張長記

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 宜州 546300)

Lagrange中值定理證明的幾點(diǎn)注記

張長記

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 宜州 546300)

證明 Lagrange中值定理的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)滿足 Rolle定理?xiàng)l件的輔助函數(shù),用代數(shù)和幾何的知識(shí)構(gòu)造出幾個(gè)輔助函數(shù),從而注明了構(gòu)造輔助函數(shù)的思想方法 .

Lagrange中值定理;輔助函數(shù);變換;旋轉(zhuǎn);平移

0 引言

Lagrange中值定理:若函數(shù)f(x)滿足下列條件:1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c,使

證明這個(gè)定理的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)滿足 Rolle定理?xiàng)l件:φ(a)=φ(b)的輔助函數(shù)φ(x),在教科書中通常是直接給出一個(gè)函數(shù)

再驗(yàn)證函數(shù)φ(x)滿足 Rolle定理?xiàng)l件:φ(b)=φ(a).缺少如何這樣構(gòu)造輔助函數(shù)的思想方法說明,讀者看完后難免會(huì)想:“這方法是怎么想到和做到的?”

文獻(xiàn)[2]中比較明確地介紹了“函數(shù)與直線差”的方法:

如圖 1中,直線AB的方程為

1 主要結(jié)果

利用坐標(biāo)變換和線性變換的思想構(gòu)造出滿足 Rolle

定理?xiàng)l件的輔助函數(shù).以下列出幾個(gè)滿足 Rolle定理?xiàng)l件的輔助函數(shù),并注明構(gòu)造這幾個(gè)輔助函數(shù)的思想方法的過程 .

1.1 平移加旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的方法

1)先把坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到A點(diǎn)則有

如圖 2.此時(shí)AB所在的直線方程為

2)坐標(biāo)系x′o′y′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α角,如圖 3,由坐標(biāo)變換公式有

1.2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的方法

去掉 1.1中平移坐標(biāo)系這一環(huán)節(jié),直接把坐標(biāo)系xoy逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角,如圖 4.由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式:

從而φ(x)滿足 Rolle定理?xiàng)l件:φ(a)=φ(b).

1.3 平移加旋轉(zhuǎn)函數(shù)的圖象的方法

1)把函數(shù)圖象平移到A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,如圖 5.即作變換

2)把平移后的圖象再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角,如圖 6,即作變換

綜合 1)和 2),進(jìn)行運(yùn)算,方法同 1.1,其結(jié)果也和 1.1相同 .

1.4 旋轉(zhuǎn)函數(shù)的圖象的方法

省去 1.3中的 1),直接把y=f(x)的圖象以坐標(biāo)原點(diǎn)o為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角,如圖 7即作線性變換

后進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算方法和所得結(jié)果與 1.2的相同.

以上 4種方法盡管計(jì)算方法、過程和結(jié)果都十分相近,乃至相同,但是卻反映了 4種不同的思想方法.由于這些方法都很直觀,結(jié)論也優(yōu)美,用到教學(xué)上可解決一些直觀問題,體現(xiàn)學(xué)科之間的交錯(cuò)互用問題,對(duì)學(xué)生滲透變換和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的思想,發(fā)展學(xué)生的思維能力和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力應(yīng)該有一定作用.

[1]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義 (上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,1990.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) (第五版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京:科學(xué)出版社,2002.

Several Remarks on Proving theM ean Valve Theorem of Lagrange

ZHANG Chang-ji

(Department ofMathematics,Hechi Un iversity,Y izhou,Guangxi546300,Ch ina)

Constructing auxiliary function to meet the condition of Rolle Theorem is very important in proving the mean valve theorem of Lagrange.This paper gives several methods and thoughts of constructing auxiliary functions.

the mean valve theorem of Lagrange;auxiliary function;transfor mation;revolution;paralleltranslation

O171

A

1672-9021(2010)02-0012-03

張長記 (1954-),男,廣西象州人,河池學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授,主要研究方向:代數(shù)學(xué)及其教學(xué) .

2010-03-28

[責(zé)任編輯普梅笑 ]