=〈0,1-fX〉,選擇一點ax∈(1-fX,1],則ax到Vague值 x=〈tX,1-fX〉的關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為這里〈〉可為開區(qū)間,閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間。

其中,D(ax,X0,X)=ρ(ax,X0)-ρ(ax,X)=(1-fX)-tX,實質(zhì)上就是未知度。該值越大,說明躊躇度越大,不確定性越高,隱含著真的可信度逐漸增加。

ρ(ax,X)的引入,可以將點與區(qū)間的位置關(guān)系用定量的形式精確刻畫。當(dāng)點在區(qū)間內(nèi)時,經(jīng)典數(shù)學(xué)中認(rèn)為點與區(qū)間的距離都為0,而在關(guān)聯(lián)函數(shù)中,利用距的概念,就可以根據(jù)距的值的不同描述出點在區(qū)間內(nèi)的不同的位置。距的概念對點與區(qū)間位置關(guān)系的描述,使人們從“類內(nèi)即為同”發(fā)展到“類內(nèi)也有程度區(qū)別”的定量描述。

D(ax,X0,X)描述了2區(qū)間之間的關(guān)系,形象地刻畫了點ax與區(qū)間套X0和X的位置關(guān)系。關(guān)聯(lián)函數(shù)k(ax)用于計算點和區(qū)間套的關(guān)聯(lián)程度。描述了真隸屬度下界在真隸屬度上界中的比例。

同理,得到ay到Vague值y=〈tY,1-fY〉的關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為

2.2 a值的確定

a值的確定需要從相似性的幾個準(zhǔn)則出發(fā),根據(jù)以上的定義,相似性的定義滿足準(zhǔn)則1,2,4,5,為了滿足準(zhǔn)則3,通過a值的確定來實現(xiàn)。

2.3 算例

設(shè)Vague值x=[0.4,0.8],y=[0.5,0.8],z=[0.5,0.7],若采用文獻(xiàn)[16]給出的記分函數(shù)的方法得到:sim(x,y)=sim(x,z)=0.95,很顯然違反人們的直覺,但是通過以上方法可以得到:sim(x,y)= 0.631 7,sim(x,z)=0.666 7。

因此采用這種方法得到的相似度相對于原來的方法,更加符合人們的感性認(rèn)識。

3 結(jié) 論

文中選擇了統(tǒng)一的定位標(biāo)準(zhǔn)點a作為關(guān)聯(lián)函數(shù)計算的基礎(chǔ),探討了2個Vague值相對于同一標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)聯(lián)函數(shù),因此,2個Vague關(guān)聯(lián)函數(shù)的計算具備一致性;借助相似度準(zhǔn)則,確定了a的取值,保證了相似度函數(shù)的可靠性;點與區(qū)間距概念的引入,使得2個Vague值相似度的計算有了新的度量標(biāo)準(zhǔn),從而為相似度的計算搭建了一條新的橋梁。

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Similarity measure of Vague value based on extension

CU IChun-sheng
(School of Management and Economics,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)

Similarity is very impo rtant in both theory and app licationsof vague sets.Different from the current similarity measures in the field,a new measuremethod was introduced only to p rovide a new idea in the field.In this paper,the concep t of "distance"was first used and a new similarity measure method was given based on the extension depentment function.

Vague sets;similarity measure;extension;depentment function

TP18

A

1008-1542(2010)02-0108-04

2009-12-22;責(zé)任編輯:張 軍

河北省教育廳計劃基金資助項目(2007205)

崔春生(1974-),男,青海西寧人,講師,博士研究生,主要從事決策理論與方法方面的研究。